【正文】 ： ? 性質(zhì) 1： 在 上是連續(xù)的 [1]； ? 性質(zhì) 2： 是關(guān)于 的零次齊次函數(shù)； ? 性質(zhì) 3： 是關(guān)于 m的嚴(yán)格遞增函數(shù)； ? 性質(zhì) 4： 是關(guān)于 p的嚴(yán)格遞減函數(shù) ? 性質(zhì) 5： 對價(jià)格 p是擬凸 ? 性質(zhì) 6： 滿足羅伊恒等式 （ Roy’s identity） [1] 表示預(yù)算集的定義域，其中：表示價(jià)格的定義域，下標(biāo) “ ＋＋ ” 是指嚴(yán)格為正，沒有一維價(jià)格為 0， n表示有 n維價(jià)格； 表示收入的定義域，收入可以為 0。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質(zhì) 3： ? 即要證明 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 羅伊恒等式 （ Roy’s identity） ? 羅伊恒等式是說：若間接效用函數(shù) v(p,m)已知，且連續(xù)可導(dǎo)，則根據(jù)其可以直接推導(dǎo)出馬歇爾需求函數(shù) x(p,m)， 即： ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關(guān)系。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19/51 169。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 1 1p? ????24/51 169。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(m a x),(..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..m i nmpvpxxmpvutspxhh ??? ( , ) ( , ( , ) )hx p m x p v p m??28/51 169。 ( , )hx x x p u?且 ( 39。39。所以一定有： mmpvpe ?)],(,[)],(,[),( mpvpxmpx hii ? ix ( p,m) hix [ p ,v( p , m )]ix ( p,m)hix [ p ,v( p , m )] e( p ,v( p , m ))mmpvpe ?)],(,[),(m a x),(**..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????mmpvpepxmpvpxxmpvutspxhh?????)),(,(m i n)),(,(),(..m i n?31/51 169。對這一問題的分析即為消費(fèi)者行為的比較靜態(tài)分析，它刻畫了消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)束隨著價(jià)格和收入變動(dòng)而變動(dòng)的軌跡。 將一次齊次效用函數(shù)做一個(gè)正的單調(diào)變換所得到的效用函數(shù)就是位似效用函數(shù)。 ),( mppx 0211),( 0021h1 uppx44/51 169。 ? 商品自身價(jià)格變化的替代效應(yīng)總是小于 0的，即： 根據(jù)謝潑德引理有： ， 并且對其再次求關(guān)于的微分 ， 可得： ? 因此要證明 ，只要證明 即可，而由于支出函數(shù)是關(guān)于價(jià)格的凹函數(shù) (祥見附錄 ) ，因此必有 *( , ) ( , ) ( , )( , ) ( . )hi i iiiix p m x p u x p mx p m 2 1 3p p m? ? ?? ? ?? ? ?*( , ) , , , , ( . )hiix p u 0 i j 1 n 2 1 4p? ???),(),( upxp upe hii???ihi2i2pupxpupe????? ),(),(0p upxihi ??? ),( *0p upe 2i2 ??? ),(0p upe 2i2 ??? ),(48/51 169。一般有： ? 若自變量（ X）只發(fā)生微小的變化，即 X→0 ，則： Y Δ Y Y Δ Y XεX Δ X X Δ X Y? ? ?因變量（ ）變化的百分比自變量（ ）變化的百分比Δ X 0 Δ X 0Δ Y Y Δ Y X d Y Xε lim limΔ X X Δ X Y d X Y??? ? ?51/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、古諾加總規(guī)則 ? 對于馬歇爾需求函數(shù)有： （ j=1,2…,n ），這一等式關(guān)系就是所謂的 古諾加總規(guī)則 。 ? 古諾加總規(guī)則的證明 :見附錄 ni ij ji1s γs?? ? ??ijγjs58/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、需求自身價(jià)格彈性 ? 若令 為消費(fèi)者關(guān)于商品 i的馬歇爾需求函數(shù)，則需求自身價(jià)格彈性為： ix ( p , m )iiiiiix ( p , m ) pε ( 2 .1 8 )p x ( p , m )????53/51 169。根據(jù)不等式（ ）有： ，因此不等式（ ）也即需求法則是否成立就與 的符號相關(guān)。 ? 斯盧茨基方程及其證明 ? 關(guān)于斯盧茨基方程的幾點(diǎn)說明 45/51 169。 （ 5）擬線性偏好的 PCC、 DC、 ICC和 EC 41/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 價(jià)格消費(fèi)曲線 (PCC)和需求曲線 (DC) 收入消費(fèi)曲線 (ICC)和恩格爾曲線 (EC) x2 x1 DC x1 P 圖 23 一般品的 PCC和 DC PCC x2 x1 EC x1 m 圖 23 正常品的 ICC和 EC ICC 幾個(gè)特殊偏好的 PCC、 DC、 ICC和 EC ? 完全替代偏好（ ）的 PCC、 DC和 ICC、 EC ? 完全互補(bǔ)偏好（ ）的 PCC、 DC和和 ICC、 EC ? CD偏好（ ）的 PCC、 DC和 ICC、 EC ? 位似偏好的 PCC、 DC和 ICC、 EC ? 擬線性偏好（ ） 的 PCC、 DC和 ICC、 EC 36/51 169。 ? 證明：根據(jù)恒等式 2： ，這說明 和 屬于同一個(gè)消費(fèi)束，因此它們對應(yīng)的效用水平是相同的。 39。39。 )],(,[),( upepxupx ihi ?),(m i n),()(..m i nupepxupxxuxutspxhh????)),(,(),(..)(m a xupepxxupepxtsxu??? ( , ) ( , ( , ) )hx p u x p e p u??29/51 169。根據(jù)包絡(luò)定理，對 e(p,u)求 的導(dǎo)數(shù)，只要對支出函數(shù) 的拉格朗日函數(shù)求關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)即可： ? 一個(gè)例子：見例 ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t