統(tǒng)計(jì)學(xué)第10講相關(guān)與回歸分析白含檢驗(yàn)(編輯修改稿)
2025-06-18 22:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 與樣本相關(guān)系數(shù) r 有關(guān)的 t統(tǒng)計(jì)量服從自由度為 n2的 t 分布： 0??22 1 ~ ( 2 )t r n r t n?? ? ? ? 給定顯著性水平 ， 查自由度為 n2 的臨界值 若 ，表明相關(guān)系數(shù) r 在統(tǒng)計(jì)上是顯著 的，應(yīng)否定 而接受 的假設(shè)； 反之，若 ，應(yīng)接受 的假設(shè)。 ?2t?2tt??0??0? ? 0? ?2 ( 2)t t n???012H: ρ = 0 H : ρ 02 1 ~ ( 2 )t r n r t n??? ? ? ?第 一 步 提 出 假 設(shè) 第 二 步 計(jì) 算 檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 【 例 】 檢驗(yàn)工業(yè)總產(chǎn)值與能源消耗量之間的線性相關(guān)性是否顯著 資料 ? ?? ? ? ?20 . 0 2 5200 .9 7 5 7 1 6 2 1 0 .9 7 5 7 1 6 .6 6 1 61 6 .6 6 1 6 2 1 4 2 .1 4 4 8tt t n tH?? ? ? ?? ? ? ? ??有 ：拒 絕 ， 表 示 總 體 的 兩 變 量 間 線 性 相 關(guān) 性 顯 著 。00 ??：H011 6 , 0 . 9 7 5 7 , 0 . 0 5 ,: 0 : 0nrHH???? ? ???解 ： 已 知 則提 出 假 設(shè) ：當(dāng) 成立時(shí)，則統(tǒng)計(jì)量 22 1 ~ ( 2 )t r n r t n? ? ? ? 二、一元線性回歸模型 若干基本概念 ● Y的 條件分布 : Y在 X取某固定值條件下的分布。 ●對(duì)于 X的每一個(gè)取值，都有 Y的 條件期望 與之對(duì)應(yīng)，在坐標(biāo)圖上 Y的條件期望的點(diǎn)隨 X而變化的軌跡所形成的直線或曲線，稱為 回歸線 。 ●如果把 Y的條件期望 表示為 X的某種函數(shù)： ,這個(gè)函數(shù)稱為 回歸函數(shù) 。 ●如果其函數(shù)形式是只有一個(gè)自變量的線性函數(shù) ,如 稱為 簡(jiǎn)單線性回歸函數(shù) 。 ()iE Y X( ( )iE Y f X?）( iE Y X????）（一）總體回歸函數(shù)（ PRF） ?概念： 將總體因變量 Y的條件均值表現(xiàn)為自變量 X的某種函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為總體回歸函數(shù)（簡(jiǎn)記為 PRF）。 ?表現(xiàn)形式： （ 1）總體回歸直線 i( / = X,XYXiE Y X ?????）式 中 是 未 知 參 數(shù) , 又 叫 回 歸 系 數(shù)該 式 表 示 在 的 值 給 定 的 條 件 下 , 的 期 望 值是 的 嚴(yán) 密 的 線 性 函 數(shù) ， 此 直 線 稱 為 總 體 回 歸 直 線 。（ 2）總體一元線性回歸模型 iii,Y.( Y XY X Y(Yi i iiiiiY X uuEXu Y E????? ? ?????ii總 體 線 性 回 歸 模 型 ：式 中 是 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) 又 稱 隨 即 干 擾 項(xiàng) , 反 映 未 列 入 方 程 式 的 其它 各 種 因 素 對(duì) 的 影 響總 體 回 歸 直 線 /x ） 表 示 在 的 值 給 定 的 條 件 下 ,的 期 望 值 是 的 嚴(yán) 密 的 線 性 函 數(shù) 。 的 實(shí) 際 觀 察 值 并 不 一 定位 于 該 直 線 上 ， 只 是 分 散 在 該 直 線 的 周 圍 。 實(shí) 際 觀 察 點(diǎn) 與 總體 回 歸 線 垂 直 方 向 的 間 隔 ， 就 是 隨 機(jī) 誤 差 項(xiàng) 。