【文章內容簡介】 在圖論中簡稱樹 (tree)，它有以下兩個特點 ： 概率樹在全概率公式中的應用 [第 6 頁 共 19 頁 ] (1)連通 ，即圖中任意兩個頂點之間都有一條通路 (由若干條邊組成 )； (2)無圈 ，即圖中任意兩個頂點之間都沒有兩條不同的通路 。 例如，圖 2(1)是樹，而圖 2(2)整體不連通 ，圖 2(3)中有圈。 所以，圖 2(2)、 (3)都不是樹。 （ 1） （ 2） （ 3） 圖 2 黃岡師范學院本科生畢業(yè)論文 [第 7頁 ,共 19頁 ] 第 3 章 概率樹的應用 概率樹在概率計算中的應用 對于需要多個步驟完成的試驗 ，可以按照試驗的先后順序 ，自下而上地 (或規(guī)定其他方式 )把各步試驗的可能結果作為頂點 ，再按照各步之間的關系用邊連結相關的頂點，形成樹形圖，從而達到比較直觀地表示出整個試驗過程的效果，層次分明且不重不漏地列出所有可能的結果。因此， 解決一些概率問題時通常會使用樹形圖。 例如 ,建立如圖所示的概率樹 ,相應的概率條件有 : 1C 11(C|B)P 1B 1P( )B 21(C |B)P 2C E 1C 2P( )B 12(C|B )P 2B 22(C |B )P 2C 圖 概率樹 1 2 1 21 2 1 1 2 1 1 2 2 2B B = C C =? ? ? ?（ i ） ， ；( i i ) P ( B ) + P ( B ) = 1 , P ( C | B ) + P ( C | B ) = 1 , P ( C | B ) + P ( C | B ) = 1 。 這些條件便于我們對建立的概率樹進行正確檢查 。 概率樹在全概率公式中的應用 [第 8 頁 共 19 頁 ] 在每一條從末梢節(jié)點到根節(jié)點的概率支上 , 根據(jù)乘法公式 , 各個事件共同發(fā)生的概率就等于各個線段上條件概率的乘積 , 例如：( E B C ) P( B C ) P( B ) P( C | B ) , ( i 1 , 2 .)i i i i i i iP ? ? ?若以所求事件為末節(jié)點 , 則導致所求事件發(fā)生的情況 , 就反映于根節(jié)點到末節(jié)點的路徑 , 于是根據(jù)完備事件組的定義 , 所求事件的概率就等于各路徑上的概率的和 , 例如 : 1 2 1 2 1 1 2 2P( C ) ( B ) ( B C ) P( B C ) ( B ) P( C | B ) P( B ) P( C | B ) ( i 1 , 2 .)i i i i i i iP C B C P P? ? ? ? ? ? ?因此應用全概率公式時 , 可先畫出概率樹 , 再以所求事件為末節(jié)點進行“回溯” , 看看事件的發(fā)生會沿著那幾條路徑 , 那么事件發(fā)生的概率就是沿著那幾條路徑發(fā)生的概率的和 , 而每條路徑上發(fā)生的概率就等于各個線段上概率的乘積 , 因此應用全概率公式即就是將“回溯” 得到的不同路徑上的概率相加 , 同一路徑上的概率相乘 , 這個原則也叫“乘法原理和加法原理” , 類似高等數(shù)學中的復合函數(shù)求導法則 ,學生很容易掌握和應用。 這不但拋開了對復雜事件要先確定完備事件組的困難 , 而且從根節(jié)點到所求的末節(jié)點的路 徑上也能提供出完備事件組的多種組成形式 , 可根據(jù)需要具體選擇 。 為了使概率樹的分析過程變得更加簡潔直觀 , 方便書寫和計算 ,在畫圖時 , 可將概率樹在形式上進行以下化簡 : (ⅰ )概率樹中同一末梢節(jié)點可進行合并 。 (ⅱ )當只考慮其中一個事件發(fā)生的概率時 , 末節(jié)點中可只畫出該事件 , 其它的事件略去 。 (ⅲ )當試驗為復合型隨機試驗 , 中間過程過于復雜時 , 可進行事件合并和過程簡化 。 (ⅳ )當試驗出現(xiàn)無限循環(huán)時 , 要從出現(xiàn)循環(huán)的地方切斷 , 將所求事件作為末節(jié)點 , 直接與切斷之前的部分連接 。 通過這些簡 化措施 , 畫出的概率樹更接近復合函數(shù)求導時的鏈式圖 , 便于學生聯(lián)系“乘法原理和加法原理” , 下面就通過具體的例子來說明如何應用概率樹的形式來解決全概率問題 。 