【正文】 umxptsxu??..)(maxuxuts xp ??)(..min34/51 169。所以一定有： ? 一個例題：見例 uupepv ?)],(,[)],(,[),( upepxupx ihi ? hix ( p,u ) ix [ p ,e( p ,u )]hix ( p,u )ix [ p ,e( p ,u )] v [ p ,e( p ,u )])],(,[),( upepxupx ihi ?),(m i n),()(..m i nupepxupxxuxutspxhh????uupepvxuupepxxupepxtsxuu??????)),(,()(m a x)),(,(**),(..)(m a x?32/51 169。 ? 證明：根據(jù)恒等式 2： ，這說明 和 屬于同一個消費束，因此它們對應的效用水平是相同的。所以一定有： mmpvpe ?)],(,[)],(,[),( mpvpxmpx hii ? ix ( p,m) hix [ p ,v( p , m )]ix ( p,m)hix [ p ,v( p , m )] e( p ,v( p , m ))mmpvpe ?)],(,[),(m a x),(**..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????mmpvpepxmpvpxxmpvutspxhh?????)),(,(m i n)),(,(),(..m i n?31/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU C、恒等式 3 ： ? 恒等式 3說的是，價格為 p、效用水平為 v(p,m)（即在價格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時的最小支出恰好等于 m； ? 證明：根據(jù)恒等式 1： ，這說明 和 屬于同一個消費束，因此它們對應的收入（支出）水平是相同的。 39。 39。39。 ) 。)hu x p u u x u x( , )hx p um a x ( ). . ( , )????????u u xs t p x e p u? ? ? ? ?( 1 ) ( 39。39。 ( , )hx x x p u?且 ( 39。 )],(,[),( upepxupx ihi ?( , )hx p u ( , ) ( , )hm p x p u e p u??( , )hx p u39。 ? 恒等式 2的證明 ： 設(shè) 是最小支出問題 的解，即 將這樣定義的支出水平置換到最大效用問題的約束條件中，只需證明 仍然是最大效用問題 的解即可。 )],(,[),( upepxupx ihi ?),(m i n),()(..m i nupepxupxxuxutspxhh????)),(,(),(..)(m a xupepxxupepxtsxu??? ( , ) ( , ( , ) )hx p u x p e p u??29/51 169。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(m a x),(..)(m a xmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..m i nmpvpxxmpvutspxhh ??? ( , ) ( , ( , ) )hx p m x p v p m??28/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 幾個重要恒等式 如果效用函數(shù)是嚴格單調(diào)和連續(xù)的，且消費者效用極大化和支出最小化問題均有解，則我們可以發(fā)現(xiàn)下面四個恒等關(guān)系式： ? 恒等式 1： ? 恒等式 2： ? 恒等式 3： ? 恒等式 4： )],(,[),( mpvpxmpx hii ?)],(,[),( upepxupx ihi ?mmpvpe ?)],(,[uupepv ?)],(,[馬歇爾需求函數(shù) 與?？怂剐枨蠛瘮?shù)的對偶關(guān)系 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)的對偶關(guān)系 27/51 169。本節(jié)我們將給出與這一對偶問題相關(guān)的幾個重要的恒等式，以便將間接效用函數(shù)、支出效用函數(shù)、馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)有機地聯(lián)系起來。根據(jù)包絡定理，對 e(p,u)求 的導數(shù)，只要對支出函數(shù) 的拉格朗日函數(shù)求關(guān)于 的導數(shù)即可： ? 一個例子：見例 ( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋， nRx xp???min),( upxxx hii ?? ?ip( , ) m in . : ( )n 0xRe p u p x s t u x u?? ? ?＋， ip),(*),(),( upxxpxLp upe hiiii??????? ?25/51 169。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 1 1p? ????24/51 169。 23/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、支出函數(shù)的定義 ? 將支出最小化問題的解代如其目標函數(shù)而得到的函數(shù)即為支出函數(shù)，記為 e(p,u): ),(),( upxpupe h??( , ) m in . : ( ) ( . )n 0xRe p u p x s t u x u 2 1 0?? ? ?＋即： ，22/51 169。 [ ( ) ] ( . )0L p x λ u x u 2 7? ? ? ?() , , ( . )i i iiiL u xp λ p λu 0 i 1 n 2 8xx??? ? ? ? ? ?[ ( , ) ] ( . )1 2 0L u x x u 0 2 9λ? ? ? ? ??* * ( , )x x p u?20/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19/51 169。 ? 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) ? 支出函數(shù)及其性質(zhì) ? ?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)的關(guān)系：謝潑德引理 17/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 消費者最優(yōu)選擇：支出最小化問題 上一節(jié)討論的是消費者在既定的收入約束下如何選擇商品，以使自己獲得最大的效用。 ? 一個例子：見例題 ( , )( , )( , )iiv p m px p mv p m m??????15/51 169。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 羅伊恒等式 （ Roy’s identity） ? 羅伊恒等式是說：若間接效用函數(shù) v(p,m)已知，且連續(xù)可導，則根據(jù)其可以直接推導出馬歇爾需求函數(shù) x(p,m)， 即： ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關(guān)系。 All Copyrights Reserved by Liu Jianghui, SHNU 性質(zhì) 5的證明：