/X ） （ 3） 簡(jiǎn)單線性回歸的基本假定 ? 假定 1： 誤差項(xiàng) u是一個(gè)期望值為 0的隨即變量，即 ? 假定 2：對(duì)于所有的 X值，誤差項(xiàng) ui的 方差為常數(shù) 。 ? 假定 3： 自變量是給定的變量，與隨機(jī)誤差項(xiàng)線性無(wú)關(guān) ? 假定 4：無(wú)自 相關(guān)假定。隨機(jī)誤差項(xiàng) u的逐次值互不相關(guān) ? 假定 5： 正態(tài)性假定。 ( ) 0Eu ?2?2~ ( 0 , )iuN ? 隨機(jī)誤差項(xiàng) ui是無(wú)法直接觀測(cè)，為進(jìn)行回歸分析，需對(duì)其概率分布進(jìn)行假設(shè)。滿足這些假設(shè)的模型稱為標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型。 ( , ) 0ijC ov u u ?( , ) 0iiC o v u X ?（二）樣本回歸函數(shù)（ SRF） ?概念： ● 總體回歸函數(shù)實(shí)際上是未知的，需要用樣本的信息對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的直線，稱為 樣本回歸直線 。其相應(yīng)的函數(shù)稱為樣本回歸函數(shù) （簡(jiǎn)記為 SRF）。 ? 表現(xiàn)形式： 線性樣本回歸函數(shù)可表示為 ? i^ ^ ^ ^i^^^xyEyxyiiiy x y??????? ， 式 中 是 樣 本 回 歸 線 上 與 相 對(duì) 應(yīng) 的 值 ，可 視 為 （ ） 的 估 計(jì) 值 ； 是 樣 本 回 歸 直 線 的 截 距 ， 是樣 回 歸 直 線 的 斜 率 ， 他 們 是 對(duì) 總 體 回 歸 系 數(shù) 的 估 計(jì) 。也 是 自 變 量 每 變 動(dòng) 一 個(gè) 單 位 時(shí) ， 因 變 量 的 平 均 變 動(dòng) 值 。樣本回歸方程 ^^iuni i iiiy x eee??? ? ?此 式 稱 為 樣 本 回 歸 方 程 ， 式 中 稱 為 殘 差 ， 在 概 念 上 ，殘 差 與 總 體 誤 差 項(xiàng) 相 互 對(duì) 應(yīng) ； i=1 ,2 ,n, 是 樣 本 容 量 。（四）樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系 （ 1）相互聯(lián)系 ● 樣本回歸函數(shù)的函數(shù)形式應(yīng)與設(shè)定的總體回歸函數(shù)的函數(shù)形式一致 。 ● 和 是對(duì)總體回歸函數(shù)參數(shù)的估計(jì)。 ● 是對(duì)總體條件期望 的估計(jì) ● 殘差 e 在概念上類似總體回歸函數(shù)中的隨機(jī)誤差 u。 回歸分析的目的： 用樣本回歸函數(shù)去估計(jì)總體回歸函數(shù)。 ^?^?^iy (YE ）樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的關(guān)系 （ 2）相互區(qū)別 ● 總體回歸函數(shù)雖然未知，但它是確定的； 樣本回歸線隨抽樣波動(dòng)而變化，可以有許多條。 ●樣本回歸線還不是總體回歸線，至多只是未知總體 回歸線的近似表現(xiàn)。 ●總體回歸函數(shù)的參數(shù)雖未知，但是確定的常數(shù)； 樣本回歸函數(shù)的參數(shù)可估計(jì)，但是隨抽樣而變化的隨機(jī)變量。 ● 總體回歸函數(shù)中的 是不可直接觀測(cè)的； 而樣本回歸函數(shù)中的 是只要估計(jì)出樣本回歸的參數(shù)就可以計(jì)算的數(shù)值。 iuie 三、 回歸系數(shù)的 最小二乘 估計(jì) 基本思想： 回歸分析主要任務(wù)是建立能夠反映真實(shí)總體 回歸函數(shù)的樣本回歸函數(shù)。在用樣本資料確 定樣本回歸方程時(shí)， 希望估計(jì)值 偏離實(shí)際觀 測(cè)值 的殘差 越小越好。可以取殘差平方和
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