【文章內(nèi)容簡介】 頻率 fH 和截止頻率 fC 有如下關(guān)系 使用范圍 如果需要快速衰減而允許通頻帶存在少許幅度波動可用第一類切比雪夫?yàn)V波器如果需要快速衰減而不允許通頻帶存在幅度波動可用第二類切比雪夫?yàn)V波器 第 4 章 IIR 數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 41 信號流圖及其轉(zhuǎn)置定理 數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖表示 差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作 ①加法②乘法③延遲 為了簡單通常用信號流圖來表示其運(yùn)算結(jié)構(gòu)對于加法乘系數(shù)及延遲這三種基本運(yùn)算其方框圖和信號流圖的表示形式如圖 圖 4 1 運(yùn)算過程的信號流圖表示 信號流圖的轉(zhuǎn)置定理 對于單個輸入單個輸出的系統(tǒng)通過反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向并且將其輸入和輸出互換得出的流圖具有與原始流圖同樣的傳遞函數(shù) 信號流圖轉(zhuǎn)置的作用 轉(zhuǎn)變運(yùn)算結(jié)構(gòu) 驗(yàn)證由流圖 計(jì)算的傳遞函數(shù)正確與否 IIR 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為遞歸型結(jié)構(gòu)存在反饋環(huán)路 同一傳遞函數(shù)有各種不同的結(jié)構(gòu)形式其主要結(jié)構(gòu)有 正準(zhǔn)型級聯(lián)型并聯(lián)型 直接型 數(shù)字濾波器的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 一個 可用 階差分方程描述 圖 4 2 信號流圖 圖 4 3 直接 I 型結(jié)構(gòu) 上述結(jié)構(gòu)缺點(diǎn) 一需要 個延遲器太多 二系數(shù) aibi 對濾波器性能的控制不直接調(diào)整不方便對極點(diǎn)零點(diǎn)的控制難一個 aibi 的改變會影響系統(tǒng)所有零點(diǎn)或極點(diǎn)的分布 三對字長變化敏感對 的準(zhǔn)確度要求嚴(yán)格 易不穩(wěn)定 階數(shù)高時(shí)上述影響更大 上面直接 型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò) H1 z 和 H2 z 它們串接構(gòu)成總的傳遞函數(shù) H z H1 z H2 z 由傳遞函數(shù)的不變性系統(tǒng)是線性的得 H z H2 z H1 z 圖 4 4 直接 I 型的變形 兩條延時(shí)鏈中對應(yīng)的延時(shí)單元內(nèi)容完全相同 圖 4 5 直接 II 型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點(diǎn)延遲線減少一半變?yōu)? I 型 通常在實(shí)際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng)而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)一二階來實(shí)現(xiàn) 一個 由于系數(shù) 都是實(shí)數(shù)極零 點(diǎn)只有實(shí)根和共軛復(fù)根所以有 其中 為 為 且 將共軛因子合并為實(shí)系數(shù)二階因子單實(shí)根因子看作二階因子的一個特例則 其中 為實(shí)系數(shù) 用若干二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成濾波器二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié)可用正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) 圖 4 6 級聯(lián)型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點(diǎn) 極零點(diǎn)可單獨(dú)控制調(diào)整調(diào)整 只單獨(dú)調(diào)整了第 對零點(diǎn)調(diào)整 則單獨(dú)調(diào)整了第 對極點(diǎn) 各二階節(jié)零極點(diǎn)的搭配可互換位置優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差 可流水線操作 缺點(diǎn) 二階節(jié)電平難控制電平大易導(dǎo)致溢出電平小則使信噪比減小 并聯(lián)型 將傳遞函數(shù)展開成部分 分式之和可用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器 將上式中的共軛復(fù)根成對地合并為二階實(shí)系數(shù)的部分分式 上式表明可用一個常數(shù) A0L 個一階網(wǎng)絡(luò)和 M 個二階網(wǎng)絡(luò) 