【正文】 (必要條件 ) 設(shè)理性消費者 (X, ?)的效用函數(shù) u: X ? R 在 X 內(nèi)部可微并且 (?x?X ?)(u ?(x) ? 0)。由此便可推知 u?(x*) ? 0。 注意，定理的條件保證了 u?(x*) ? 0。一、 實現(xiàn)均衡的一階條件 證明：在定理的條件下，效用最大化只能在預(yù)算線上實現(xiàn)，于是根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法可知，存在實數(shù) ? 使得 u ?(x*) = ? p 且 p x* = r。鑒于這個原因，我們把方程組 叫做 效用最大化 邊際方程 或 邊際等式 (marginal equation)，其中實數(shù) ? 叫做 拉格朗日乘數(shù) ，簡稱 拉氏乘數(shù) ， 。在需求服從瓦爾拉定律的情況下，不等式約束 “ p x ? r” 可用等式約束 “ p x = r” 替代 ，從而效用最大化問題變得更加明確： 在需求服從瓦爾拉定律的情況下，效用最大化問題可用拉格朗日乘數(shù)法求解。假定價格體系為 p 0，消費者收入為 r。問題是：怎樣才能實現(xiàn)均衡？ 使用效用函數(shù)，可以對這個問題作出回答。3 消費者均衡 消費者均衡 是指 消費者的效用最大化狀態(tài) 。凡提到需求，如無特殊說明，均指馬歇爾需求。既然如此，消費最優(yōu)化問題就既可以從效用最大化出發(fā)，也可以從支出最小化出發(fā)來解決。對任何 ( p, r)??? 和 ( p, x)??，都有：(1) (?z?D( p, r))( z?H( p, z))， 即效用最大時支出也最小 ；(2) (?z?H( p, x))( z?D( p, e( p, x)))， 即支出最小時效用也最大 ；(3) 如果 ? 還嚴格凸 , 則 ? ( p, r) = h( p, ? ( p, r))且 h( p, x) = ? ( p, e( p, x))。其實并非如此，效用最大化與支出最小化是相互對偶的問題。即 價格與需求反向變動。效用不變性： 對任何 ( p, x)??， h( p, x) ~ x 。該映射的每一個分量函數(shù) hi( p, x) 稱為消費者的 ?？怂剐枨蠛瘮?shù) ( i = 1,2,? ,?)。鑒于此，我們用 ? 來專門表示這種 價格 方案 組合的全體，即? = {( p, x)?R ? X : ( p ? 0)?(e( p, x) I( p))}三、?？怂剐枨笥成? ?？怂剐枨蟮拇嬖谛院臀ㄒ恍员砻?，在假設(shè) HC 和偏好關(guān)系連續(xù)、嚴格凸的條件下，?？怂剐枨蟠_定了一個映射 h: ??X 如下：(?( p, x)??)( H( p, x)={h( p, x)})即 h( p, x) 就是 H( p, x) 中的那個唯一的方案。這與 y ?H( p, x)相 矛盾！ ?u條件分析 ： p?0的要求在?？怂剐枨蟠嬖谛灾胁豢缮?， 最低支出條件 e( p, x) I( p)在?？怂剐枨笪ㄒ恍圆豢缮佟t存在 w?X 使得 p w p y且 w ? x。這與 y? ?H( p, x)相 矛盾！xy? ?H( p, x)y? ?H( p, x)y = –( y?+y? )wz12(三 ) ?？怂剐枨蟮谋Ｐ詎 保效性定理 設(shè)消費集合 X 是凸集，偏好 ? 連續(xù) , 則對服從最低支出限制的任何價格向量 p 和消費方案 x?X ，?？怂剐枨蠹螲( p, x)中的每種方案都與 x 無差異。 ? 的嚴格凸性保證了 y ? x。 反證法： 假如存在 y?, y? ?H( p, x), y? ? y? ,如右圖所示 , 則 p y? = p y? = e( p, x) I( p), 從而存在 w?X 滿足 p w p y ?。如果唯一性成立，則消費從支出最小化角度的選擇便是明確的。故希克斯需求存在。x p 證明： X 為下有界非空閉集及 p0意味著集合 B = {z?X : (z ? x)?( pz ? px)}是非空有界閉集。 (一 ) ?？怂剐枨蟮拇嬖谛? ?？怂剐枨蟮拇嬖谛允且粋€基本問題。n 存在性 定理 如果 消費集合 是下有界非空閉子集，并且偏好關(guān)系 ? 連續(xù)，則對任何價格向量 p?0及任何消費方案 x?X ， 都有 H( p, x) ?? 。 x?H( p, z)說明 p x ? p y； y?H( q, z)說明 q x ? q y。n 希克斯需求法則 ： 對任何價格向量 p, q 及任何 z?X ， 都有(?x?H( p, z))(?y?H( q, z)) ( ( p ? q)(x ? y) ? 0 ) 即 ?？怂剐枨笈c商品價格之間呈反向變動關(guān)系 。 用 H( p, x) 表示價格下 方案 x 處的希克斯需求向量的全體，稱為價格 p 下方案 x 處 (或 效用水平 [x]上 )的 ?？怂剐枨蠹?，即H( p, x) = {z?E(x): (?y?E(x))( p z ? p y )}二、希克斯需求l 對任何 p 0及任何 x, y?X ， 只要 x ~ y， 就有 H( p, x) = H( p, y)。n 定理 對于理性消費者 (X, ?) 來說 ， 在任何價格 p 0 下 ， 對任何 x, y?X ( p)， 都有 這就是 支出函數(shù)的效用性質(zhì) 。 鑒于這個原因，通?？紤]支出最小化問題時，總是要求 e( p, x) I( p)。這意味著 E(x)中的最小支出點 x* (即 px* = e( p, x))和 E( y)中的最小支出點 y*都在 ?X上，如下圖所示。n 效用水平支出函數(shù) ： 當(dāng) e( p, x)=I( p)時，支出達到消費集合 上的最小支出，再也沒有變小的余地。l 對任何 ， x?X 及任何實數(shù) t 0， 都 有 e(t p, x) = t e( p, y)。l 對任何 及任何 x, y?X ， 只要 x ~ y， 就有 e( p, x) = e( p, y)。顯然， 。支出集合Xl 對任何 ?？梢钥闯?，每次選擇都在集合 E(x) = { y?X : y ? x} 中進行。至于是否選擇 y 作為行動方案，則又取決于是否存在不比 x差而支出比 y還少的其他可行消費方案 z。 消費者是否要選定 x 作為消費行動呢？這取決于是否還有其他不比 x 差的可行消費方案 y能使支出 ( py)變得更少。假定消費者目前面臨著一種可以選擇的消費方案為 x?X ，商品的價格體系為 p。?？怂箯闹С鲎钚』霭l(fā)，分析了消費者的選擇，給出了今天稱謂的 ?？怂剐枨?概念。