【文章內容簡介】 題考查分段函數模型的建立，考查離散型隨機變量的期望與方差，考查學生利用數學知識解決實際問題的能力． 19．（ 12 分）如圖，直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中， AC=BC=AA1， D是棱 AA1 的中點， DC1⊥ BD（ 1）證明： DC1⊥ BC； （ 2）求二面角 A1﹣ BD﹣ C1 的大?。究?點】 LO：空間中直線與直線之間的位置關系； MJ：二面角的平面角及求法．菁優(yōu)網版權所有【專題】 15：綜合題．【分析】（ 1）證明 DC1⊥ BC，只需證明 DC1⊥面 BCD，即證明 DC1⊥DC， DC1⊥ BD； （ 2）證明 BC⊥面 ACC1A1，可得 BC⊥ AC 取 A1B1 的中點 O，過點 O作 OH⊥ BD 于點 H，連接 C1O， C1H，可得點 H 與點 D 重合且∠ C1DO是二面角 A1﹣ BD﹣ C1 的平面角，由此可求二面角 A1﹣ BD﹣ C1 的大?。窘獯稹浚?1）證明：在 Rt△ DAC中， AD=AC，∴∠ ADC=45176。同理：∠ A1DC1=45176。，∴∠ CDC1=90176。∴ DC1⊥ DC， DC1⊥ BD∵ DC∩ BD=D∴ DC1⊥面 BCD∵ BC?面BCD∴ DC1⊥ BC（ 2）解：∵ DC1⊥ BC， CC1⊥ BC， DC1∩ CC1=C1，∴ BC⊥面 ACC1A1，∵ AC?面 ACC1A1，∴ BC⊥ AC 取 A1B1 的中點 O，過點 O 作OH⊥ BD 于點 H，連接 C1O， OH∵ A1C1=B1C1，∴ C1O⊥ A1B1，∵面 A1B1C1⊥面 A1BD，面 A1B1C1∩面 A1BD=A1B1，∴ C1O⊥面 A1BD而 BD?面 A1BD∴ BD⊥ C1O，∵ OH⊥ BD， C1O∩ OH=O，∴ BD⊥面 C1OH∴ C1H⊥ BD，∴點 H與點 D 重合且∠ C1DO是二面角 A1﹣ BD﹣ C1 的平面角設 AC=a，則，∴sin∠ C1DO=∴∠ C1DO=30176。即二面角 A1﹣ BD﹣ C1的大小為 30176。【點評】本題考查線面垂直 ，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出面面角，屬于中檔題． 20．（ 12 分）設拋物線 C： x2=2py（ p＞ 0）的焦點為 F，準線為 l， A∈ C，已知以 F 為圓心， FA 為半徑的圓F 交 l 于 B， D兩點； （ 1）若∠ BFD=90176。，△ ABD 的面積為，求 p 的值及圓 F 的方程； （ 2）若 A， B， F三點在同一直線 m上，直線 n與 m平行，且 n與C 只有一個公共點，求坐標原點到 m， n距離的比值．【考點】 J1：圓的標準方程； K8：拋物線的性質； KI：圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網版權所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】（ 1）由對稱性知：△ BFD 是等腰直角△，斜邊 |BD|=2p點 A 到準線 l的距離，由△ ABD的面積 S△ ABD=，知 =，由此能求出圓 F 的方程．（ 2）由對稱性設，則點 A， B 關于點 F 對稱得：，得：，由此能求出坐標原點到 m， n 距離的比值．【解答】解：（ 1）由對稱性知：△ BFD是等腰直角△，斜邊 |BD|=2p點 A 到準線 l 的距離，∵△ ABD 的面積 S△ ABD=，∴ =，解得 p=2，所以 F 坐標為（ 0， 1），∴圓F 的方程為 x2+（ y﹣ 1） 2=8．（ 2）由題設，則，∵ A， B， F三點在同一直線 m 上，又 AB 為圓 F的直徑，故 A， B 關于點 F對稱．由點 A， B 關于點 F 對稱得： 得：，直線，切點直線坐標原點到 m， n距離的比值為．【點評】本題考查拋物線與直線的位置關系的綜合應用，具體涉及到拋物線的簡單性質、圓的性質、導數的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化． 21．（ 12 分）已知函數 f（ x）滿足 f（ x）=f′（ 1） ex﹣ 1﹣ f（ 0） x+x2； （ 1）求 f（ x）的解析式及單調區(qū)間； （ 2）若，求（ a+1） b的最大值．【考點】 6B：利用導數研究函數的單調性； 6E：利用導數研究函數的最值．菁優(yōu)網版權所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題； 2A：探究型； 35：轉化思想．