【文章內(nèi)容簡介】 22 2 2 21( ) ( ) ( )2 2 4 2 4b y b bx x c y x y d x y e? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） 費拉里的巧妙想法是通過選擇 y 的值，設(shè)法使方程（ 2）的左邊和右邊一樣也是一個完全平方的形式這就把方程（ 2）關(guān)于 x 的四次方程 分解成 x 的兩個二次方程，從而根據(jù)一元二次方程的求根公式得到 x的四個根。為此，只需令右邊關(guān)于 x的二次式的判別式等于零，也就是 222 2 2( ) ( )2 2 4 4b a b ax x c a x e? ? ? ? ? ? ? （ 4） 通過開平方，方程（ 4）就可以化為 x的兩個二次方程： 222 ()2 2 4 4b a b ax x c a x e? ? ? ? ? ? ? ? 按照等式右邊的正負(fù)號，一次整理為 x 的一個二次方程 222 ( ) ( ) 02 4 2 4b b a ax c a x e? ? ? ? ? ? ? ? （ 5） 和 x的另一個二次方程 222 ( ) ( ) 02 4 2 4b b a ax c a x e? ? ? ? ? ? ? ? （ 6） 最后根據(jù)一元二次方程的求根公式，從（ 5）中解出 x的兩個根，記為 1x 和 7 2x ；再從（ 6）中解出 x的的兩個根，記為 3x 和 4x 另外加入讓 a ?。?3）中的三次方程的其他的兩個根，則就不難驗證相應(yīng)的方程（ 5）和（ 6）仍將產(chǎn)生相同的 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，只不過足標(biāo)要做一些相應(yīng)的改變?？傊?， x 的四個取值 1x ，2x ， 3x ， 4x ，就是方程（ 1）的全根，由此表明一般四次方程也有求根公式 第二章 五次及以上的 方程的解法 一般五次方程的解法 在很多領(lǐng)域都經(jīng)常用到代數(shù)方程的解，或者是確定代數(shù)方程的零點。對于二次方程、三次方程、四次方程都已經(jīng)有了求解公式，五次及五次以上的高次方程還沒有相應(yīng)的求解公式。求實根的數(shù)值解法方法有很多，大多數(shù)都是從粗試解開始，通過迭代找出精確解。這些方法大都存在明顯的不足，尤其是粗試解的盲目性比較大。針對這種情況，人們就提出了求解高次方程實根的近似公式法。這種方法在很大程度上克服了粗試解的盲目性，計算量比較小而且規(guī)范，速度比較小，精確度也很高。 先建立近似公式，我們設(shè)實系數(shù)高次代數(shù)方程 為： ? ? 121 2 1 0... 0n n nn n nf a x a x a x a x ax ????? ? ? ? ? ? ? （ 1） 其根為 1 , 2 3, .. . ( ), 1inx x x x i n a?? 再根據(jù) ln ( 0)n n xx e x?? 且近似等于 1 lnnx? 即 ? ?11 lnnx n x?? 將方程 (1)各項展開為近似表示 ? ? ? ? ? ?1 2 1 0( 1 ) .. . 01 ( 1 ) l n 1 ( 2) l n 1 l nn n na nln a a a annx x x x??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 整理后得： 1011...ln ( 1 ) . . .nnnna a ax n a n a a??? ? ??? ? ? ? ? （ 2） 8 (2)式即為方程 (1)的實根近似解 公式。如果方程 (1)的實根全部為為負(fù)數(shù) ,則將方程(1)中 x 奇次冪項反符號 ,用公式 (2)求 x 實根。求出實根后再反其符號就是實根近似解。以該近似解為基礎(chǔ) ,使用加權(quán)平均方法逐步求出該實數(shù)根精確解。 設(shè) (0)1 0x ? 為 (2)式求出的近似解 ,且 (0)1( ) 0fx ? 。觀察方程 (1),在 (0)1x 附近，不是很大范 圍 (界限為 ? ?21 limix a???)內(nèi)找出與 (0)1()fx 反符號的 ()fx ,在此處即 ( ) 0fx? ,進而確定與之對應(yīng)的一個 x 值。假設(shè) ( 0 )1, 0 , , ( ) 0x a a a x f a? ? ? ?, 則 ( 1 ) ( 0 )1 1( 0 )1()() ()faxaxafa fx???????? （ 3） 式為容易推得的加權(quán)平均公式。 (1)1x 為經(jīng)加權(quán)平均后更接近精確解的近似實根。往往經(jīng)過幾次迭代即可得到精確解 1x 。對于 ( 0 ) ( 0 )110, ( ) 0x f x??情況 ,方法相同。 