【正文】 =12kHz，阻帶最小衰減 s? =30dB MATLAB 程序如下 : close all,N=256。 [b,a] = butter (n, c? ,′s′) 可設(shè)計(jì)截止頻率為 c? 的 n 階低通模擬巴特沃斯濾波器 ,其傳遞函數(shù) 為 : [10] )1()2( )1()2()1()( )()( 11????? ??????? ??nasas nbsbsbsA sBsH nnnn () 巴特沃斯低通濾波器的 MATLAB 仿真 由于沖擊響 應(yīng)不變法和階躍響應(yīng)不變法的不足 ,下面以雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃思低通濾波器。 [9] [n , c? ] = buttord ( p? , c? ,Rp ,Rs ,′s′) 可得到足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數(shù) n及截止頻率 c? ,其中 p? 為通帶的拐角頻率 , s? 為阻帶的拐角頻率 , p? 和 s? 的單位均為 rad/s。 上述零極點(diǎn)形式可以化為 ： 011)( bsbsbsksH ninn ?????? ?? （ ） 其中 ncb ??0 ， 令 sc /rad1?? ，得到巴特 沃斯濾波器 歸一化結(jié)果 ,如 表 1所示。 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文 （設(shè)計(jì)） 15 4 MATLAB 仿真及分析 MATLAB 工具箱函數(shù) MATLAB 的信號(hào)處理工具箱提供了濾波器的函數(shù) buttap、 buttord、 butter。 ③將 ）（ pHa 去歸一化。 關(guān)于 3dB 截止頻率 c? ， 如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照 ()式或 ()式求出， 10/N2cp p101 ????? ）（ （ ）10/N2cs s101 ????? ）（ （ ） 由 ()式得到： 110 p ）（ ???? （ ） 由 ()式得到： 110 s ）（ ???? () 經(jīng)過總結(jié)， 巴特沃斯 低通 濾波器的設(shè)計(jì)步驟 大致為 ： ① 通過 p? , p? , s? 和 s? 的值 ，用 公式spsplglgkN ?? 算 出濾波器的階數(shù) 0N 。 經(jīng)過 歸一化 后 巴特沃斯 濾波器 的傳輸函數(shù)為 ： ??? 1N 0K ka pp1pH）（）（ （ ） 式中， ckk /sp ?? 為歸一化極點(diǎn)， ks 為位于左半平面的極點(diǎn)用下式表示： 1N1,0kp N2 1k221jk ?? ，）（ ?? ??? （ ） 將極點(diǎn)表示式 ()代入 ()式，得到的 ）（ pHa 的分母是 p 的 N 階多項(xiàng)式，用下式表示： NNNa ppbpbpbbpH ????????? ?? 1122101)( （ ） 下面來確定 N 由技術(shù)指標(biāo) p? ， p? s? 和 s? 確定 。 ）（ sHa 的表示式為 ??????10a )(sH Nk kNcss）（ （ ） 例如 N=3,通過下式可以計(jì)算出 6個(gè)極點(diǎn) ?32jc0s ??? ， ?jc1s ??? ， ?34jc2s ??? ， ?35jc3s ??? ， ?2jc4s ??? ， ?37jc5s ??? 當(dāng) N=3時(shí)， 6 個(gè)極點(diǎn)中位于左半平面的三個(gè)分別為 : ?32jc0s ??? ， cjc1 s ???? ?? ， ?34jc2s ??? 取 s平面左半平面的極點(diǎn) 210 sss ， 組成 ）（ sHa ： ））（）（（）（ ??32jc32jcc3ca ssssH ?????? （ ） 將?? ??? 1N 0kckca ss1sH）（）（ 對(duì) 3dB 截止頻率 Ω c 歸一化： 歸一化后的 ）（ sHa 表示為： ?? ??? 1N 0kckca ss1sH）（）（ （ ） 0 1 ?j?1s0s2s5s3s4s煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 13 令 ?jjspcc ?????? ， p稱為歸一化拉氏復(fù)變量 。 