南京大學計算機科學與技術系數(shù)值計算方法第3章2矩陣的三角分解法矩陣求逆(編輯修改稿)
2025-06-19 07:03 本頁面
【文章內容簡介】 . ..1111nkaaaaAkkkkk???對稱矩陣的 Cholesky分解 ? 由 Doolittle分解， A有唯一分解 。，也就是所以，有即TTTTTTTTTLLAULULLULULULULUALU????????? )(A對稱矩陣的 Cholesky分解 ? 定理 設 A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解 A=LDLT，其中 L為單位下三角陣， D=diag(d1,d2,…,dn)且 di0(i=1,…,n) 對稱矩陣的 Cholesky分解 ? 證明： ??????????????ndddUULLUADo o l i t t l e???????21111,A令非奇異的上三角陣。為為單位下三角陣，其中分解為分解可唯一是對稱正定，由因為對稱矩陣的 Cholesky分解 均大于零即。得由；得；由得故有的順序主子式均大于零是正定的，則又因為nnnnddddddddddddA, .. .,00. .. .. .. .. .. .。0000A21212212111????????????對稱矩陣的 Cholesky分解 。所以為單位上三角陣。為對角陣其中故L DUAUDDUdddddddUn???????????????????????????????????????,1. . .. . .. . .1*. . .*1*. . .. . . .*12211211???對稱矩陣的 Cholesky分解 。，所以故有對稱，即又因為TTTTTTL D LAULADLUL D UAA????? )(推論：設 A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解 其中 L為具有主對角元素為正數(shù)的下三角矩陣。 TLLA ?對稱矩陣的 Cholesky分解 ? 證明： 0, . . . ,0,0))((), . . . ,(2121212121???????nTTTndddLLLLDLDL DLAdddd i a gD的主對角元素為其中則由定理令Cholesky分解的求法 ??????????????????????????????????????????????332322131211333231222111333231232221131211212221113?. . .. . .. . .,llllllllllllaaaaaaaaanlllllllLLLAAijnnnnT為例。以如何求令則對稱正定設?Cholesky分解的求法 。，得由；，得時：由。；同理得，得由；，得時：由2221313232223221313222122222222212211313111212111212111112111121lllalllllalalllaklallalllaallak???????????????Cholesky分解的求法 ????????????????????????????njnjilllallalnlallllakjjjkjkikijijjkjkjjjjii, .. .,2,1, .. .,1/)()(,311211122123333323323223133有階行列式推廣到，得時：由Cholesky分解法 TTLLAyxLbLybAXc h o l e s k y???????? 其中分解法解線性方程組用Cholesky分解法缺點及優(yōu)點 優(yōu)點：可以減少存儲單元。 缺點：存在開方運算，可能會出現(xiàn)根號下負數(shù)。 改進 Cholesky分解法 ? 改進的 cholesky分解 A=LDLT ??????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnTnnnnnndlddldlddldldlddllllllDLLAdddDllllllL?????. ... ... ... ... ... ..1. ... ... ... ..111)(1. ... ... ... ..11133322322211311211112132312121121323121由改進的 cholesky分解 ??????????????????????????????????1121111211, .. . ,2,1)1, .. ,2,1(/)(), .. . ,2,1()1, .. ,2,1(jkkikiiijjkjkkikijijjkikikiijijjkjkkikijnidladijdldlalniddlaijdlldlaji由此可得有逐行相乘，并注意到改進的 cholesky分解 )1, . . . ,2,1, . . . ,3,2(,1111?????????????????????????ijnilcaddcllcacdcldlcikikikiiijijij
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