【正文】 ? 即要證明，對于所有的 a， 是一個凸集 ? 假設 p1和 p2滿足 定義預算集： 可以斷言： ，若不然，存在某個 x： 這意味著： 但： ，這顯然不可能 因此： ? ?p v p m a: ( , ) ???12( , ) , ( , )v p m a v p m a ampvpttpp tt ???? ),()( 。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質 4： ? 即要證明 。按照 包絡定理 (envelope theorem，詳細內容見附錄 ) ，對 v=v(p,m)關于 m的偏導，只要對 的拉格朗日函數 求關于 m的導數即可： ? 由于 （ i=1,2,…,n ），又由于 ， ,則必有 ,因此： 即性質 3得證。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質 3： ? 即要證明 。為此需要證明對于所有 t0，有 : 由于 : ，它顯然等價于： 即： 性質 2得證。 10/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質 1： ? 性質 1是說，當收入與價格發(fā)生微量的變化時，極大化了的效用也會發(fā)生微量的變化。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、間接效用函數的性質 如果直接效用函數在上是連續(xù)且嚴格遞增的 ， 那么間接效用函數就一定具有以下幾個性質： ? 性質 1： 在 上是連續(xù)的 [1]； ? 性質 2： 是關于 的零次齊次函數； ? 性質 3： 是關于 m的嚴格遞增函數； ? 性質 4： 是關于 p的嚴格遞減函數 ? 性質 5： 對價格 p是擬凸 ? 性質 6： 滿足羅伊恒等式 （ Roy’s identity） [1] 表示預算集的定義域，其中：表示價格的定義域，下標 “ ＋＋ ” 是指嚴格為正，沒有一維價格為 0， n表示有 n維價格； 表示收入的定義域，收入可以為 0。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 間接效用函數及其性質 ? 間接效用函數的定義 ? 間接效用函數的性質 7/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、效用極大化問題的基本形式 . ( . )m a x ( )????nxRs t p x m 2 1ux5/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 消費者的最優(yōu)選擇：效用極大化問題 ? 效用最大問題與馬歇爾需求函數 ? 間接效用函數及其性質 ? 馬歇爾需求函數與間接效用函數的關系：羅伊恒等式 3/51 2021/6/15 169。 通過本章的學習 ， 你可以了解： 消費者效用極大化問題； 消費者支出極小化問題： 對偶原理； 需求的比較靜態(tài)分析； 需求彈性 。 其中的邏輯過程是：偏好關系 → 效用函數 → 需求函數 ， 本章將在這一邏輯框架下來分析消費者的最優(yōu)選擇問題 。1/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 第 2章 消費者最優(yōu)選擇和需求分析 上一章根據消費者的偏好結構建立了效用函數 ， 利用效用函數可以刻畫消費者在既定收入約束下的最優(yōu)選擇行為 ， 并從中推導出消費對商品的需求函數 。 消費者最優(yōu)選擇問題可以歸結為消費者在既定收入約束條件下的效用極大化問題或為既定效用水平下的支出極小化問題 ， 這兩個問題互為對偶問題 ， 對前一問題的求解所得到的需求函數為馬歇爾需求函數 ， 而通過對后一個問題的求解所得到的需求函數為希克斯需求函數 。 2/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 效用最大問題與馬歇爾需求函數 ? 效用最大化問題的基本形式 ? 效用最大化問題的均衡解 ? 馬歇爾需求函數 4/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU B、均衡解與馬歇爾需求函數 ? 瓦爾拉斯法則：最優(yōu)解總是把錢化光，即 p*?x=m 這與 x*是最優(yōu)解矛盾 ? 均衡解的充要條件：如果 u(x)具有良好性質，即 u(x)可導，則根據拉格朗日函數： ? 一個例子（見：例 ） * , , ( * )( * ) ( * )? ? ? ? ???p x m Δ x 0 p x Δ x mu x u x Δx若令則L(x, ) = u ( x) ( px m )λλ()? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?iiL x u x x λ p 0L λ p x m 0* * ( , )x x p y?（馬歇爾需求函數） 6/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、間接效用函數的定義 ? 效用最大化問題的目標函數 直接表明了效用與消費量之間的關系，因此又被稱為 直接效用函數 ，根據直接效用函數和預算約束所得到的最優(yōu)解 反映了在不同價格和收入水平下消費者對商品的需求，將效用最大化的最優(yōu)解帶入直接效用函數所得到的函數被定義為 間接效用函數 ，記為： ，即： )(xuu ?),( mpx?)],(*[),( mpxumpv ?( , ) m a x ( * ) ( . ).:?????nxRv p m u x 2 2s t p x m8/51 169。 ),( mpv nn RR ???nR),( mpv ( , )pm),( mpv),( mpv),( mpv),( mpv9/51 169。這是很自然的，因為如果 u(x)是連續(xù)的，那么其極大化了的值也是連續(xù)的。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 證明性質 2： ? 性 2質是說，當價格和收入同比率變動時，效用不會發(fā)生變動。 ),(),(),( mpvmpvttmtpv 0 ?? ( , ) [ m a x ( ) , . : ]????nxRv tp tm u x s t tp x tm[ m a x ( ) , . : ]????nxRu x s t p x m( , ) [ m a x ( ) , . : ] ( , )??? ? ? ?nxRv tp tm u x s t p x m v p m11/51 169。由于 , ，這里 中的 x是效用極大化時的 x，即 x=x*(p,m)它是關于參數 p和 m的函數。 0mmpv ??? ),( ( , ) m a x ( ) , . :????nxRv p m u x s t p x mnRx xu??)(maxm a x ( ) , . :???nxRu x s t p x m )()( pxmxuL ??? ?