【文章內(nèi)容簡介】 內(nèi)有定義， A是一個(gè)確定的數(shù)，若對任給的 ? ，總存在某個(gè)正數(shù) )( ?? ?? ，使得當(dāng) 3 ???? 00 xx 時(shí)都有 ???Axf )( ，則稱函數(shù) f當(dāng) x趨向于 0x 時(shí)極限存在，且以 A 為極限 . 這樣極限的 ?? 定義便用靜態(tài)的有限量刻畫了動(dòng)態(tài)的無限量，不僅排除了無窮小這個(gè)有爭議的概念，而且排除了柯西在定義函數(shù)的連續(xù)性中用到的“變?yōu)椴⑶冶３中∮谌我饨o定的量”這種說法的含糊性，這標(biāo)志著清晰而明確的極限概念的真正建立 .此外，維爾斯特拉斯還用這一方法定義了連 續(xù)函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分的概念，使微積分的定義擺脫了幾何直觀所帶來的含糊觀念最終成了今天的形式 . 極限思想的完善 盡管用 ? 語言定義的極限概念非常嚴(yán)密，并以占領(lǐng)微積分課堂 100年之久，但他復(fù)雜的課堂邏輯結(jié)構(gòu)卻成為微積分入門難以理解和掌握的難點(diǎn)之一 . 近年來眾多的專家學(xué)者在該研究領(lǐng)域取得了突破性的進(jìn)展 .特別是廣州大學(xué)張景中院士提出了和 ? 語言同樣嚴(yán)格但易于被初學(xué)者所掌握的 D語言極限 . (1)D數(shù)列極限定義：若存在恒正遞增無界數(shù)列 ??nD ，使得對一切數(shù)列 n，總有 nn Daa 1?? ，則 aann ???lim . (2)D函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù) f(x)在 0x 的空 心領(lǐng)域 )(00xu 有定義，Axfxx ?? )(lim0 是指存在零的某右領(lǐng)域 ),0( ? 內(nèi)的恒正遞增無界函數(shù) )(1hD ，使得當(dāng)???? 00 xx 時(shí)，總有 )( 1)( 0xxDAxf ??? . 從極限概念的“ ? 語言”到“ D語言”的過程其實(shí)就是不斷簡化 ? 語言的邏輯結(jié)構(gòu)，化邏輯為運(yùn)算的過程，他的基本思想是用簡單的單調(diào)過程刻畫一般的，復(fù)雜的極限過程，并且在刻畫極限的過程中 ? 語言與 D語言還具有實(shí)質(zhì)的等價(jià)性 .D語言的提出，為數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革指出了一個(gè)新的方向，也為極限思想的進(jìn)一步完善開辟了道路 . 第 2 章 極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 極限的思想方法貫穿于 數(shù)學(xué)分析課程的始終，可以說數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限，在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中都是先介紹函數(shù)理論和 4 極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、極數(shù)的斂散性，重積分和曲線積分與曲面積分的概念 . （ 1） 如以函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)的定義 .記 0x x x? ? ? 稱為自變量 x（在點(diǎn) 0x ）的增量或改變量，設(shè) 00()y f x? ，相應(yīng)的函數(shù) y （在點(diǎn) 0x ）的增量記為0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f x y y? ? ? ? ? ? ? ? ?，可見，函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)等價(jià)于0lim 0x y????，是當(dāng)自變量 x得增量 x? 時(shí)，函數(shù)值得增量 y? 趨于零時(shí)的極限 . （ 2）函數(shù) ()y f x? 在點(diǎn) 0x 導(dǎo)數(shù)的定義 .設(shè)函數(shù)()y f x? 在點(diǎn) 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，若極限000( ) ( )limxxf x f xxx??? 存在，則稱函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 處 可 導(dǎo) ， 令 0x x x? ?? ， 00( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?， 則 可 寫 為0000 ( ) ( )l im l imx x x f x x f xyxx?? ? ? ?? ????? ?039。fx，所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量 y? 與自變量增量 x? 之比 yx?? 的極限 . （ 3） 函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 ? ?,ab 上的定積分的定義。設(shè) f 是定義在 ? ?,ab 上的一個(gè)函數(shù)， J 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對認(rèn)給 的正數(shù) ? ，總存在某一正數(shù) ? ，使對 ? ?,ab 的任何分割 T ，以及在其上任意選取的點(diǎn)集 ??i? ，只要 T ?? ，就有? ?1n iii f x J??? ? ? ?? ，則稱函數(shù) f 為在 ? ?,ab 上的定積分，記 ()baJ f x dx?? 。是當(dāng)分割細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式1 ()niii fx?? ??的極限 . （ 4）數(shù)項(xiàng)級數(shù) nu? 的斂散性是用部分和數(shù)列 ??nS ， nsu?? 的極限來定義的等等 . 導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬 （ Fermat）為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問題：已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線 . （ 1） 瞬時(shí)速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ()tss? ，若 0t 為某一 5 確定的時(shí)刻， t為鄰近于 0t 的時(shí)刻，則 00( ) ( )s t s tv tt?? ? 是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段 ? ?0,tt上的平均速度 . 若 t→ 0t 時(shí)平均速度 v 的極限存在，則稱極限000( ) ( )limtts t s tv tt??? ? 為質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻 0t的瞬時(shí)速度 . （ 2）切線的斜率 曲線 )(xfy? 在其上一點(diǎn) ? ?00,p x y 處的切線 PT 是割線 PQ當(dāng)動(dòng)點(diǎn) Q 沿此曲線無限接近于點(diǎn) p時(shí)的極限位置 . 由于割線 PQ斜率為 00( ) ( )f x f xk xx?? ? 因此當(dāng) x → 0x 時(shí)如果 k 的極限存在，則極限000( ) ( )limxxf x f xk xx??? ?即為切線PT的斜率 . 給出導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)