如果需要求出下一個實根 ,就應(yīng)在求得一個實根后首先將方程 (1)降次數(shù) ,并寫出新方程 ,再用 (2)、 (3)式對新方程求解令一個實根。降次數(shù)的依據(jù)是如下各項系數(shù)關(guān)系表達(dá)式 1 1 1 ,2 2 1 1 ,3 3 1 2` 1 , ```` ` ...n m nm n mm n ma m a a a xa a x aa a x a??? ? ?? ? ?? ? ? ????? （ 4） 得到新方程： 21 2 1 0` ` ` ... ` ` 0mmm m ma x a a x a x a???? ? ? ? ? ? （ 5） 其中 m=n1,方程 (5)中已無實根 1x ,但仍含有方程 (1)的其它全部根 ,對方程 (5)使用(2)、 (3)式即可求出第二個實根 2x 。這樣可直接求出全部實根。按 (2)式求出的 x 無法進行加權(quán)平均是方程無實根的標(biāo)志。 如果方程的根值很大 ,近似公式法仍可以適用 ,只不過應(yīng)首先將原方程變換成根值被縮小 k 倍的方程 ,然后利用近似公式法對此方程解出近似根 ,并用近似公式法求出該方程的精確解 ,再將根值乘以 k 即為原方程的精確解。例如方程 (1)有大值根 ,則方程 (1)根值被縮小 k 倍后方程為 1101 1.. . 0nnn nnaaax x xk k k?? ?? ? ? ? ? （ 6） 對方程 (6)用近似公式法求出精確解 x ,原方程 (1)的精確解 1x 則為 1x kx? 若方程 (6) 9 的解始終偏離太大 ,則應(yīng)改變 k 值再求解。若方程根的值很小 ,可將其根值擴大 k后倍求解。作法相同 ,只是此時 k1。 能用根式求解的五次方程 五次方程可以表示為 5 3 2 0x px qx rx s? ? ? ? ? （ 1） 十六世紀(jì)人們就已經(jīng)知道不存在把方程（ 1）的表示出來的統(tǒng)一公式，不過，方程（ 1） 中的系數(shù) p， q， r， s 滿足某些條件時，方程（ 1）仍可能用根式表示。本文用五階循環(huán)行列式來推演方程（ 1）的 5 種情形下的求解問題。 假設(shè)五次單位根為： 25 22c o s s in55ie ? ??? ? ? ? 再令 34j z j j jj x y z u v? ? ? ? ?? ? ? ? ? 其中 1,2,3,4j? 考慮五階行列式 x y z u vv x y z uu v x y zz u v x yy z u v x?? 與另一個數(shù)字行列式 2342 4 33 4 24321 1 1 1 11111r? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 根據(jù)行列式相乘和 ? 的周期性，有 0 1 2 3 42 3 40 1 2 3 42 4 30 1 2 3 43 1 4 20 1 2 3 44 3 20 1 2 3 4r? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???= 10 2342 4 30 1 2 3 4 0 1 2 3 43 4 24321 1 1 1 11111r? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 從以上式子中可以消去 r，得 1 2 3 4?? ? ??? 將 ? 展 開按 x的降冪排列。得到恒等式 45 3 2 2 3 40 ()j j j jjx p x q x r x s x z z u v? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 2）其中 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 35 5 5 5 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 25 ( )5 ( )5 ( )5 5 5 5 5 5 5 5p y v zuq y z zu uy v ur y v z u y z z v u y v u y zuvs y z u v y uv z y u u zv v y z y u v zy u uz v v y z? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? （ 3） 如果能從（ 3）中解得 y， z， v， u，那么比照式（ 2）和方程（ 1），即可得方程（ 1）的根。 2 3 51 j j j jjx y z u v? ? ? ?? ? ? ? ? ?其中（ 0,1,2,3,4j ? ） （ 4） 以下具體討論五種情形下方程（ 1）的解法 情形 1 430 , 0 , 25 5 0p qr q qrs r? ? ? ? ? 令 0, 0uv?? 從而由式（ 3）得 3 3 5