統(tǒng)計學(xué)第10講相關(guān)與回歸分析白含檢驗-閱讀頁
2025-06-02 22:30本頁面
【正文】 o v u X ?（二）樣本回歸函數(shù)（ SRF） ?概念： ● 總體回歸函數(shù)實際上是未知的，需要用樣本的信息對其進行估計，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的直線，稱為 樣本回歸直線 。 ? 表現(xiàn)形式： 線性樣本回歸函數(shù)可表示為 ? i^ ^ ^ ^i^^^xyEyxyiiiy x y??????? ， 式 中 是 樣 本 回 歸 線 上 與 相 對 應(yīng) 的 值 ，可 視 為 （ ） 的 估 計 值 ； 是 樣 本 回 歸 直 線 的 截 距 ， 是樣 回 歸 直 線 的 斜 率 ， 他 們 是 對 總 體 回 歸 系 數(shù) 的 估 計 。樣本回歸方程 ^^iuni i iiiy x eee??? ? ?此 式 稱 為 樣 本 回 歸 方 程 ， 式 中 稱 為 殘 差 ， 在 概 念 上 ，殘 差 與 總 體 誤 差 項 相 互 對 應(yīng) ； i=1 ,2 ,n, 是 樣 本 容 量 。 ● 和 是對總體回歸函數(shù)參數(shù)的估計。 回歸分析的目的： 用樣本回歸函數(shù)去估計總體回歸函數(shù)。 ●樣本回歸線還不是總體回歸線，至多只是未知總體 回歸線的近似表現(xiàn)。 ● 總體回歸函數(shù)中的 是不可直接觀測的； 而樣本回歸函數(shù)中的 是只要估計出樣本回歸的參數(shù)就可以計算的數(shù)值。在用樣本資料確 定樣本回歸方程時， 希望估計值 偏離實際觀 測值 的殘差 越小越好。 20 . 9 7 5 7 , 0 . 9 5 2 0rr??21 6 , 9 1 6 , 6 2 5 ,3 7 8 8 7 , 5 5 0 8 6 ,n x yx y x? ? ???????由 計 算 表 知解：設(shè) 線性回歸方程為 ?yx????? ?22216 37 88 7 91 6 62 50. 79 6116 55 08 6 91 662 5 91 60. 79 61 6. 51 4216 16n x y x yn x xyx???? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ???即 線性回歸方程為： ? 6. 51 42 0. 79 61yx? ? ?計算結(jié)果表明，在其他條件不變時，能源消耗量每增加一個單位（十萬噸），工業(yè)總產(chǎn)值將增加 （億元）。可以證明 的無偏估計為： 22^2^^222iienen?????????， 自 由 度 表 示 一 元 回 歸 方 程 中 回 歸 系 數(shù) 的 個 數(shù)， 稱 為 回 歸 估 計 的 標 準 差越 小 表 明 實 際 觀 測 值 與 所 擬 合 的 樣 本 回 歸 線 的 離 差 越 小 ， 回 歸 線 代 表 性 越 強 。對回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗，是在對總體回歸系數(shù)某種原假設(shè)成立的條件下，確定適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，在一定的顯著水平下對原假設(shè)進行統(tǒng)計檢驗 。 ? 樣本回歸直線是對樣本數(shù)據(jù)的一種擬合，不同估計方法可擬合出不同的回歸線。 ? 通常用 判定系數(shù) 度量 回歸模型的擬合優(yōu)度 離差平方和的分解 （圖示） x y y ?yx????yy? { } } yy ??yy??? ),( ii yx離差分解圖 ? 判定系數(shù)的定義是建立在對因變量總離差平方和分解的基礎(chǔ)上 離差平方和的分解 （三個平方和的關(guān)系） 兩端平方后求和有： ? ? ? ?yyyyyy ????? ??從圖上看有： SST = SSR + SSE ? ? ? ? ? ????????????niiniinii yyyyyy121212 ??總變差平方和 （ SST） { 回歸平方和 （ SSR） { 殘差平方和 （ SSE） { 離差平方和的分解 （三個平方和的意義） 1. 總的離差平方和 (SST) ? 反映因變量的 n 個觀察值與其均值的總離差 2. 回歸平方和 (SSR) ? 反映自變量 x 的變化對因變量 y 取值變化的影響 ， 或者說 ， 是由于 x 與 y 之間的線性關(guān)系引起的 y 的取值變化 ， 也稱為可解釋的平方和 。 （ 可決系數(shù) R2 ）的特點 （ 1）回歸平方和占總離差平方和的比例： （ 2）反映回歸直線的擬合程度 （ 3）取值范圍在 [ 0 , 1 ] 之間 （ 4） R2 ?1，說明回歸方程擬合的越好； R2?0，說明回歸方程擬合的越差 （ 5）判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即 R2＝ (r)2 （二） 回歸系數(shù)顯著性的 t 檢驗 ? 對回歸模型的統(tǒng)計檢驗，除了對模型擬合程度的檢驗外，還包括各回歸系數(shù)的顯著性檢驗和對回歸方程的總顯著檢驗。 ? 檢驗?zāi)康氖窃u價兩個變量之間是否有關(guān)系，即變量 X是否對變量 Y有影響。 ^^^~ ( 2)()t t nSE???????^^^~ ( 2 )()t t nSE??????? 回歸系數(shù)顯著性 t 檢驗的方法 (1) 提出假設(shè) 一般假設(shè) : 常用假設(shè) : (2) 計算統(tǒng)計量 (3)給定顯著性水平 α， 確定臨界值 (4) 檢驗結(jié)果判斷 若 則拒絕原假設(shè)，而接受備擇假設(shè) 若 則接受原假設(shè) , 拒絕備擇假設(shè) 0 :*H ???*1 :H ???*0 :0H ???? 1 :0H ? ?2 ( 2)tn? ?* 2 ( 2)t t n???* 2 ( 2)t t n???^ ^***^^( ) ( )ttSE SE?? ?????? 或回歸系數(shù)顯著性的 P值檢驗 —— P值的意義 P值的意義 : 在既定原假設(shè)下計算回歸系數(shù)的 t統(tǒng)計量 ，可求得統(tǒng) 計量 t 大于 的概率 ： 這里的 是 t 統(tǒng)計量大于 值的概率，是尚不能拒絕原假設(shè) 最大顯著水平，稱為所估計的回歸系數(shù)的 P值。即用自變量 X的取值估計或預(yù)測因變量 Y的取值。 （ 4）當(dāng)樣本容量趨于無窮大（即 n→∞ ）時 , 不存在抽樣誤差，平均值預(yù)測誤差趨 于 0，此時個別值的預(yù)測誤差只決定于 隨機擾動的方差 。 iiXuiY ab e?ln ln lni i iY a X b u? ? ?1iiiY a b uX? ? ?20 1 2 ki i i k i iY b b X b X b X u? ? ? ? ? ? 二、非線性相關(guān)指數(shù) 非線性相關(guān)指數(shù) : 度量非線性相關(guān)程度 ^222 ()11( ) ( )i i iiiY Y eRY Y Y Y?? ? ? ?????^22()11( ) ( )i i iiiY Y eRY Y Y Y?? ? ? ?????本章小結(jié) 1. 各種變量相互之間的依存關(guān)系： 2. 變量間的相關(guān)關(guān)系的程度用相關(guān)系數(shù)去度量 3. 回歸分析的目的是要用樣本回歸函數(shù)去估計總體
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