并聯(lián)組成濾波器 H z 結(jié)構(gòu)如下圖 圖 4 7 并聯(lián)型結(jié)構(gòu) 優(yōu)點(diǎn) 實(shí)現(xiàn)簡單只需一個二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成 極點(diǎn)位置可單獨(dú)調(diào)整 運(yùn)算速度快可并行進(jìn)行 各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響總的誤差小對字長要求低 缺點(diǎn)不能直接調(diào)整零點(diǎn)因多個二階節(jié)的零點(diǎn)并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí)級聯(lián)型最合適 第 5 章 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)及 MATLAB 仿真 IIR濾波器系 統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)可以在單位圓內(nèi)的任何位置實(shí)現(xiàn) IIR濾波器的階次較低所用的存儲單元較少效率高又由于 IIR 數(shù)字濾波器能夠保留一些模擬濾波器的優(yōu)良特性因此應(yīng)用很廣設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器的方法主要有基于沖激響應(yīng)不變法的 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)基于雙線性 Z變換法的 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字高通帶通及帶阻 IIR 濾波器設(shè)計(jì)基于 MATLAB 函數(shù)直接設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器按一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo) 根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 G s 再按一定的規(guī)則將 G s 轉(zhuǎn)換成 H s 若所設(shè)計(jì)的數(shù) 字濾波器是低通的那么上述設(shè)計(jì)工作可以結(jié)束若所設(shè)計(jì)是高通帶通或帶阻濾波器那么還需進(jìn)行以下步驟 將高通帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)然后按照上述步驟設(shè)計(jì)出低通 G s 再將 G s 轉(zhuǎn)換為所需的 H z 基于沖激響應(yīng)不變法的 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 沖激響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)原理是利用數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)序列 H z 來逼近模擬濾波器的沖激響應(yīng) g t 按照沖激響應(yīng)不變法的原理通過模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù) G s 可以直接求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H z 其轉(zhuǎn)換步驟如下 利用ω Ω T 可由關(guān)系 式推導(dǎo)出 將轉(zhuǎn)換成Ω而不變 求解低通模擬濾波器的傳遞函數(shù) G s 將模擬濾波器的傳遞函數(shù) G s 轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H z 盡管通過沖激響應(yīng)不變法求取數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)比較方便并具有良好的時(shí)域逼近特性但若 G s 不是帶限的或是抽樣頻率不高那么在中將發(fā)生混疊失真數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)不能重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在超過折疊頻率后的衰減很大時(shí)混疊失真才很小此時(shí)采樣脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能滿足設(shè)計(jì)的要求這是沖激響應(yīng)不變法的一個嚴(yán)重的缺點(diǎn)基于雙線性 Z 變換法的 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 由于的頻率映射關(guān)系是根據(jù)推導(dǎo)的所以使 jΩ軸每隔 2π Ts便映射到單位圓上一周利用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)可能會導(dǎo)致上述 