【文章內容簡介】 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22s i n4012s i n4111|2s i n41||)c o s1(21||),(222??????????????khhkkhkhkG????? 5 因為 k0,h0 且 0?? ，所以必然左邊成立，則右邊為 211212s i n12s i n2 22 ?????? ??? khkh 且 顯然這個格式是相容的。它在 21?? 時穩(wěn)定的，因為按照 Lax 定理可知；它是條件收斂的（收斂條件21??）。 隱式差分格式 我們可以對 ut??用向后差分， 22ux??用二階差商，得到差分格式為： 1 1122* 0n n n n nj j j j ju u u u uh?? ? ??? ? ??? () 隱式差分 格式的截斷誤差 證：（用 taylor 展開） ( , )nj j nu u x t? 1221 12( , ) ( , ) [ ] [ ] , ( 0 1 )2! nnnj j n j juuu u x t t u x t tt ???? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? 232 2 3 3 4 41 2 3 422 2 3 3 4 41 2 3 43( , ) ( , ) [ ] [ ] [ ] [ ]2 ! 3 ! 4 !( 0 1 )( , ) ( , ) [ ] [ ] [ ] [ ]2 ! 3 ! 4 !( 0 1 )n n n n nj j n j j j jn n n n nj j n j j j ju h u h u h uu u x x t u x t hx x x xu h u h u h uu u x x t u x t hx x x x????????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???把上述代入差分格式中，得 截斷誤差 為： 1 232 2 2 4 2 42 2 4 4( , ) [ ] [ ] { [ ] [ ] [ ] }2 2 4 2 4nn n n n nj j j j j ju u u h u h uk x t t t x x x? ??? ?? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?)1,0().(}}][]{[24][2{}][]{[32,12444422222321????????????????????????????? ???hoxuxuhtuxutu njnjnjnjnj 從上述可知，截斷誤差為 2( , ) ( )njk x t o h???，它對時間方向為一階截斷誤差， 而對空間為二階截斷誤差 。 6 隱式差分格式的穩(wěn)定性 證 :先用差分格式（ ）為： 1 11( 2 )n n n n nj j j j ju u u u u?? ??? ? ? ? 其中 2h???? 利用穩(wěn)定性的 Fourier 方法令， n n ikjhju v e? ，并將它代入上式就得到 1 ( 2 )n ik jh n ik jh ik j ik j nv e v e e e v???? ? ? ? 消去公因子有 11 1[ 1 ( 2 ) ] 1 ( 2 )n i k j i k j n n ni k j i k jv e e v v vee? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 由此得到增長因子 11( , )1 ( 2 ) ( 1 2 ) ( )11( 1 2 ) 2 c o s 1 2 ( 1 c o s )ikj ikj ikj ikjGk e e e ek h k h? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? 12s i n41112s i n4102s i n412s i n00,0,012s i n411|)c o s1(21|1|),(|22222?????????????????????khkhkhkhkhkhkhkG???????且? 顯然這個格式是相容的。它 是無條件穩(wěn)定，因為按照 Lax 定理可知，該格式收斂的。 、 CrankNicolson 格式 我們在在前面討論的顯格式和隱格式，即： 1 1 1 11122 0n n n n nj j j j ju u u u uh?? ? ? ? ???? ? ??? （ ） 1 1122 0n n n n nj j j j ju u u u uh?? ? ??? ? ??? （ ） 用 ? 乘（ ），用 )1( ?? 乘（ ），把其結果相加就得到一個差 分格式 7 1 1 1 11 1 1 12222 ( 1 ) 0n n n n n n n nj j j j j j j ju u u u u u u uhh? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ????? （ ） 其中 10 ??? ，我們乘差分格式 公式 (）為 加權隱式格式 。 從上述可以看到，當21??時的情況，此時我們把它單獨寫出 1 1 1 11 1 1 12 [ ( 2 ) ( 2 ) ] 02nnjj n n n n n nj j j j j juu u u u u u uh??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 此格式一般稱作 CrankNicolson 格式 。此外我們注意到，當 1?? 時， 公式(）為 向后差分格式（隱式格式） ；當 0?? 時，公式 (）為 向前差分格式（顯 式 格式） 。 CrankNicolson 差分格式的截斷誤差 證：（用 taylor 展開） 1112 2 3 31123( , ) , ( , )( , ) ( , ) [ ] [ ] [ ] ( 0 1 )2 ! 3!nnj j n j j nnn n nj j n j j ju u x t u u x tu u uu u x t t u x tt t t???????????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?232 2 3 3 4 412 2 3 42 2 3 3 4 413 2 3 4( , ) ( , ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( 0 1 )2 ! 3 ! 4 !( , ) ( , ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( 0 1 )2 ! 3 ! 4 !n n n n nj j n j j j jn n n n nj j n j j j ju h u h u h uu u x x t u x t hx x x xu h u h u h uu u x x t u x t hx x x x????????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 把上述代入差分格式中，得 截斷誤差 為： 145 2 32 2 3 2 2 4112 3 2 42 4 2 2 4 2 414 2 4 4( , ) [ ] [ ] [ ] {( [ ] [ ]2 6 2 2 4[ ] ) ( [ ] [ ] [ ] ) }2 4 2 4 2 4nn n n n nj j j j j jn n n nj j j ju u u u h uk x tt t t x xh u u h u h ux x x x??? ? ?? ? ?? ????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?)1,0().() } }][]([)][]{ ( [24}][6][2{{)}][]([2]{[543212244441441442332222212232541??????????????????????????????????????????????????????hoxuxuxuxuhtutuxuxutunjnjnjnjnjnjnjnjnj 從上述可知，截斷誤差為 22( , ) ( )njk x t o h???，它對空間方向為二階截斷誤差，而對時間方向為二階截斷誤差，則此隱格式的精度為 2。 8 CrankNicolson 差分格式的穩(wěn)定性 證：由差分格式公式（ ）可以寫成如下形式 1 1 11 1 1 11 1 1 1( 1 ) ( 1 )2 2 2 2n n n n n nj j j j j ju u u u u u?? ?? ?? ?? ?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?其中2h??? 消去公因子有 111( 1 )22( 1 )ik j ik jnnik j ik jeevv? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ??? ? ? ? 由此得到增長因子 221 1 1( 1 ) ( 1 ) ( )2 2 2( , )1 1 1( 1 ) ( 1 ) (