【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 不可能事件及不確定事件，頻率和概率概念混淆。 對(duì)必然事件 、 不可能事件及不確定事的困惑。 對(duì)必然事件 、 不可能事件及不確定事件理解不透，如判斷 以 下兩個(gè)事件（ 1）“明天太陽(yáng)從西邊升起 。” (2)“紙放到火上不被點(diǎn)燃”。 很多學(xué)生很容易 把 （ 1） 、 （ 2）錯(cuò)解 為 不確定事件，他們認(rèn)為（ 1） 、 （ 2）兩事件都屬于不可能事件，因此為不確定事件，事實(shí)上不可能事件指該事件一定不發(fā)生，不可能事件屬于確定事件，而不確定事件是指有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。解答此類(lèi)題時(shí) 很容易把“不可能”與“不確定”區(qū)分不清，從而產(chǎn)生困惑。 頻率 和概率概念 的 混淆 ， 如要判斷“某彩票的中獎(jiǎng)率是 ，所以 100 張一定會(huì)有 3張中獎(jiǎng)”的說(shuō)法是否正確時(shí)，很多同學(xué)常常把頻率等同于概率，因此判斷此說(shuō)法是正確的。因?yàn)椴势钡闹歇?jiǎng)概率是 ，所以 100 張一定有 3 張中獎(jiǎng)， 但實(shí)際上， 這一判斷是錯(cuò)誤的，錯(cuò)解認(rèn)為概率是一定的 ，事件就是必然的。實(shí)際上此事件是不確定的， 因?yàn)?，買(mǎi) 100 張彩票有 3 張中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件，不是必然事件。 因此，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要理解概率的定義 。 實(shí)際上， “必然事件”是指一定要發(fā)生的事件；“ 不可能事件 ”是指該事件一定不發(fā)生；“不確定事件”是指事件有可能 發(fā)生，也有可能不發(fā)生。 事件 A 發(fā)生的頻率試驗(yàn)次數(shù)發(fā)生的次數(shù)A?， A 發(fā)生的概率 =頻率的穩(wěn)定值。 2. 互斥事件 、 對(duì)立事件 及相互獨(dú)立事件 概念 混淆 的困惑。 學(xué)生容易 將 對(duì) 互斥事件 、 對(duì)立事件 及相互獨(dú)立事件概念混淆，如 在問(wèn)題中遇到含 互斥事件 、 相互獨(dú)立事件時(shí)，有些同學(xué)把同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮，如例：甲投籃西南大學(xué)育才學(xué)院 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科畢業(yè)論文 第 6 頁(yè) 共 15 頁(yè) 命中率為 ，乙投籃命中率為 ，每人投 3 次兩人恰好命中兩次的概率是多少？學(xué)生將兩人都恰好中兩次理解為“甲恰好中兩次”與“乙恰好中兩次”的和。因此解為設(shè)“甲恰好中 兩次” 為事件 A， “ 乙恰好中兩次 ” 為事件 B，則兩人恰好投中兩次為事件 A+B， 則 P（ A+B） =C23 +C23 =，而實(shí)際上本題應(yīng)該為“相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率” 設(shè)“甲恰好中兩次”為事件 A，“ 乙恰好中兩次”為事件 B，且 A,B 相互獨(dú)立，則兩人恰好投中兩次為事件 AB，因此 P(AB)= C23 C23 ≈。 同樣在問(wèn)題中遇到含 互斥事件 、 對(duì)立事件 時(shí)，學(xué)生很容易把互斥事件與對(duì)立事件等價(jià)，如 :擲一顆 骸 子，其樣本空間為 ? ={1, 2 ,3 ,4， 5， 6}，若令 A 為 出現(xiàn) 1 點(diǎn)的事件： A={1},B為出現(xiàn) 5點(diǎn)的事件 :B={5},學(xué)生常常把事件 A,B當(dāng)做是對(duì)立的，實(shí)際上這兩個(gè) 事件是互斥的，但卻不對(duì)立，因?yàn)?{1}+{5}≠ ? 。 3. 分析推測(cè)事件發(fā)生的可能性的大小 的困惑 。 事件發(fā)生的不確定性和可能性在學(xué)生生活和經(jīng)驗(yàn)積累中有所感受，但往往是感性的、模糊的、無(wú)意識(shí)的，在概率學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì) 大概率事件與小概率事件的含義模糊。 很多同學(xué)常常把大概率事件理解為一定要發(fā)生的事件，而小概率事件理解為不會(huì)發(fā)生的事件。其正確理解為：大概率事件不是一定要發(fā)生的事件，小概率事件不是不會(huì)發(fā)生的事件，只是大概率事件發(fā)生的可能性很大而小概率事件發(fā)生的可能性很小。 （二） 公式難以理解 的困惑 概率這部分基本的公式較多，有些公式的意義學(xué)生很難理解，以致在做題過(guò)程中記錯(cuò)公式，混用公式 ， 概率一 章包括四個(gè)基本公式，兩個(gè)推廣公式。其中互斥事件概率加法公式，對(duì)立事件概率和公式，相互獨(dú)立事件乘法公式、古典概型與幾何概型為教學(xué)的重難點(diǎn)。 1. 概率的加法公式 應(yīng)用的困惑。 部分學(xué)生對(duì)概率加法公式容易誤用， 如：設(shè)事件 A 和 B 及 AB 的概率分別為,，求事件 A 與 B 至少有一個(gè)發(fā)生的概率， 很多同學(xué)在思考此問(wèn)題時(shí)會(huì)誤以為A 與 B 至少有一個(gè)發(fā)生就是說(shuō) A 發(fā)生或 B 發(fā)生因此其概率 P(A ∪B)=P(A)+P(B)=+=， 但實(shí)際上這個(gè)解答是錯(cuò)誤的， 因?yàn)槭录?A和 B不是互斥事件，他們可能會(huì)同時(shí)發(fā)生，這樣就 多 加了一次他們同時(shí)發(fā)生時(shí)的概率，正確解答應(yīng)該是 P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)= +=。 2. 對(duì)古典概型與幾何概型 公式的困惑。 