【文章內(nèi)容簡介】 不可能事件及不確定事件，頻率和概率概念混淆。 對必然事件 、 不可能事件及不確定事的困惑。 對必然事件 、 不可能事件及不確定事件理解不透，如判斷 以 下兩個事件（ 1）“明天太陽從西邊升起 。” (2)“紙放到火上不被點燃”。 很多學(xué)生很容易 把 （ 1） 、 （ 2）錯解 為 不確定事件，他們認(rèn)為（ 1） 、 （ 2）兩事件都屬于不可能事件，因此為不確定事件，事實上不可能事件指該事件一定不發(fā)生，不可能事件屬于確定事件，而不確定事件是指有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。解答此類題時 很容易把“不可能”與“不確定”區(qū)分不清，從而產(chǎn)生困惑。 頻率 和概率概念 的 混淆 ， 如要判斷“某彩票的中獎率是 ，所以 100 張一定會有 3張中獎”的說法是否正確時，很多同學(xué)常常把頻率等同于概率，因此判斷此說法是正確的。因為彩票的中獎概率是 ，所以 100 張一定有 3 張中獎， 但實際上， 這一判斷是錯誤的，錯解認(rèn)為概率是一定的 ，事件就是必然的。實際上此事件是不確定的， 因為，買 100 張彩票有 3 張中獎是隨機事件，不是必然事件。 因此，解答此類問題時，一定要理解概率的定義 。 實際上， “必然事件”是指一定要發(fā)生的事件；“ 不可能事件 ”是指該事件一定不發(fā)生；“不確定事件”是指事件有可能 發(fā)生，也有可能不發(fā)生。 事件 A 發(fā)生的頻率試驗次數(shù)發(fā)生的次數(shù)A?， A 發(fā)生的概率 =頻率的穩(wěn)定值。 2. 互斥事件 、 對立事件 及相互獨立事件 概念 混淆 的困惑。 學(xué)生容易 將 對 互斥事件 、 對立事件 及相互獨立事件概念混淆，如 在問題中遇到含 互斥事件 、 相互獨立事件時，有些同學(xué)把同時發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，如例：甲投籃西南大學(xué)育才學(xué)院 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文 第 6 頁 共 15 頁 命中率為 ，乙投籃命中率為 ，每人投 3 次兩人恰好命中兩次的概率是多少？學(xué)生將兩人都恰好中兩次理解為“甲恰好中兩次”與“乙恰好中兩次”的和。因此解為設(shè)“甲恰好中 兩次” 為事件 A， “ 乙恰好中兩次 ” 為事件 B，則兩人恰好投中兩次為事件 A+B， 則 P（ A+B） =C23 +C23 =，而實際上本題應(yīng)該為“相互獨立事件同時發(fā)生的概率” 設(shè)“甲恰好中兩次”為事件 A，“ 乙恰好中兩次”為事件 B，且 A,B 相互獨立，則兩人恰好投中兩次為事件 AB，因此 P(AB)= C23 C23 ≈。 同樣在問題中遇到含 互斥事件 、 對立事件 時，學(xué)生很容易把互斥事件與對立事件等價，如 :擲一顆 骸 子，其樣本空間為 ? ={1, 2 ,3 ,4， 5， 6}，若令 A 為 出現(xiàn) 1 點的事件： A={1},B為出現(xiàn) 5點的事件 :B={5},學(xué)生常常把事件 A,B當(dāng)做是對立的，實際上這兩個 事件是互斥的，但卻不對立，因為 {1}+{5}≠ ? 。 3. 分析推測事件發(fā)生的可能性的大小 的困惑 。 事件發(fā)生的不確定性和可能性在學(xué)生生活和經(jīng)驗積累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、無意識的，在概率學(xué)習(xí)中學(xué)生對 大概率事件與小概率事件的含義模糊。 很多同學(xué)常常把大概率事件理解為一定要發(fā)生的事件，而小概率事件理解為不會發(fā)生的事件。其正確理解為：大概率事件不是一定要發(fā)生的事件，小概率事件不是不會發(fā)生的事件，只是大概率事件發(fā)生的可能性很大而小概率事件發(fā)生的可能性很小。 （二） 公式難以理解 的困惑 概率這部分基本的公式較多，有些公式的意義學(xué)生很難理解，以致在做題過程中記錯公式，混用公式 ， 概率一 章包括四個基本公式，兩個推廣公式。其中互斥事件概率加法公式，對立事件概率和公式，相互獨立事件乘法公式、古典概型與幾何概型為教學(xué)的重難點。 1. 概率的加法公式 應(yīng)用的困惑。 部分學(xué)生對概率加法公式容易誤用， 如：設(shè)事件 A 和 B 及 AB 的概率分別為,，求事件 A 與 B 至少有一個發(fā)生的概率， 很多同學(xué)在思考此問題時會誤以為A 與 B 至少有一個發(fā)生就是說 A 發(fā)生或 B 發(fā)生因此其概率 P(A ∪B)=P(A)+P(B)=+=， 但實際上這個解答是錯誤的， 因為事件 A和 B不是互斥事件，他們可能會同時發(fā)生，這樣就 多 加了一次他們同時發(fā)生時的概率，正確解答應(yīng)該是 P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)= +=。 2. 對古典概型與幾何概型 公式的困惑。 