【正文】 。感謝同學(xué)的熱心幫助。 其次還要感謝學(xué)院老師和四年來一起走過大學(xué)時光的同學(xué)們的關(guān)心和支持。 首先我要感謝我的導(dǎo)師呂淑婷老師對我的悉心指導(dǎo)，在撰寫論文期間，呂老師幫助我確定了論文的題目，理清了論文的思路。 20 參考文獻(xiàn) [1]趙增遜 . 從求根公式到預(yù)解式 [J]. 西北大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ). 2021(03) [2] 王玉敏 . 五次方程的求根公式及其收斂性 [J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ). 2021(03) [3]趙國喜 ,王宏偉 . n(2≤n≤4)次方程的一種統(tǒng)一解法 [J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識 . 2021(13) [4]李青燕 . 從五次方程根式求解到伽羅瓦理論及其數(shù)學(xué)哲學(xué)意蘊 [J]. 太原師范學(xué)院學(xué)報 (自然科學(xué)版 ). 2021(03) [5]王宵瑜 . Gauss 對解代數(shù)方程的貢獻(xiàn) [J]. 西北大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ). 2021(03) [6]林永 ,陳浩 . 用二分法求解一元實系數(shù)多項式方程的全部實根 [J]. 大學(xué) 數(shù)學(xué) . 2021(04) [7]曾昌祿 . 求解高次實系數(shù)代數(shù)方程實根的近似公式法 [J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版 ). 2021(04) [8]諶炎輝 . 一種新的解四次方程實數(shù)解的方法 [J]. 微計算機應(yīng)用 . 2021(07) [9]李慶芹 ,黃克芬 . 一類高次方程的解法 [J]. 昆明冶金高等專科學(xué)校學(xué)報 . 2021(04) [10]湯健兒 . 幾類能用根式求解的五次方程 [J]. 高等數(shù)學(xué)研究 . 2021(01) 致謝 論文終于寫完了，這是對我大學(xué)四年學(xué)習(xí)的最好的檢驗。 五次方程根式解的問題終于被證實了。法國的年輕數(shù)學(xué)家伽羅瓦解決了這一問題，他在 1829—— 1831 年間完成的著作中，建立了判別方程根式可解的充分必要條件。能用根式解或者不能用根 式解的方程，到底用什么來判斷呢？阿貝爾在解決這個問題之前，就病死了。經(jīng)過多年的苦心鉆研，阿貝爾終于解決了一元五次方程解的問題，以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓阶C明了魯菲尼假說，解決了五次方程求根公式這顆數(shù)學(xué)難題。 但人類的智慧是無限的。但他的證明既不完整，也不充分、嚴(yán)謹(jǐn)。拉格朗日在 1770 年發(fā)表《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》的文章中，指出五次及五次以上的方程不可能有象三、四次方程那樣的得到一般解。 結(jié)論 16 世紀(jì)人們發(fā)現(xiàn)三次、四次代數(shù)方程的根，它們都可以表示成方程系數(shù)的加、減、乘、除以及開方來表示，稱為方程的根式解。因此數(shù)學(xué)家不應(yīng)該帶著主觀意識去認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)真理，也不能憑著主觀意識去研究和探索真理。伽羅瓦所發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，他的奇特思想和巧妙方法，利用同構(gòu)性構(gòu)建置換群和方程根之間的運算，反過來說明了可解群的種類，現(xiàn)在又成為全部代數(shù)的中心內(nèi)容． 伽羅瓦群論的數(shù)學(xué)哲學(xué)意蘊 伽羅瓦在數(shù)學(xué)觀和方法論上是很獨特的，創(chuàng)建了“群結(jié)構(gòu)”思想方法，并且預(yù)見了它的重要性。在 1900 年巴黎數(shù)學(xué)家代表大會上的講演中，希爾伯特談到不可解問題時說：“也許正是不僅如此，加上其他哲學(xué)上的因素，給人們以這樣的信念，即每個確定的數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該能夠得到明確的解決，或者是成功地對所給的問題作出回答，或者是證明該問題的解的不可能性，從而指明解答原先問題的一切努力歸于失敗??通過不可證明性，這些問題對科學(xué)來說是最滿意、最有用的解決方式了。許多數(shù)學(xué)家的努力沒有取得成績，原因在于問題的解的存在性，實際 上無解本身一種答案。伽羅瓦避開了拉格朗日的難以捉摸的預(yù)解式而巧妙地應(yīng)用了置換群這一工具，他不但證明了一般代數(shù)方程（ 1），當(dāng) 5n? 時不可能用根號求根，而且還建立了具體數(shù)學(xué)系數(shù)的代數(shù)方程可用根號求解的判別準(zhǔn)則，舉出不能用根號求解的數(shù)字系數(shù)代數(shù)方程的實例。其中包括伽羅瓦一生中被保留下來的 5篇論文和 3封給舍瓦列耶的信。更不幸的是伽羅瓦在 21 歲時便因一場決斗而逝去。 伽羅瓦群論的深遠(yuǎn)影響 伽羅瓦創(chuàng)立群論是為了應(yīng)用于方程理論，但他并不局限在此方面，他把群論進(jìn)行了推廣，作用于其他研究領(lǐng)域。因此指數(shù)是 2 和!2n 。