西南大學(xué)育才學(xué)院 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科畢業(yè)論文 第 7 頁(yè) 共 15 頁(yè) 對(duì)古典概型與幾何概型的區(qū)分理解，很多同學(xué)在利用概率解決問(wèn)題時(shí)常常把公式用錯(cuò)或混用（該用幾何概型用成古典概型，而該用古典概型的又用了幾何概型） 或者不知怎么利用古典概型和幾何概型的公式。 這就是對(duì)其公式應(yīng)用理解的問(wèn)題，因?yàn)閷?duì)公式?jīng)]有 理解，所以容易記錯(cuò)或者記混公式，以致公式的錯(cuò)誤應(yīng)用。 （三） 在高考和學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練中 的困惑 在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容中，概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題是新教材中新開(kāi)辟的知識(shí)領(lǐng)域，在近兩年的高考中占有不小的比重。 經(jīng)總結(jié)主要存在以下困惑 ： 1. 在審題時(shí) 存在的困惑 由于問(wèn)題陳述中有一定的復(fù)雜性，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)題目的理解錯(cuò)誤，未能識(shí)別題目的基本特征，抓住解決問(wèn)題的切入點(diǎn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容普遍存在的問(wèn)題。如 : 例 1 甲、乙兩個(gè)排球隊(duì)進(jìn)行比賽，已知每局甲獲勝的概率為 ,比賽采用五局三勝制 .（ 1）在前兩局中乙隊(duì)以 2:0領(lǐng)先的條件下 ,求甲 、乙各自獲勝的概率；（ 2）求甲隊(duì)獲勝的概率。 在遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)， 學(xué)生很容易將 第一問(wèn)中前兩局乙隊(duì)以 2： 0 領(lǐng)先，誤認(rèn)為前兩局乙勝的概率為 ， 而錯(cuò)解為甲獲勝的概率為 。 2. 正確理解求等可能事件概率的“等可能性”的困惑 學(xué)生無(wú)法正確理解等可能事件的概率的意義，加上排列組合知識(shí)遷移比較困難，造成困惑。如： 例 2， 已知 8 支球隊(duì)中 有 3 支弱隊(duì)，以抽簽的方式將這 8 支球隊(duì)分為 A,B 兩組，每組 4支。求（ 1） A,B 兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率；（ 2） A組中至少有兩支弱隊(duì)的概 。 學(xué)生在分析此題第（ 1） 問(wèn)概率 P 等 于多少時(shí)，部分學(xué)生對(duì)要不要乘 2表示疑惑，爭(zhēng)論不休，不少學(xué)生將排列組合中的“平均分堆”的想法帶入到本體的解法中 ，從而將問(wèn)題復(fù)雜化。 3. 解決相似問(wèn)題中存在的困惑 1）不放回抽樣、放回抽樣的困惑 。 學(xué)生在遇到關(guān)于放回與不放回抽樣問(wèn)題時(shí)， 將放回與不放回抽取 每件產(chǎn)品每次被抽到的概率，相等 與 不相等弄混淆， 如 例 3，若某批產(chǎn)品中有 m件 次品， n件正品，（ 1）采取不放回抽樣方式；（ 2）采取有放回抽樣方式，從中抽取 t 件產(chǎn)品（ t≤ m + n） 。問(wèn)正好有k 件次品的概率分別是多少？ 對(duì)于 (1)有些同學(xué)會(huì)把每次抽取次品的概率誤認(rèn)為是 mnm?西南大學(xué)育才學(xué)院 2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科畢業(yè)論文 第 8 頁(yè) 共 15 頁(yè) 而 錯(cuò)解，實(shí)際 正確解答 卻 應(yīng)為 : 解：（ 1） 從 m + n 件產(chǎn)品中抽取出 t 件產(chǎn)品的所有基本事件的個(gè)數(shù)為 Ctn?m，恰有 k件次品對(duì)應(yīng)事件個(gè)數(shù)為 CC ktnkm ??，有等可能性事件概率公式有 P= CCCktnktnm ??m (2)有放回抽樣時(shí)，每件次品抽到的概率均為 mnm? ，抽到的次品數(shù)為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)事件，由其概率公式 得 其概率為 P=Ckt（ mnm? ） k （ mnn? ） kt? 2)如何 確定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布或幾何分布 的困惑 例 4 某植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為 1/2，一研究小組做了若干次發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），若一次實(shí)驗(yàn)種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則將繼續(xù)下次實(shí)驗(yàn)，直到種子發(fā)芽成功為止，但發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)最多不超過(guò) 5 次，求此組所做種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)次數(shù)ξ的概率 分布列和期望。 很多 學(xué)生 未能掌握幾何分布中試驗(yàn)次數(shù) n的取值為 1,2,3?與 此題的不超過(guò) 5次是有不同的，因此 在做此題時(shí)，往往認(rèn)為ξ服從幾何分布，因而 P（ξ =5） =1/25 . 例 5從分別寫(xiě)有 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九張卡片中 ,任意抽取兩張 ,當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被 3 整除時(shí) ,就說(shuō)這次試驗(yàn)成功 .求在 15 次試驗(yàn)中成功次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望 . 由于此題綜合了求等可能性事件概率和發(fā)現(xiàn)ξ ～ B（ n， p）， Eξ =np 來(lái)解，不少