【分析】（ 1）對函數 f（ x）求導，再令自變量為 1，求出 f′（ 1）得到函數的解析式及導數，再由導數求函數的單調區(qū)間； （ 2）由題意，借助導數求出新函數的最小值，令其大于 0 即可得到參數 a， b 所滿足的關系式，再研究（ a+1） b 的最大值【解答】解：（ 1） f（ x） =f＇（ 1） ex﹣ 1﹣ f（ 0） x+?f＇（ x） =f＇（ 1） ex﹣ 1﹣ f（ 0）+x 令 x=1 得： f（ 0） =1∴ f（ x） =f＇（ 1） ex﹣ 1﹣ x+令 x=0，得 f（ 0）=f＇（ 1） e﹣ 1=1解得 f＇（ 1） =e 故函數的解析式為 f（ x） =ex﹣ x+令 g（ x） =f＇（ x） =ex﹣ 1+x∴ g＇（ x） =ex+1＞ 0，由此知 y=g（ x）在 x∈ R上單調遞增當 x＞ 0時， f＇（ x）＞ f＇（ 0） =0； 當 x＜ 0 時，有 f＇（ x）＜ f＇（ 0） =0得： 函數 f（ x） =ex﹣ x+的單調遞增區(qū)間為（ 0， +∞），單調遞減區(qū)間為（﹣∞， 0）（ 2） f（ x）≥﹣（ a+1） x﹣ b≥ 0 得 h′（ x） =ex﹣（ a+1）①當 a+1≤ 0 時， h′（ x）＞ 0?y=h（ x）在 x∈ R 上單調遞增， x→﹣∞時， h（ x）→﹣∞與 h（ x）≥ 0 矛盾②當 a+1＞ 0 時， h′（ x）＞ 0?x＞ ln（ a+1）， h＇（ x）＜ 0?x＜ ln（ a+1）得：當 x=ln（ a+1）時， h（ x） min=（ a+1）﹣（ a+1） ln（ a+1）﹣ b≥ 0，即（ a+1）﹣（ a+1）ln（ a+1）≥ b∴（ a+1） b≤（ a+1） 2﹣（ a+1） 2ln（ a+1），（ a+1＞ 0）令 F（ x） =x2﹣ x2lnx（ x＞ 0），則 F＇（ x） =x（ 1﹣ 2lnx）∴ F＇（ x）＞0?0＜ x＜當 x=時， F（ x） max=即當 a=時，（ a+1） b的最大值為【點評】本題考查導數在最值問題中的應用及利用導數研究函數的單調性，解題的關鍵是第一題中要賦值求出 f′（ 1），易因為沒有將 f′（ 1）看作常數而出錯，第二題中將不等式恒成立研究參數關系的問題轉化為最小值問題，本題考查了轉化的思想，考查判斷推理能力，是高考中的熱點題型，計算量大，易馬虎出錯． 四、請考生在第 22， 23， 24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號． 22．（ 10 分）如圖， D， E 分別為△ ABC 邊 AB， AC 的中點，直線 DE 交△ ABC的外接圓于 F， G兩點，若 CF∥ AB，證明： （ 1） CD=BC； （ 2）△ BCD∽△ GBD．【考點】 N4：相似三角形的判定．菁優(yōu)網版權所有【專題】 14：證明題．【分析】（ 1）根據 D， E 分別為△ ABC 邊AB， AC 的中點，可得 DE∥ BC，證明四邊形 ADCF 是平行四邊形，即可得到結論； （ 2）證明兩組對應角相等，即可證得△ BCD～△ GBD．【解答】證明：（ 1）∵ D， E 分別為△ ABC 邊 AB， AC 的中點∴ DF∥ BC， AD=DB∵ AB∥ CF，∴四邊形 BDFC 是平行四邊形∴ CF∥ BD， CF=BD∴ CF∥ AD， CF=AD∴四邊形 ADCF 是平行四邊形∴ AF=CD∵，∴ BC=AF，∴ CD=BC．（ 2）由（ 1）知，所以．所以∠ BGD=∠ DBC．因為 GF∥ BC，所以∠ BDG=∠ ADF=∠ DBC=∠ BDC．所以△ BCD～△ GBD．【點評】本題考查幾何證明選講，考查平行四邊形的證明，考查三角形的相似，屬于基礎題． 23．選修 4﹣ 4； 坐標系與參數方程已知曲線 C1 的參數方程是（φ為參數），以坐標原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線 C2 的坐標系方程是ρ =2，正方形 ABCD的頂點都在 C2 上，且 A， B， C， D依逆時針次序排列，點 A 的 極坐標為（ 2，）．（ 1）求點 A， B， C， D的直角坐標； （ 2）設 P 為 C1 上任意一點，求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范圍．【考點】 Q4：簡單曲線的極坐標方程； Q8：點的極坐標和直角坐標的互化； QL：橢圓的參數方程．菁優(yōu)網版權所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】（ 1）確定點 A， B， C， D 的極坐標，即可得點 A， B， C， D的直角坐標； （ 2）利用參數方程設出 P 的坐標，借助于三角函數，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范圍．