【文章內(nèi)容簡介】 s11sHsH）（）（）（??? （ ） s= ??j? ， 此公式說明了 幅度平方函數(shù)有 2N 個極點 ， 極點 ks 可以用下面的公式來表達 ： )( ?jHa?0 c?1 N=2 N=4 N=8 煙臺大學畢業(yè)論文（設(shè)計） 12 ）（）（ ）（ N2 1k221jcN2 1k2j2jcN2 1k2jck js ???? ?????? ???? ???? （ ） k=0,1,2， ， 2N1。 2N個極點等間隔分布在半徑為 c? 的圓上，間隔是 ? /N rad。如圖 ： 圖 三階巴特沃斯濾波器極點分布 為形成穩(wěn)定的濾波 器， 2N個極點中只取 s平面左半平面的 N個極點構(gòu)成 ）（ sHa ，而右半平面的 N個極點構(gòu)成 ）（ sHa ? 。 ）（ sHa 的表示式為 ??????10a )(sH Nk kNcss）（ （ ） 例如 N=3,通過下式可以計算出 6個極點 ?32jc0s ??? ， ?jc1s ??? ， ?34jc2s ??? ， ?35jc3s ??? ， ?2jc4s ??? ， ?37jc5s ??? 當 N=3時， 6 個極點中位于左半平面的三個分別為 : ?32jc0s ??? ， cjc1 s ???? ?? ， ?34jc2s ??? 取 s平面左半平面的極點 210 sss ， 組成 ）（ sHa ： ））（）（（）（ ??32jc32jcc3ca ssssH ?????? （ ） 將?? ??? 1N 0kckca ss1sH）（）（ 對 3dB 截止頻率 Ω c 歸一化： 歸一化后的 ）（ sHa 表示為： ?? ??? 1N 0kckca ss1sH）（）（ （ ） 0 1 ?j?1s0s2s5s3s4s煙臺大學畢業(yè)論文（設(shè)計） 13 令 ?jjspcc ?????? ， p稱為歸一化拉氏復(fù)變量 。 c/???? ， ? 稱為歸一化頻率。 經(jīng)過 歸一化 后 巴特沃斯 濾波器 的傳輸函數(shù)為 ： ??? 1N 0K ka pp1pH）（）（ （ ） 式中， ckk /sp ?? 為歸一化極點， ks 為位于左半平面的極點用下式表示： 1N1,0kp N2 1k221jk ?? ，）（ ?? ??? （ ） 將極點表示式 ()代入 ()式，得到的 ）（ pHa 的分母是 p 的 N 階多項式，用下式表示： NNNa ppbpbpbbpH ????????? ?? 1122101)( （ ） 下面來確定 N 由技術(shù)指標 p? ， p? s? 和 s? 確定 。 在定義 2pap jHlg10 ）（ ??? （ ）2pap jHlg10 ）（ ??? （ ）N2c2a 11jH）（）（????? （ ） 中，將 Ω = p? 和 Ω = s? 分別代入 ()式中，得到 2pa jH ）（ ? 和 2a sjH ）（ ? ，再將 2pa jH ）（ ? 和 2a sjH ）（ ? 代入 ()和 ()式中 ， 得到 ： ],)(11lg [102 Ncpp?????? （ ） ])(1 1lg [102 Ncss ?????? （ ） 整理得： 10/p101 N2cp ????? ）（ （ ） 10/s101 N2cs ????? ）（ （ ） 由 ()和 ()式得到： 煙臺大學畢業(yè)論文（設(shè)計） 14 11011010/s10/pNsp????? ）（ （ ） 令 110110k/10/10/spsp sp????? ??? ，ps （ ） 則 N由下式表示： spsplglgkN ?? （ ） 取大于等于 N的最小整數(shù)。 關(guān)于 3dB 截止頻率 c? ， 如果技術(shù)指標中沒有給出，可以按照 ()式或 ()式求出， 10/N2cp p101 ????? ）（ （ ）10/N2cs s101 ????? ）（ （ ） 由 ()式得到： 110 p ）（ ???? （ ） 由 ()式得到： 110 s ）（ ???? () 經(jīng)過總結(jié)， 巴特沃斯 低通 濾波器的設(shè)計步驟 大致為 ： ① 通過 p? , p? , s? 和 s? 的值 ，用 公式spsplglgkN ?? 算 出濾波器的階數(shù) 0N 。 ② 根據(jù)公式 1N1,0kp N2 1k221jk ?? ，）（ ?? ??? ， 求出歸一化極點 kp ，將 kp 代入 ??? 1N 0k ka pp1pH）（）（ 中 ，得 出 歸一化傳輸函數(shù) ）（ pHa 。 ③將 ）（ pHa 去歸一化。將 p=s/Ω c 代入 ）（ pHa 之中 ， 從而 得到實際的濾波器傳輸函數(shù)）（ sHa 。 