【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 9。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 對(duì)偶原理 消費(fèi)者的效用極大化問題和支出最小化問題是一對(duì)對(duì)偶問題，因?yàn)閮烧叩男袨樵瓌t是一致的，只是目標(biāo)函數(shù)和約束條件正好相反。本節(jié)我們將給出與這一對(duì)偶問題相關(guān)的幾個(gè)重要的恒等式，以便將間接效用函數(shù)、支出效用函數(shù)、馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)有機(jī)地聯(lián)系起來。 ? 幾個(gè)重要恒等式 ? 對(duì)偶原理的圖示 26/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 幾個(gè)重要恒等式 如果效用函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)和連續(xù)的，且消費(fèi)者效用極大化和支出最小化問題均有解，則我們可以發(fā)現(xiàn)下面四個(gè)恒等關(guān)系式： ? 恒等式 1： ? 恒等式 2： ? 恒等式 3： ? 恒等式 4： )],(,[),( mpvpxmpx hii ?)],(,[),( upepxupx ihi ?mmpvpe ?)],(,[uupepv ?)],(,[馬歇爾需求函數(shù) 與?？怂剐枨蠛瘮?shù)的對(duì)偶關(guān)系 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)的對(duì)偶關(guān)系 27/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、恒等式 1： ? 恒等式 1說的是，價(jià)格為 p、收入 m為時(shí)的馬歇爾需求函數(shù)恰好等于價(jià)格為 p、效用水平為 v(p,m)（即在價(jià)格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時(shí)的希克斯需求函數(shù)。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(m a x),(..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..m i nmpvpxxmpvutspxhh ??? ( , ) ( , ( , ) )hx p m x p v p m??28/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、恒等式 2： ? 恒等式 2說得是，價(jià)格為 p、效用水平為 u時(shí)的?？怂剐枨蠛瘮?shù)恰好等于價(jià)格為 p、收入為 e(p,u)（即在價(jià)格為 p且效用為 u情況下的最小支出）時(shí)的馬歇爾需求函數(shù)。 )],(,[),( upepxupx ihi ?),(m i n),()(..m i nupepxupxxuxutspxhh????)),(,(),(..)(m a xupepxxupepxtsxu??? ( , ) ( , ( , ) )hx p u x p e p u??29/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、恒等式 2： ? 恒等式 2說得是，價(jià)格為 p、效用水平為 u時(shí)的希克斯需求函數(shù)恰好等于價(jià)格為 p、收入為e(p,u)（即在價(jià)格為 p且效用為 u情況下的最小支出）時(shí)的馬歇爾需求函數(shù)。 ? 恒等式 2的證明 ： 設(shè) 是最小支出問題 的解，即 將這樣定義的支出水平置換到最大效用問題的約束條件中，只需證明 仍然是最大效用問題 的解即可。 ? 假定上述效用最大化的解為 且，因此 ,由于 u是連續(xù)嚴(yán)格遞增函數(shù)，因此必然有一個(gè) x’’滿足 ，因此有： ? （ 1）意味著消費(fèi)束 x’’ 屬于支出最小化問題的可行集；（ 2）意味著購買 x’’的支出要小于購買 x’的支出，這意味著 不是支出最小化問題的解的結(jié)論，這與假設(shè)矛盾，因此恒等式 2得證。 )],(,[),( upepxupx ihi ?( , )hx p u ( , ) ( , )hm p x p u e p u??( , )hx p u39。, 39。 ( , )hx x x p u?且 ( 39。) [ ( , ) ]hu x u x p u???( ( , ) ) ( 39。39。 ) ( 39。)hu x p u u x u x( , )hx p um a x ( ). . ( , )????????u u xs t p x e p u? ? ? ? ?( 1 ) ( 39。39。 ) 。 ( 2 ) 39。39。 39。 39。39。 39。u x u x x px px mm in. . ( )???????pxs t u x u30/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU C、恒等式 3 ： ? 恒等式 3說的是，價(jià)格為 p、效用水平為 v(p,m)（即在價(jià)格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時(shí)的最小支出恰好等于 m； ? 證明：根據(jù)恒等式 1： ，這說明 和 屬于同一個(gè)消費(fèi)束，因此它們對(duì)應(yīng)的收入（支出）水平是相同的。 對(duì)應(yīng)的收入水平是 m，而 所 對(duì)應(yīng)的收入水平就是 。所以一定有： mmpvpe ?)],(,[)],(,[),( mpvpxmpx hii ? ix ( p,m) hix [ p ,v( p , m )]ix ( p,m)hix [ p ,v( p , m )] e( p ,v( p , m ))mmpvpe ?)],(,[),(m a x),(**..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????mmpvpepxmpvpxxmpvutspxhh?????)),(,(m i n)),(,(),(..m i n?31/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU D、恒等式 4 ： ? 恒等式 4說的是，價(jià)格為 p、收入為 e(p,u)（即在價(jià)格為 p且效用為 u情況下所支付的最小支出）時(shí)的最大效用恰好等于 u。 ? 證明：根據(jù)恒等式 2： ，這說明 和 屬于同一個(gè)消費(fèi)束，因此它們對(duì)應(yīng)的效用水平是相同的。 對(duì)應(yīng)的效用水平是 u，而 所對(duì)應(yīng)的效用水平就是 。所以一定有： ? 一個(gè)例題：見例 uupepv ?)],(,[)],(,[),( upepxupx ihi ? hix ( p,u ) ix [ p ,e( p ,u )]hix ( p,u )ix [ p ,e( p ,u )] v [ p ,e( p ,u )])],(,[),( upepxupx ihi ?),(m i n),()(..m i nupepxupxxuxutspxhh????uupepvxuupepxxupepxtsxuu??????)),(,()(m a x)),(,(**),(..)(m a x?32/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 圖 21：幾個(gè)恒等式的說明 x1 p1 x1(p,m)=x1h [p,v(p,m)]：恒等式 1 x1h(p,u)=x1[p,e(p,u)]： 恒等式 2 x1