它的階當(dāng)然是 !n ，這個群稱為 n 級對稱群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質(zhì)中有所反映，于是伽羅瓦把代數(shù)方程可解性問題轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的置換群及 其子群性質(zhì)的分析問題。他引入了不少有關(guān)群論的新的概念，產(chǎn)生了伽羅瓦群論，后人都稱他為群論的創(chuàng)始人。伽羅瓦首次提出了“群”這一術(shù)語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，定義了置換群的概念．他認(rèn)為了解置換群是解決方程理論的關(guān)鍵，方程是一個其對稱性可用群的性質(zhì)描述的系統(tǒng)。 伽羅瓦群論創(chuàng)建的群 伽羅瓦在證明不存在一個五次或高于五次的方程的一般根式解法時，與拉格朗日的做法相似，也是從方 程的根的置換入手。在代數(shù)方程可解性理論研究中，他提出了一個研究綱領(lǐng)，也就是在他的工作中需要解決兩類問題：一是構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解，他試圖刻畫可用根式求解的方程的特性，但因早逝而沒能完成這個工作，他只解決了第一類問題。 阿貝爾的后續(xù)研究 阿貝爾遺作中有一篇未完成的手稿，即“關(guān)于函數(shù)的代數(shù)解法” 文中敘述了方程論的發(fā)展?fàn)顩r，又重新討論了特殊方程可解性的問題，為后來伽羅瓦遺作的出版開辟了道路。在此篇論文中，阿貝爾證明了下述定理：對于一個任意次的方程，如果 方程所有的根都可用其中的一個根有理地表出，并且任意兩個根 (x)Q 與 1(x)Q （這里 1, 均為有理函數(shù)），滿足關(guān)系，11(x)= (x) Q Q 那么所考慮的方程總是代數(shù)可解的。他于1828 年 3 月 29 日完成了題目為“關(guān)于一類特殊的代數(shù)可解方程”的文章，發(fā)表在克雷爾雜志的第四卷（ 1829）上。不可能性的證明。 1801年，高斯已經(jīng)意識到了這個問題是不能解決 的。他還找出一個一般的方法同時解決次方程的求根公式，因為他認(rèn)為 2， 3， 4 次的方程解決已經(jīng)存在偶然性了。他分析了前人所得的次數(shù)低于五的代數(shù)方程都可以作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為求解次數(shù)較低的輔助方程，但是按這種方法得到的輔助方程的次數(shù)卻升到六次，所以此方法不行。雖然代數(shù)學(xué)已經(jīng)取得了如此的進(jìn)展，還是有很多數(shù)學(xué)家在懷疑求根公式存在性。很快，人們發(fā)現(xiàn)他的方法，要求一個六次的輔助方程，他的解法失敗了。研究并非一帆風(fēng)順。他們發(fā)現(xiàn)，對次數(shù)不超過四次的方程，都有求根公式，每個根都可以用原方程的系數(shù)經(jīng)過加減乘除和開方運算表出。 第三章從五 次根式求解到伽羅瓦理論及其數(shù)學(xué)研究 古巴比倫時期人們就已經(jīng)使用配方法得知 )0(02 ???? acbxax 有根，而且尋找三次方程的求根公式， 16 世紀(jì)歐洲文藝復(fù)興時期，幾個意大利數(shù)學(xué)家把求四次方程的根化為求一個三次方程和兩個二次方程的根，因此認(rèn)為四次方程的求解問 16 題也解決了。于是 14 22 2 212552222211552222222552222 2 2215522100( ) ( )()100( ) ( )()100( ) ( )()100) ( )()hty z uyyzu phty z zvzy v phtv u uyuy u phtuv zvvzu p???????? 由于 y， z， u， v多解需要根據(jù)先前所得等式挑選確定，再把它們代入式（ 3）中第四整理成 2 2 2 2( 4 ) ( 20 ) 400 0p r p r ps? ? ? 因為所需條件，由此得到根。進(jìn)而由式（ 4）可以得到情形下方程（ 1）的所有根。 情形 3 4 2 2 2 2 20 , ( 3 ) 5 ( 2 5 )q p p r r ps p r? ? ? ? ? 可令 0v? 從而由式 （ 3）可得 2 2 2 3 3 5 5 5 3 2 211z u = p z + u y = 0 z u y z u y = r y + z + u 5 z y u + 5 z y u = s55， ， ， 以上四個方程中僅有三個未知數(shù)，使它們的左端函數(shù)必定相關(guān)，由前兩式可得 12 32125u y p?? 再由第三式得 322125 5y z p r?? 于是 3 3 3 2 31 0 1 035( ) ( ) ( 2 5 )( ) 5y z u y p ry z u p?? ? ? ? 3 3 3 3 21010 3 3 5( ) ( ) ( 2 5 )( ) 5y z z u p p rz uy ?? ? ? ? 3 3 71 0 1 03 5 2( ) ( ) 5 ( 2 5 )u y z u pu y z p r? ? ? ? ? 其中根號前面的正負(fù)號需要根據(jù)前面由式（ 3）所得四 式選擇確定。得到恒等式 45 3 2 2 3 40 ()j j j jjx p x q x r x s x z z u v? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 2）其中 2 2 2 22 2 2 2 3 3 3 35 5 5 5 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 25 ( )5 ( )5 ( )5 5 5 5 5 5 5 5p y v zuq y z zu uy v ur y v z u y z z v u y v u