煙臺大學畢業(yè)論文 （設(shè)計） 15 4 MATLAB 仿真及分析 MATLAB 工具箱函數(shù) MATLAB 的信號處理工具箱提供了濾波器的函數(shù) buttap、 buttord、 butter。 由 [z,p,k] = buttap(n)函數(shù) 可設(shè)計出 n階巴特沃斯低通濾波器原型 ,其傳遞函數(shù)為 ))(())2())(1(( 1)( npspspssH ????? （ ） 所以事實 上 z 為空陣 。 上述零極點形式可以化為 ： 011)( bsbsbsksH ninn ?????? ?? （ ） 其中 ncb ??0 ， 令 sc /rad1?? ，得到巴特 沃斯濾波器 歸一化結(jié)果 ,如 表 1所示。 表 1 8~1n? 階的巴特沃斯濾波器系數(shù) n b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 1 2 3 4 5 6 7 8 buttord 函數(shù)可在給定濾波器性能的情況下 ,選巴特沃斯濾波器的階數(shù) n 和截止頻率 c? ,從而可用 butter 函數(shù)設(shè)計巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù) 。 [9] [n , c? ] = buttord ( p? , c? ,Rp ,Rs ,′s′) 可得到足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數(shù) n及截止頻率 c? ,其中 p? 為通帶的拐角頻率 , s? 為阻帶的拐角頻率 , p? 和 s? 的單位均為 rad/s。 Rs 為通帶區(qū)的最大波動系數(shù) ,Rp 為 Rs 阻帶區(qū)的最小衰減系數(shù) , Rs 和 Rp 的單位都為 dB。 [b,a] = butter (n, c? ,′s′) 可設(shè)計截止頻率為 c? 的 n 階低通模擬巴特沃斯濾波器 ,其傳遞函數(shù) 為 : [10] )1()2( )1()2()1()( )()( 11????? ??????? ??nasas nbsbsbsA sBsH nnnn () 巴特沃斯低通濾波器的 MATLAB 仿真 由于沖擊響 應(yīng)不變法和階躍響應(yīng)不變法的不足 ,下面以雙線性變換法設(shè)計一個巴特沃思低通濾波器。通過仔細研究 MATLAB 軟件自帶的信號處理工具箱下 %:MATLABD IR%\ 煙臺大學畢業(yè)論文（設(shè)計） 16 toolbox \ signal \ signal \ 和 %MATLABD IR% \toolbox \signal\signal\ ,可以清楚看到 :MATLAB 默認采用雙線性變換法設(shè)計 ,其實完全可以采用更簡潔的方法。 [8] 濾波器的性能指標如下 :通帶截止頻率 fp=5kHz，通帶最大衰減 p? =2dB，阻帶截止頻率 fs=12kHz，阻帶最小衰減 s? =30dB MATLAB 程序如下 : close all,N=256。 t=linspace(0,1,N)。dt=t(2)t(1)。 xt=cos(2*pi*4*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)。 f=(0:(N/21))/(dt*N)。Xt=fft(xt,N)。 subplot(2,1,1),plot(t(1:128),xt(1:128)),subplot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(Xt(1:64))),xlabel(39。f(kHz)39。) Qc=。b0=1。b1=。b2=。b3=b2。b4=b1。 Q=f %Q=linspace(0,25,N)。 Ha=Qc^5./((j*Q).^5+b4*Qc*(j*Q).^4+b3*Qc^2*(j*Q).^3+b2*Qc^3*(j*Q).^2+b1*Qc^4*(j*Q)+b0*Qc^5)。L=length(Ha) Has=20*log10(abs(Ha))。 figure,plot(Q(1:64),Has(1:64),Q,30,39。r*39。,12,Has,39。*39。,5,Has,39。*39。),axis([0 30 70 2]),xlabel(39。f(kHz)39。),ylabel(39。20lg(abs(H_{a}(j{\Omega})))(dB)39。)。 Yt=Xt(1:L).*Ha 。yt=ifft(Yt)。 figure,subplot(2,1,1),plot(t(1:128),abs(yt(1:128))),subplot(2,1,2),plot(f(1:64),abs(Yt(1:64)))。,xlabel(39。f(kHz)39。)