2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為 c? 的圓上，間隔是 ? /N rad。 圖 ? 、 N同幅度特性關(guān)系 用 s代替 ?j ， 把 幅度平方函數(shù) 2a jH ）（ ? 變成 s的函數(shù)： N2caajs11sHsH）（）（）（??? （ ） s= ??j? ， 此公式說明了 幅度平方函數(shù)有 2N 個(gè)極點(diǎn) ， 極點(diǎn) ks 可以用下面的公式來表達(dá) ： )( ?jHa?0 c?1 N=2 N=4 N=8 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 12 ）（）（ ）（ N2 1k221jcN2 1k2j2jcN2 1k2jck js ???? ?????? ???? ???? （ ） k=0,1,2， ? 、 N 同 幅度特性關(guān)系如圖 所示。當(dāng) ? =0 時(shí)， ）（ ?jHa =1； ? = c? 時(shí)， ）（ ?jHa =1/ 2 , c? 是 3dB截止頻率。巴特沃斯（ Stephen Butterworth）在 1930 年 發(fā)表在英國(guó)《無(wú)線電工程》期刊的一篇論文中提出的，可以構(gòu)成低通、高通、帶通和帶阻四種組態(tài)， [7]是目前最為流行的一類數(shù)字濾波 器 ,經(jīng)過離散化可以作為數(shù)字巴特沃思濾波器 ,較模擬濾波器具有精度高、穩(wěn)定、靈活、不要求阻抗匹配等眾多優(yōu)點(diǎn) ,因而在自動(dòng)控制、語(yǔ)音、圖像、通信、雷達(dá)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器。 As=30 圖 巴特沃思、切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型 、 橢圓濾波器 頻響特性曲線 0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 20 . 40 . 60 . 81e l l i p0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 20 . 40 . 60 . 81b u t t0 0 . 5 1 1 . 5 200 . 20 . 40 . 60 . 81c h e b 10 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 300 . 20 . 40 . 60 . 81c h e b 2煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 3 巴特沃斯低通濾波器 巴特沃斯 低通 濾波器簡(jiǎn)介 巴特沃斯濾波器 是 電子濾波器 的一種 ， 特點(diǎn)是 通頻帶 內(nèi)的 頻率響應(yīng) 曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在 阻頻帶 則逐漸下降為零。 As=30。 ws=2*pi*12021。 巴特沃斯濾波器 的 最大平坦幅度特性 致使它在實(shí) 際中應(yīng)用最為廣泛，所以 本文主要對(duì)巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行研究。 切貝雪夫?yàn)V波器與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，切貝雪夫?yàn)V波器的通帶有波紋，過渡帶輕陡直，因此，在不允許通帶內(nèi)有紋波的情況下，巴特沃斯型更 可取；從相頻響應(yīng)來看，巴特沃斯型要優(yōu)于切貝雪夫型， 前者的 相頻響 更接近于直線。 調(diào)用 MATLAB 濾波器涉設(shè)計(jì)函數(shù)，很容易驗(yàn)證：當(dāng)階數(shù)相同時(shí)，對(duì)相同的通帶最大衰減和阻帶最小衰減，巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性，過渡帶最寬。 [5] 它的 典型幅頻響應(yīng)特性如圖 和 。 由圖 可見，橢圓濾波器通帶和阻帶波紋幅度固定時(shí)，階數(shù)越高，過渡帶越窄；由圖 可見，當(dāng)橢圓濾波器階數(shù)固定時(shí)，通帶和阻帶波紋幅度越小，過渡帶就越寬。 