【解答】解：（ 1）點 A， B， C，D 的極坐標為點 A， B， C， D 的直角坐標為（ 2）設 P（ x0， y0），則為參數） t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵ sin2φ∈ [0， 1]∴ t∈ [32， 52]【點評】本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查圓的參數方程的運用，屬于中檔題． 24．已知函數 f（ x） =|x+a|+|x﹣ 2|①當 a=﹣ 3時，求不等式 f（ x）≥ 3的解集； ② f（ x）≤ |x﹣ 4|若的解集包含 [1， 2]，求 a 的取值范圍．【考點】R5：絕對值不等式的解法．菁優(yōu)網版權所有【專題】 17：選作題； 59：不等式的解法及應用； 5T：不等式．【分析】①不等式等價于，或，或，求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．②原命題等價于﹣ 2﹣ x≤ a≤ 2﹣ x 在 [1，2]上恒成立，由此求得求 a 的取值范圍．【解答】解：（ 1）當 a=﹣ 3時，f（ x）≥ 3 即 |x﹣ 3|+|x﹣ 2|≥ 3，即，可得 x≤ 1； ，可得 x∈ ?； ，可得 x≥ 4．取并集可得不等式的解集為 {x|x≤ 1或 x≥ 4}．（ 2）原命題即 f（ x）≤ |x﹣ 4|在 [1， 2]上恒成立，等價于 |x+a|+2﹣ x≤ 4﹣ x 在 [1， 2]上恒成立，等價于 |x+a|≤ 2，等價于﹣ 2≤ x+a≤ 2，﹣ 2﹣ x≤ a≤ 2﹣ x在 [1， 2]上恒成立．故當 1≤ x≤ 2時，﹣ 2﹣ x 的最大值為﹣ 2﹣ 1=﹣ 3， 2﹣ x 的最小值為 0，故 a 的取值范圍為 [﹣ 3， 0]．【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題． 第二篇 ：高考卷 ,全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標）（含解析版） ,12 屆 2021 年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（新課標）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5分，在每小題給同的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（ 5分）已知集合 A={1， 2， 3， 4， 5}， B={（ x，y） |x∈ A， y∈ A， x﹣ y∈ A}，則 B 中所含元素的個數為（）A． 3B． 6C． 8D． 102．（ 5 分）將 2 名教師， 4 名學生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由 1 名教師和 2名學生組成，不同的安排方案共有（） A． 12 種 B． 10 種 C． 9 種 D． 8種 3．（ 5分）下面是關于復數 z=的四個命題：其中的真命題為（）， p1：|z|=2， p2： z2=2i， p3： z 的共軛復數為 1+i， p4： z 的虛部為﹣ 1． A． p2，p3B． p1， p2C． p2， p4D． p3， p44．（ 5 分）設 F F2 是橢圓 E： +=1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦點， P 為直線 x=上一點，△ F2PF1 是底角為 30176。的等腰三角形，則 E 的離心率為（） A． B． C． D． 5．（ 5分）已知 {an}為等比數列， a4+a7=2， a5a6=﹣ 8，則 a1+a10=（） A． 7B． 5C．﹣ 5D．﹣76．（ 5 分）如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數 N（ N≥ 2）和實數a1， a2，?， an，輸出 A， B，則（） A． A+B 為 a1， a2，?， an 的和 B．為a1， a2，?， an 的算術平均數 C． A 和 B 分別是 a1， a2，?， an中最大的數和最小的數 D． A 和 B 分別是 a1， a2，?， an 中最小的數和最大的數 7．（ 5 分）如圖，網格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（） A． 6B． 9C． 12D． 188．（ 5分）等軸雙曲線 C 的中心在原點，焦點在 x 軸上， C 與拋物線 y2=16x的準線交于點 A和點 B， |AB|=4，則