西南大學(xué)育才學(xué)院 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文 第 7 頁 共 15 頁 對古典概型與幾何概型的區(qū)分理解，很多同學(xué)在利用概率解決問題時常常把公式用錯或混用（該用幾何概型用成古典概型，而該用古典概型的又用了幾何概型） 或者不知怎么利用古典概型和幾何概型的公式。 這就是對其公式應(yīng)用理解的問題，因為對公式?jīng)]有 理解，所以容易記錯或者記混公式，以致公式的錯誤應(yīng)用。 （三） 在高考和學(xué)生平時訓(xùn)練中 的困惑 在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，概率統(tǒng)計問題是新教材中新開辟的知識領(lǐng)域，在近兩年的高考中占有不小的比重。 經(jīng)總結(jié)主要存在以下困惑 ： 1. 在審題時 存在的困惑 由于問題陳述中有一定的復(fù)雜性，導(dǎo)致學(xué)生對題目的理解錯誤，未能識別題目的基本特征，抓住解決問題的切入點，是學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容普遍存在的問題。如 : 例 1 甲、乙兩個排球隊進(jìn)行比賽，已知每局甲獲勝的概率為 ,比賽采用五局三勝制 .（ 1）在前兩局中乙隊以 2:0領(lǐng)先的條件下 ,求甲 、乙各自獲勝的概率；（ 2）求甲隊獲勝的概率。 在遇到這類問題時， 學(xué)生很容易將 第一問中前兩局乙隊以 2： 0 領(lǐng)先，誤認(rèn)為前兩局乙勝的概率為 ， 而錯解為甲獲勝的概率為 。 2. 正確理解求等可能事件概率的“等可能性”的困惑 學(xué)生無法正確理解等可能事件的概率的意義，加上排列組合知識遷移比較困難，造成困惑。如： 例 2， 已知 8 支球隊中 有 3 支弱隊，以抽簽的方式將這 8 支球隊分為 A,B 兩組，每組 4支。求（ 1） A,B 兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；（ 2） A組中至少有兩支弱隊的概 。 學(xué)生在分析此題第（ 1） 問概率 P 等 于多少時，部分學(xué)生對要不要乘 2表示疑惑，爭論不休，不少學(xué)生將排列組合中的“平均分堆”的想法帶入到本體的解法中 ，從而將問題復(fù)雜化。 3. 解決相似問題中存在的困惑 1）不放回抽樣、放回抽樣的困惑 。 學(xué)生在遇到關(guān)于放回與不放回抽樣問題時， 將放回與不放回抽取 每件產(chǎn)品每次被抽到的概率，相等 與 不相等弄混淆， 如 例 3，若某批產(chǎn)品中有 m件 次品， n件正品，（ 1）采取不放回抽樣方式；（ 2）采取有放回抽樣方式，從中抽取 t 件產(chǎn)品（ t≤ m + n） 。問正好有k 件次品的概率分別是多少？ 對于 (1)有些同學(xué)會把每次抽取次品的概率誤認(rèn)為是 mnm?西南大學(xué)育才學(xué)院 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文 第 8 頁 共 15 頁 而 錯解，實際 正確解答 卻 應(yīng)為 : 解：（ 1） 從 m + n 件產(chǎn)品中抽取出 t 件產(chǎn)品的所有基本事件的個數(shù)為 Ctn?m，恰有 k件次品對應(yīng)事件個數(shù)為 CC ktnkm ??，有等可能性事件概率公式有 P= CCCktnktnm ??m (2)有放回抽樣時，每件次品抽到的概率均為 mnm? ，抽到的次品數(shù)為獨立重復(fù)實驗事件，由其概率公式 得 其概率為 P=Ckt（ mnm? ） k （ mnn? ） kt? 2)如何 確定隨機變量服從二項分布或幾何分布 的困惑 例 4 某植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為 1/2，一研究小組做了若干次發(fā)芽實驗（每次均種下一粒種子），若一次實驗種子發(fā)芽成功就停止實驗，否則將繼續(xù)下次實驗，直到種子發(fā)芽成功為止，但發(fā)芽實驗的次數(shù)最多不超過 5 次，求此組所做種子發(fā)芽實驗次數(shù)ξ的概率 分布列和期望。 很多 學(xué)生 未能掌握幾何分布中試驗次數(shù) n的取值為 1,2,3?與 此題的不超過 5次是有不同的，因此 在做此題時，往往認(rèn)為ξ服從幾何分布，因而 P（ξ =5） =1/25 . 例 5從分別寫有 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九張卡片中 ,任意抽取兩張 ,當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被 3 整除時 ,就說這次試驗成功 .求在 15 次試驗中成功次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望 . 由于此題綜合了求等可能性事件概率和發(fā)現(xiàn)ξ ～ B（ n， p）， Eξ =np 來解，不少