相關(guān)與回歸分析新(1)(編輯修改稿)
2025-06-15 21:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??(n2)= ? 由于 ?t?=t???(152)=，拒絕 H0，該種食物需求量和地區(qū)人口增加量 之間的相關(guān)關(guān)系顯著。 134 什么是回歸分析？ （內(nèi)容） 1. 從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā) ， 確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式 2. 對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) ，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著 ， 哪些不顯著 3. 利用所求的關(guān)系式 ， 根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值 ，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度 二、簡(jiǎn)單線性回歸分析 回歸模型與回歸方程 136 回歸模型 1. 回答 “ 變量之間是什么樣的關(guān)系 ？ ” 2. 方程中運(yùn)用 ? 1 個(gè)數(shù)字的因變量 (響應(yīng)變量 ) ? 被預(yù)測(cè)的變量 ? 1 個(gè)或多個(gè)數(shù)字的或分類的自變量 (解釋變量 ) ? 用于預(yù)測(cè)的變量 3. 主要用于預(yù)測(cè)和估計(jì) 137 回歸模型的類型 一個(gè)自變量 兩個(gè)及兩個(gè)以上自變量 回歸模型 多元回歸 一元回歸 線性回歸 非線性回歸 線性回歸 非線性回歸 138 一元線性回歸模型 （概念要點(diǎn)） 1. 當(dāng)只涉及一個(gè)自變量時(shí)稱為 一元回歸 ， 若因變量 Y 與自變量 X 之間為線性關(guān)系時(shí)稱為 一元線性回歸 。 2. 對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量 ， 可以用一條線性方程來表示它們之間的關(guān)系 。 3. 描述因變量 Y 如何依賴于自變量 X 和誤差項(xiàng) ? 的方程稱為 回歸模型 。 139 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? (一 )總體回歸函數(shù) Ｙ t＝ β0＋ β1Ｘ t＋ ut （ ） u t是隨機(jī)誤差項(xiàng)，又稱隨機(jī)干擾項(xiàng)，它是一個(gè)特殊的隨機(jī)變量，反映未列入方程式的其他各種因素對(duì)Ｙ的影響。 ? (二 )樣本回歸函數(shù) : （ ｔ＝１，２， ... n) ｅ t稱為殘差，在概念上，ｅ t與總體誤差項(xiàng) ut相互對(duì)應(yīng)；ｎ是樣本的容量。 tt eXY ??? 10 ?? ??140 一元線性回歸模型 （概念要點(diǎn)） ? 對(duì)于只涉及一個(gè)自變量的簡(jiǎn)單線性回歸模型可表示為 Yt = ?? ? ?? X ? ?? ? 模型中 ， Y 是 X 的線性函數(shù) (部分 )加上誤差項(xiàng) ? 線性部分反映了由于 X 的變化而引起的 Y 的變化 ? 誤差項(xiàng) ?t 是隨機(jī)變量 ? 反映了除 X 和 Y 之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對(duì) Y 的影響 ? 是不能由 X 和 Y 之間的線性關(guān)系所解釋的變異性 ? ?0 和 ?1 稱為模型的參數(shù) 141 樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)區(qū)別 ，只有一條。樣本回歸線是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的，每抽取一組樣本，便可以擬合一條樣本回歸線。 β0和 β1是未知的參數(shù)，表現(xiàn)為常數(shù)。而樣本回歸函數(shù)中的 是隨機(jī)變量，其具體數(shù)值隨所抽取的樣本觀測(cè)值不同而變動(dòng)。 Ut是Ｙ t與未知的總體回歸線之間的縱向距離，它是不可直接觀測(cè)的。而樣本回歸函數(shù)中的ｅ t是Ｙ t與樣本回歸線之間的縱向距離，當(dāng)根據(jù)樣本觀測(cè)值擬合出樣本回歸線之后，可以計(jì)算出ｅ t的具體數(shù)值。 