理論分布與抽樣分布(編輯修改稿)
2025-06-17 14:27 本頁面
【文章內容簡介】 ) 由這 6種情況的相應概率組成的分布，就是n=5時出苗數(shù)的二項分布。 二、二項分布的概率計算 二項分布的概率密度函數(shù) 現(xiàn)以玉米種子播種后的出苗和不出苗為例 ， 說明二項分布的概率密度函數(shù) 。 出苗看作 “ 此 ” 事件 ， p=, 不出苗看作 “ 彼 ” 事件 ， q=, 每窩中種子的出苗與不出苗為對立事件 。 ?若每窩種 1粒種子 ， 相當于 n=1， 則出苗數(shù)有 2種情況即： x=0； x=1 相應的概率 f(x=0)=q=。 相應的概率為 f(x=1)=p=. ?若每窩種 2粒種子，相當于 n=2， 則出苗數(shù)有 3種情況： x=0, 1, 2, 相應的概率為： f(x=0)=qq=?= f(x=1)=pq+qp=2pq=2??= f(x=2)=pp=?= ?若每窩種 3粒種子 ,n=3， 則出苗數(shù)有 0,1,2,3四種情況 ， 其相應的概率為： f(x=0)=qqq= f(x=1)=pqq+qpq+qqp=3???= f(x=2)=ppq+pqp+qpp=3???= f(x=3)=ppp=??= 由上面的分析可看出： (p+q)n=(p+q)1=+=1 (p+q)n=(p+q)2=p2+2pq+q2 =++=1 (p+q)n=(p+q)3=p3+3p2q +3pq2+q3 =+++=1 011100)( qpCqpCqpCqpCqp nnniniinnnnnn ??????? ?? ??二項式展開后的各項系數(shù) ， 正是從 n個事物種抽得 x個的組合數(shù)即 由此得出二項分布中任何一項的概率通式： 即為二項分布的概率函數(shù) )!(!!xnxnC xn ??)()( xnxxn qpCxf ??二項分布的概率累積函數(shù)： ?????????nxxnxxnmxxnxxnNqpCqpCmxF001)(且滿足由于變量 x=0,1,2, …,n, 為完全事件系，所以這個分布的概率之和必等于 1。 ?【 例如 】 有一批玉米種子，其發(fā)芽率為 70%，如每窩播種 4粒，問出苗數(shù)為 2和 3時的概率分別為多少 ？ A32)(131334222224044413342224311440044??????????????qpCqpCqpCqpCqpCqpCqpCpq概率：出苗率為概率：出苗數(shù)為三、二項分布的形狀和參數(shù) 二項分布的形狀決定于 n和 p的大小。如 p=q,二項分布呈對稱分布；如p≠q 為偏斜分布 . 二項分布的形狀 二項總體的參數(shù) 對于一個給定的二項分布， n和 p是常數(shù)。二項總體的平均數(shù)、方差和標準差的計算公式如下： npqnpqnp??????2?????22 ))(()(???xixipxixip三、普阿松分布 二項總體中稀有事件的概率分布不呈二項分布，而是遵從另一種理論分布 ——普阿松分布（ poisson distribution) 統(tǒng)計定義 若變量 x服從二項分布，當 P很小， n→∞且 np=m為一常數(shù)時，該二項分布的極限為普阿松分布。 概率函數(shù) ??? ?.. .,2,1,0!)(xexmxp mx其中 m=np, e= 普阿松分布的平均數(shù)和方差都等于常數(shù) m,即 ： mm ??? ??? ,2 【 例 】 田間分區(qū)調查 “ 岱字棉 ” 的純度 ，每區(qū)一畝 ， 調查了 310個區(qū) ， 共發(fā)現(xiàn)雜株 341株 ， 試求變量 x的概率分布 。 首先求平均數(shù) =341/310= ， 即每區(qū) (畝 )出現(xiàn)雜株為 ， 這在種植密度上千株的一畝棉田里 ， 是一個很小的數(shù) ， 因此可以認為不純株出現(xiàn)的概率分布服從普阿松分布 。 P(x=0)== P(x=1)= = P(x=2)= = P(x=3)= = P(x=4)= = P(x=5)= = P(x=6)= = P(x≥7)=1∑60f(x)== mxexmxp ??!)(普阿松分布是一個偏斜分布，但隨著m的增大，分布漸趨對稱，接近正態(tài)分布。通常當 m大于 50時，可用正態(tài)分布來處理普阿松分布的問題。 第三節(jié) 抽樣分布 統(tǒng)計學： 總體 樣本
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