的頻域混疊現(xiàn)象為了克服這一問題需要找到由 s平面到 z平面的另外的映射關(guān)系這種關(guān)系應(yīng)保證 s 平面的整個 jΩ軸僅映射為 z 平面單位圓上的一周 若 G s 是穩(wěn)定的由 G s 映射得到的 H z 也應(yīng)該是穩(wěn)定的 這種映射是可逆的既能由 G s 得到 H z 也能由 H z 得到 G s 如果 G j0 1 那么 雙線性 Z 變換滿足以上 4 個條件的映射關(guān)系其變換公式為 雙線性 Z 變換的基本思路是首先將整個 s 平面壓縮到一條從 – π Ts 到π Ts的帶寬為 2π Ts的橫帶里然后通過標(biāo)準(zhǔn)的變換關(guān)系將橫帶變換成整個 z平面上去這樣就得到 s 平面與 z 平 面間的一一對應(yīng)的單值關(guān)系 在 MATLAB 中雙線性 Z 變換可以通過 bilinear 函數(shù)實(shí)現(xiàn)其調(diào)用格式為 [BzAz]＝ bilinear BAFs 其中 BA 為模擬濾波器傳遞函數(shù) G s 的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量而 BzAz為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) H z 的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量 1 MATLAB 主界面 2 選擇 Design Filter 圖 5 2 FDATool 界面 再選擇 濾波器類型 Response 為帶通 Bandpass 設(shè)計(jì)方法 Design 為 IIR 濾波器階數(shù) Filter 定制為 Minimum order Fs 為 48kHz 點(diǎn)擊讓 Matlab 計(jì)算 IIR 濾波器系數(shù)并作相關(guān)分析 濾波器分析 計(jì)算完 IIR濾波器系數(shù)后往往需要對設(shè)計(jì)好的 IIR濾波器進(jìn)行相關(guān)的性能分析以便了解是否滿足設(shè)計(jì)要求分析操作步驟如下 選擇 FDATool 的菜單 Analysis Magnittude Response 啟動幅頻響應(yīng)分析 圖 5－ 3 顯示了濾波器的幅頻響應(yīng)圖 x 軸為頻率 y 軸為幅度值單位為 dB 在圖的左側(cè)列出了當(dāng)前濾波器的相關(guān) 信息 濾波器類型為 DirectForm IIR II 直接 II 型 IIR 濾波器 濾波器階數(shù)為 18 圖 5 3 濾波器的幅頻響應(yīng) 下圖顯示了濾波器的幅頻特性與相頻特性的比較這可以通過選擇菜單AnalysisMagnitude Phase Response 來啟動分析 圖 5 4 濾波器的幅頻特性與相頻特性的比較 選擇菜單 AnalysisGroup Delay Response 啟動群延時(shí)分析波形如圖 5－ 5所示 圖 5 5IIR 濾波器的群延時(shí)分析 Impulse Response 沖擊響應(yīng) PoleZero Plot 零極點(diǎn)圖 圖 5 6 IIR 濾波器的沖擊響應(yīng) 圖 5 7 IIR 濾波器的階躍響應(yīng) 圖 5 8 IIR 濾波器的零極點(diǎn)圖 求出的 IIR濾波器的系數(shù)可以選擇菜單 AnalysisFikter Coefficients來觀察如圖 59 圖 5 9 IIR 濾波器的系數(shù) 4 導(dǎo)出濾波器參數(shù) 1 將上述的結(jié)果保存為 kaiserfda 文件 10 kaiser 文件的建立 2 打開 Simulink 仿真 工具并搭建仿真模塊 首先單擊 Simulink 中的 Sources 輸入源子模塊庫該子模塊庫包含生產(chǎn)信號源的模塊如 Sine Wave模塊則生成一個正弦信號直接單擊正弦源然后按住鼠標(biāo)將該模塊拖入模型編輯窗口后松開鼠標(biāo)或者直接在該模塊上單擊鼠標(biāo)右鍵在彈出的菜單中選擇 Add to untitled 命令正弦模塊就直接添加再編輯窗口中由于本例中需要兩個正弦源一次拖入 3 個正弦源 圖 5 11 Simulink 主界面 接下來打開 Math Operations 數(shù)學(xué)操作 子模塊 庫將該模塊庫中的 Add 加入到編輯窗口中該模塊執(zhí)行加法操作做完后再打開 Signal Processing Blockset 模塊中的 Filter Designs 選取其中的 Digital Filter Design 該模塊時(shí)執(zhí)行再上一步所設(shè)計(jì)的 kasierfda文件最后打開 Sinks接受子模塊庫將 Scope示波器模塊加入到編輯窗口中最后的編輯窗口如圖 5－ 12 所示 圖 5 12 Simulink 仿真界面圖 3 設(shè)置模塊參數(shù) 將所需要的模塊添加到編輯窗口中后就可以設(shè)置模塊的屬性一滿足例程要求本例中要加入的輸入信號分別 設(shè)置正弦波的對應(yīng)參數(shù)觀察仿真結(jié)果 點(diǎn)擊 Simulink 菜單下的 Start 開始仿真并雙擊示波器觀察運(yùn)行結(jié)果如圖 所示 13 三種正弦信號的波形 圖 5 14 濾波前后的對比 結(jié)論