21 ?? ?? 和142 （三） 誤差項(xiàng) 的 基本標(biāo)準(zhǔn)假定 1. 誤差項(xiàng) Ut是一個(gè)期望值為 0的隨機(jī)變量 ， 即E(Ut)=0。 對(duì)于一個(gè)給定的 x 值 ， y 的期望值為E (Yt ) =? 0+ ? 1 Xt 2. 對(duì)于所有的 X值 ， Ut的方差 σ2 都相同 3. 誤差項(xiàng) Ut是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量 ， 且相互獨(dú)立 。 即 U~N( 0 ,σ2 ) ? 獨(dú)立性意味著對(duì)于一個(gè)特定的 X值 ， 它所對(duì)應(yīng)的 U與其他 X 值所對(duì)應(yīng)的 U不相關(guān) ? 對(duì)于一個(gè)特定的 X值 ， 它所對(duì)應(yīng)的 Yt值與其他 Xt所對(duì)應(yīng)的 Y 值也不相關(guān) 143 總體回歸線與隨機(jī)誤差項(xiàng) Ｅ （ Ｙ t） ＝ β0＋ β1Ｘ t X Yt Y 。 。 。 。 。 ut 144 （四）回歸方程 （概念要點(diǎn)） 1. 描述 Y 的平均值或期望值如何依賴于 X 的方程稱為 回歸方程 。 2. 簡(jiǎn)單線性回歸方程的形式如下 E( Y) = ?0+ ?1 X ?方程的圖示是一條直線 ， 因此也稱為直線回歸方程 ? ?0是回歸直線在 Y 軸上的截距 ， 是當(dāng) X=0 時(shí) Y 的期望值 ? ?1是直線的斜率 ， 稱為回歸系數(shù) ， 表示當(dāng) X 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí) ， Y 的平均變動(dòng)值 145 估計(jì) (經(jīng)驗(yàn) )的回歸 方程 3. 簡(jiǎn)單線性回歸中估計(jì)的回歸方程為 其中： 是估計(jì)的回歸直線在 Y 軸上的截距 ， 是直線的斜率 ， 它表示對(duì)于一個(gè)給定的 X 的值 ， 是 Y 的估計(jì)值 ， 也表示 X 每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí) ， Y 的平均變動(dòng)值 。 0?? 1??2. 用樣本統(tǒng)計(jì)量 和 代替回歸方程中的未知參數(shù) 和 ， 就得到了 估計(jì)的回歸方程 。 0?? 1??0? 1?1. 總體回歸參數(shù) 和 是未知的 ， 必需利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì) 0? 1?XY 10 ??? ?? ??三、參數(shù) ?0 和 ?1 的最小二乘估計(jì) 147 （一）最小二乘法 （概念要點(diǎn)） 最小???? ????niinii eYYQ121210 )?()?,?( ??1. 使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的離差平方和達(dá)到最小來求得 和 的方法。即 2. 用最小二乘法擬合的直線來代表 X與 Y之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小 。 0?? 1??148 最小二乘法 （圖示） X Y (xn , yn) (x1 , y1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (x2 , y2) (xi , yi) ｝ ei = yiyi ＾XY 10 ??? ?? ??149 回歸系數(shù)的估計(jì)的最小二乘法公式 設(shè) 將Ｑ對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可得 : ? 加以整理后有： ? ? ??? 22 )?( ttt YYeQ 210 )??( tt XY ?? ?? ??0)??(2? 100＝－ tt XYQ ????? ????0)??(2? 101??? ???? ttt XYXQ ??? － ???? tt YXn 10 ?? ?? ????? tttt YXXX 210 ?? ?? 150 最小二乘法 （ 和 的計(jì)算公式 ） ? 解方程組 可得求解 和 的標(biāo)準(zhǔn)方程如下： 1??0??0?? 1??151 例：現(xiàn)以前例的資料配合回歸直線，計(jì)算如下： 編 號(hào) 人口增長量（千人）X 年 需 求 量（十噸） Y 1 274 162 2 180
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