同時(shí)十九世紀(jì)三十年代初科學(xué)家 考爾對(duì) 橢圓 濾波器 第一次 進(jìn)行了理論 上的 證明， 它也叫做 考爾濾波器。 ⑶ 橢圓濾波器的設(shè)計(jì) 在通帶和阻帶內(nèi) 橢圓濾波器 同時(shí)具有 等波紋幅頻響應(yīng)特性。 圖 (a)和 (b)是 不同階數(shù)的切比 雪夫Ⅰ型和Ⅱ型濾波器 的 幅頻特性 : )(?Hc??/0 1 N=2 N=4 N=8 1 1 0100 c??/ 0300? N=2 N=4 N=8 ?? 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 7 圖 （ a） 不同階數(shù)切比雪夫Ⅰ型幅頻特性 圖 （ b） 不同階數(shù)切比雪夫Ⅱ型幅頻特性 切 比 雪夫?yàn)V波 器同巴特沃斯濾波器一樣， 從幅頻特性 來 逼近， 它的 幅頻響應(yīng) 如下 ： )/(1 1)( 22 nnTH ???? ?? () 因?yàn)?實(shí)際濾波網(wǎng)絡(luò)中含有電抗元件 ，導(dǎo)致了 波紋的產(chǎn)生 ， 通帶波紋 的 大小 由 系數(shù) ε 決定 。 因?yàn)?巴特沃斯濾波器具有最大平坦幅度 的特性， 它的 幅頻響應(yīng) 如下 ： n2/11H ）（）（n??? ?? () 圖 巴特沃斯濾波器的頻響特性 ⑵ 切比雪夫?yàn)V波器 切比雪夫?yàn)V波器有兩種形式： 一、 切比雪夫Ⅰ型濾波器 在通帶內(nèi) 的 振幅特性 是等波紋的 ， 在阻帶內(nèi)是單調(diào)下降的； 二、 切比雪夫Ⅱ型濾波器 在 通帶內(nèi) 的 振幅特性 是單調(diào)下降 的， 在阻帶內(nèi)是等波紋的。 0 f2 f 圖 低通濾波器 0 f1 f 圖 通濾波器 0 f1 f2 圖 帶通濾波器 f 0 f1 f2 圖 帶阻濾波器 f 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 低通濾波器和高通濾波器是 組成 濾波器 最基本 的 兩種形式， 剩下的 濾波器都 能 分解 演變成 這兩種 濾波器， 如：低通濾波器 同 高通濾波器 進(jìn)行 串聯(lián) 可以成為 帶通濾波器，低通濾波器 同 高通濾波器 進(jìn)行并聯(lián)可以成 為帶阻濾波器。 ⑷ 帶阻濾波器 頻率 f1～ f2之間 是傣族濾波器的 阻帶 。 ⑶ 帶通濾波器 在 f1～ f2之間 是帶通通濾波器的 通頻帶 。 ⑵ 高通濾波器 從 f1～ ∞ ， 幅頻特性 幾乎呈水平發(fā)展 。因此，構(gòu)成測(cè)試系統(tǒng)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，諸如機(jī)械系統(tǒng)、電氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率范圍內(nèi)，按其頻域特性，對(duì)所通過的信號(hào)進(jìn)行變換與處理。 廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視為是一種濾波器。 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 2 濾波器 分類及比較 濾波器的設(shè)計(jì)原理 濾波器 是 使信號(hào)中特定的頻率成分通過 的 選頻裝置， 從 而 達(dá)到大幅度衰減 其它頻率成分 的目的 。 [4] 本文的工作及安排 本文主要工作安排如下： （ 1） 對(duì) 巴特沃斯低通濾波器 的 一些 基礎(chǔ)理論 進(jìn)行詳細(xì)闡述 ； （ 2） 對(duì) 巴特沃斯 低通 濾波器 、切比雪夫Ⅰ型和Ⅱ型濾波器、 橢圓濾波器四種 典型 濾波器 加以 簡(jiǎn)單 的闡述 ，然后 把四種濾波器 加以比較， 最后得 出 巴特沃斯 低通 濾波器在實(shí)際應(yīng)用中的 種種 優(yōu)點(diǎn) ； （ 3） 通過 雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃思低通濾波器， 然后 用 MATLAB 軟件對(duì)其 進(jìn)行仿真。如美國(guó)National Instruments 公司信號(hào)測(cè)量、分析軟件 LabVIEW， Caden