相關(guān)與回歸分析新(1)(編輯修改稿)
2025-06-15 21:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??(n2)= ? 由于 ?t?=t???(152)=，拒絕 H0，該種食物需求量和地區(qū)人口增加量 之間的相關(guān)關(guān)系顯著。 134 什么是回歸分析？ （內(nèi)容） 1. 從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā) ， 確定變量之間的數(shù)學關(guān)系式 2. 對這些關(guān)系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗 ，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著 ， 哪些不顯著 3. 利用所求的關(guān)系式 ， 根據(jù)一個或幾個變量的取值來預測或控制另一個特定變量的取值 ，并給出這種預測或控制的精確程度 二、簡單線性回歸分析 回歸模型與回歸方程 136 回歸模型 1. 回答 “ 變量之間是什么樣的關(guān)系 ？ ” 2. 方程中運用 ? 1 個數(shù)字的因變量 (響應(yīng)變量 ) ? 被預測的變量 ? 1 個或多個數(shù)字的或分類的自變量 (解釋變量 ) ? 用于預測的變量 3. 主要用于預測和估計 137 回歸模型的類型 一個自變量 兩個及兩個以上自變量 回歸模型 多元回歸 一元回歸 線性回歸 非線性回歸 線性回歸 非線性回歸 138 一元線性回歸模型 （概念要點） 1. 當只涉及一個自變量時稱為 一元回歸 ， 若因變量 Y 與自變量 X 之間為線性關(guān)系時稱為 一元線性回歸 。 2. 對于具有線性關(guān)系的兩個變量 ， 可以用一條線性方程來表示它們之間的關(guān)系 。 3. 描述因變量 Y 如何依賴于自變量 X 和誤差項 ? 的方程稱為 回歸模型 。 139 標準的一元線性回歸模型 ? (一 )總體回歸函數(shù) Ｙ t＝ β0＋ β1Ｘ t＋ ut （ ） u t是隨機誤差項，又稱隨機干擾項，它是一個特殊的隨機變量，反映未列入方程式的其他各種因素對Ｙ的影響。 ? (二 )樣本回歸函數(shù) : （ ｔ＝１，２， ... n) ｅ t稱為殘差，在概念上，ｅ t與總體誤差項 ut相互對應(yīng)；ｎ是樣本的容量。 tt eXY ??? 10 ?? ??140 一元線性回歸模型 （概念要點） ? 對于只涉及一個自變量的簡單線性回歸模型可表示為 Yt = ?? ? ?? X ? ?? ? 模型中 ， Y 是 X 的線性函數(shù) (部分 )加上誤差項 ? 線性部分反映了由于 X 的變化而引起的 Y 的變化 ? 誤差項 ?t 是隨機變量 ? 反映了除 X 和 Y 之間的線性關(guān)系之外的隨機因素對 Y 的影響 ? 是不能由 X 和 Y 之間的線性關(guān)系所解釋的變異性 ? ?0 和 ?1 稱為模型的參數(shù) 141 樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)區(qū)別 ，只有一條。樣本回歸線是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)擬合的，每抽取一組樣本，便可以擬合一條樣本回歸線。 β0和 β1是未知的參數(shù)，表現(xiàn)為常數(shù)。而樣本回歸函數(shù)中的 是隨機變量，其具體數(shù)值隨所抽取的樣本觀測值不同而變動。 Ut是Ｙ t與未知的總體回歸線之間的縱向距離，它是不可直接觀測的。而樣本回歸函數(shù)中的ｅ t是Ｙ t與樣本回歸線之間的縱向距離，當根據(jù)樣本觀測值擬合出樣本回歸線之后，可以計算出ｅ t的具體數(shù)值。 21 ?? ?? 和142 （三） 誤差項 的 基本標準假定 1. 誤差項 Ut是一個期望值為 0的隨機變量 ， 即E(Ut)=0。 對于一個給定的 x 值 ， y 的期望值為E (Yt ) =? 0+ ? 1 Xt 2. 對于所有的 X值 ， Ut的方差 σ2 都相同 3. 誤差項 Ut是一個服從正態(tài)分布的隨機變量 ， 且相互獨立 。 即 U~N( 0 ,σ2 ) ? 獨立性意味著對于一個特定的 X值 ， 它所對應(yīng)的 U與其他 X 值所對應(yīng)的 U不相關(guān) ? 對于一個特定的 X值 ， 它所對應(yīng)的 Yt值與其他 Xt所對應(yīng)的 Y 值也不相關(guān) 143 總體回歸線與隨機誤差項 Ｅ （ Ｙ t） ＝ β0＋ β1Ｘ t X Yt Y 。 。 。 。 。 ut 144 （四）回歸方程 （概念要點） 1. 描述 Y 的平均值或期望值如何依賴于 X 的方程稱為 回歸方程 。 2. 簡單線性回歸方程的形式如下 E( Y) = ?0+ ?1 X ?方程的圖示是一條直線 ， 因此也稱為直線回歸方程 ? ?0是回歸直線在 Y 軸上的截距 ， 是當 X=0 時 Y 的期望值 ? ?1是直線的斜率 ， 稱為回歸系數(shù) ， 表示當 X 每變動一個單位時 ， Y 的平均變動值 145 估計 (經(jīng)驗 )的回歸 方程 3. 簡單線性回歸中估計的回歸方程為 其中： 是估計的回歸直線在 Y 軸上的截距 ， 是直線的斜率 ， 它表示對于一個給定的 X 的值 ， 是 Y 的估計值 ， 也表示 X 每變動一個單位時 ， Y 的平均變動值 。 0?? 1??2. 用樣本統(tǒng)計量 和 代替回歸方程中的未知參數(shù) 和 ， 就得到了 估計的回歸方程 。 0?? 1??0? 1?1. 總體回歸參數(shù) 和 是未知的 ， 必需利用樣本數(shù)據(jù)去估計 0? 1?XY 10 ??? ?? ??三、參數(shù) ?0 和 ?1 的最小二乘估計 147 （一）最小二乘法 （概念要點） 最小???? ????niinii eYYQ121210 )?()?,?( ??1. 使因變量的觀察值與估計值之間的離差平方和達到最小來求得 和 的方法。即 2. 用最小二乘法擬合的直線來代表 X與 Y之間的關(guān)系與實際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小 。 0?? 1??148 最小二乘法 （圖示） X Y (xn , yn) (x1 , y1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? (x2 , y2) (xi , yi) ｝ ei = yiyi ＾XY 10 ??? ?? ??149 回歸系數(shù)的估計的最小二乘法公式 設(shè) 將Ｑ對求偏導數(shù)，并令其等于零，可得 : ? 加以整理后有： ? ? ??? 22 )?( ttt YYeQ 210 )??( tt XY ?? ?? ??0)??(2? 100＝－ tt XYQ ????? ????0)??(2? 101??? ???? ttt XYXQ ??? － ???? tt YXn 10 ?? ?? ????? tttt YXXX 210 ?? ?? 150 最小二乘法 （ 和 的計算公式 ） ? 解方程組 可得求解 和 的標準方程如下： 1??0??0?? 1??151 例：現(xiàn)以前例的資料配合回歸直線，計算如下： 編 號 人口增長量（千人）X 年 需 求 量（十噸） Y 1 274 162 2 180
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