為了便于說明如何應用概率樹給出事件 A 的劃分。 根據(jù)隨機試驗的不同 , 將古典概型問題大致分成兩類。 I “ 一次隨機試驗 ” 問題 。 II“ 復合隨機試驗 ” 問題 。 黃岡師范學院本科生畢業(yè)論文 [第 9頁 ,共 19頁 ] I 類問題求解中的應用 此類問題的隨機試驗 E 只進行一次 , 設對應的樣本空間為 ? 。 若事件 A? ??? 的發(fā)生受試驗中多個因素的影響。 這時一般可從事件 A ( 或試驗結果 ) 出發(fā) , 用概率樹枝狀分析表示 A 與所有影響 A 發(fā)生的諸因素之間的關系 , 進而找出蘊于這些因素的互不相容事件組。 這個互不相容事件組一般能將事件 A 直接或間接的分解掉 , 從而達到求事件 A 的概率的目的 。 【例 1】 某射擊小組共有 20 名射手 , 其中一級射手 4 人 , 二級射手 8 人 ,三級射手 7 人 , 四級射手 1 人 。 一 , 二 , 三 , 四級射手能通過選拔進入決賽的 概率分別是 , 求在小組內任選一名射手 , 該射手能通過選拔進入決賽的概率 ? 分析與解題 : 本例的隨機試驗 E 只進行了一次從小組內任選某級射手。 故屬 I 類問題 , 所求事件 A 表示 “ 任選其中某級射手能進入決賽 ” 定義在 E 上 。 由于小組內射手的射擊水平不等 , 所以事件 A 的發(fā)生與選中的是哪一級射手有關 , A 是一個復雜事件。 解 現(xiàn)設 ? 是 E 的樣本空間 , 事件 kB 表示 “ 所選為 k 級射手 ” , 1,2,3,4k? 。則可由概率樹 1 分析如下 : 1B 420 2B 820 ? 720 3B 120 4B 圖 1 概率樹在全概率公式中的應用 [第 10 頁 共 19 頁 ] 可見 , 1,2,3,4iBi? 互不相容恰成 ? 的劃分。 從而簡接地得到事件 A 的劃分? ?iAB , 由全概率公式即得 : 414 8 7 1( A ) ( A | B ) P ( B ) 0 . 9 0 . 7 0 . 5 0 . 22 0 2 0 2 0 2 00 . 6 4 5kkkPP ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? 例 1 說明 ， I 類問題用概率樹較容易得到復雜事件 A 的劃分，在實際應用時，還可借助概率樹綜合運用兩種分解方法。 【例 2】 甲 、乙 、丙三門高射炮同時向敵機射擊 , 它們擊中的概 率分別是 , 。 飛敵機被擊中一發(fā)而被擊落的概率為 , 被擊中二發(fā)而被擊落的概率為 , 被擊中三發(fā)則一定被擊落， 求敵機被擊落的概率 ? 分析與解題 : 本例也是 I 類問題，所求事件 A 表示“敵機被擊落”與敵機被擊中幾發(fā)有關，所以 A 是復雜事件?？衫酶怕蕵?2 分析如下： 1 2 3CCC 1B 1 2 3CCC 1 2 3CCC ? 1 2 3CCC 2B 1 2 3CCC 1 2 3CCC 3B 1 2 3CCC 圖 2 其中 ? 是試驗 :“ 三門炮同時向敵機射擊 ” 的樣本空間 , kB 表示 “ 敵機被擊中 k 發(fā)炮彈” 1, 2 , 3 , C (i 1, 2 , 3 )ik ??分別表示敵機被甲炮 、乙炮 、丙炮擊中的事件。由概率樹分析知 ??kB 構成了 ? 的一個 劃分 , 而是 12,BB也是復雜事件 , 它們又分別被 1 2 3,C C C 構成的事件組直接分解掉。于是由概率的可加性得 : 1( B ) 0. 4 0. 5 0. 3 0. 6 0. 5 0. 3 0. 6 0. 5 0. 7 0. 36P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( B ) 0 .4 0 .5 0 .3 0 .4 0 .5 0 .7 0 .6 0 .5 0 .7 0 .4 1P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 黃岡師范學院本科生畢業(yè)