【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 分布或分布的數(shù)字特征等作出合理的推斷。它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種基本形式，是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要分支，分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩部分。 假設(shè)檢驗(yàn)是只在用概率統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)產(chǎn)品的時(shí)候，先作出假設(shè)，在根據(jù)抽樣的結(jié)果在一定可靠程度上對(duì)原假設(shè)做出判斷。 方差分析也叫做離差分析，就是用方差的概念去分析由少數(shù)試驗(yàn)就可以做出的判斷。 　由于隨機(jī)現(xiàn)象在人類的實(shí)際活動(dòng)中大量存在，概率統(tǒng)計(jì)隨著現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展，因而形成了許多重要分支。如：隨機(jī)過程、信息論、極限理論、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、多元分析等。 概率統(tǒng)計(jì)常用理論模型 中心極限定理（1）列維－林德伯格定理 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量 的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有或者簡(jiǎn)寫成：。此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。（2）棣莫弗－拉普拉斯定理 設(shè)隨機(jī)變量X1，…Xn均為具有參數(shù)n, p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有 矩估計(jì)和最大似然估計(jì) （1）矩估計(jì)：設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點(diǎn)矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為 這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì)，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計(jì)。 （2）最大似然估計(jì)：當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱 為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)n。當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為，則稱 為樣本的似然函數(shù)。 若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì)，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計(jì)。 置信區(qū)間和置信度 設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量與，使得區(qū)間以的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即：那么稱區(qū)間為的置信區(qū)間，為該區(qū)間的置信度或置信水平。 線性回歸模型 當(dāng)變量間存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們特別關(guān)心因變量y的取值的平均，即在給定的條件下，隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望，記作. 此時(shí)，因變量y與自變量之間的相關(guān)關(guān)系可以表示為： 這里表示為隨機(jī)誤差，上式成為y關(guān)于的回歸。y對(duì)自變量取值的依賴關(guān)系為：，它反映了y取值的平均趨勢(shì)，這是相關(guān)關(guān)系的主要部分。 回歸函數(shù)可以是線性的，也可以是非線性的。但是對(duì)于線性回歸中回歸函數(shù)是參數(shù)的線性回歸。 而是最簡(jiǎn)單且最重要的情況，但是在理論上有比較深入的討論結(jié)果，是非線性回歸的基礎(chǔ)。 稱為理論線性回歸模型。由隨機(jī)誤差在線性模型中的地位可見，他的概率性質(zhì)決定了模型的性質(zhì)。根據(jù)回歸函數(shù)的意義，自然有。 關(guān)于變量的n次觀測(cè)，我們假定各次觀測(cè)所受的隨機(jī)影響程度相同。且任意兩次觀測(cè)的誤差不相關(guān)。這種假定在一般情況下是合理的。稱之為GaussMarkov條件 這里如 那樣的隨機(jī)誤差向量且，為了不引進(jìn)更多符號(hào)。以后有時(shí)候表示一個(gè)隨機(jī)變量，有時(shí)候表示為一個(gè)隨機(jī)向量。由模型的意義，這樣我們可以得到線性回歸模型， ，稱之為常數(shù)項(xiàng)。稱為回歸函數(shù)，表示自變量的改變時(shí)對(duì)y的影響大小。在某些問題當(dāng)中，我們還假設(shè)滿足正態(tài)條件 其中，也是線性回歸模型中的重要參數(shù)，為n階單位陣。 為了對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)或者研究其他有關(guān)的統(tǒng)計(jì)推斷問題，需進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)做了n次試驗(yàn)。第i次試驗(yàn)的觀測(cè)值為，稱為第i個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。以后我們假定試驗(yàn)總數(shù)n不小于線性回歸模型 ，包含的未知參數(shù)個(gè)數(shù)，且設(shè)計(jì)矩陣X是列滿秩的，即：。 一元線性回歸分析一元線性回歸模型 設(shè)隨機(jī)變量與普通變量x間存在相關(guān)關(guān)系，且假設(shè)對(duì)于的每一個(gè)取值有 其中 , , 都不是不依賴于的未知參數(shù)。記，則對(duì)做這樣的正態(tài)假設(shè)，相當(dāng)于假設(shè)： ,其中未知參數(shù) , ,都是不依賴于的未知參數(shù)。 此時(shí)，稱為一元線性回歸模型，其中稱為回歸系數(shù)。 因變量由兩部分組成，一部分是的線性函數(shù)：；另一部分是隨機(jī)誤差：，是不可控制的。下面的任務(wù)是對(duì)參數(shù) ，的估計(jì)，那參數(shù),的最小二乘估計(jì)如下： 令取個(gè)不全相同的取值，用表示，并作次獨(dú)立試驗(yàn)，得到樣本： 和樣本觀測(cè)值： 把樣本觀測(cè)值代入，得： ， 。而使此函數(shù)達(dá)到最小為原則，則此時(shí)對(duì)未知參數(shù)和的估計(jì),就稱為未知參數(shù)和的最小二乘估計(jì)，估計(jì)值記為和。通過以上的分析，這時(shí)候我們稱此方程為關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,簡(jiǎn)稱為回歸方程。 接下來就是求未知參數(shù) ，的最小二乘估計(jì)： 因?yàn)榇朔匠痰臉O值點(diǎn)可以寫成： 由此式子得方程組： 現(xiàn)在對(duì)上面方程組進(jìn)行求解，得唯一解如下： 求出的解中的和為未知參數(shù)，的最小二乘估計(jì)量。 而此時(shí)回歸方程也可寫成，這表明，關(guān)于樣本值的回歸直線通過散點(diǎn)圖的幾何中心。為了計(jì)算上的方便，我們引入記號(hào)： 這樣， ，的估計(jì)值可寫成：， 。 下面是對(duì)的估計(jì)： 由于，所以我們就把式子記做： ，此時(shí)我們稱為處的殘差；而平方和式： 稱為殘差平方和。 下面我們計(jì)算： 我們首先將做如下分解： 再由得的另一個(gè)分解式：。相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為： 然后我們可以證明： 于是： 即： 這樣就得到了的無偏估計(jì)量為： 最后我們進(jìn)行線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)：在以上的討論中，我們假定關(guān)于的回歸函數(shù)具有線性形式：。在處理實(shí)際問題時(shí)，是否為的線性函數(shù)，首先要根據(jù)有關(guān)專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐來判斷，其次就要根據(jù)實(shí)際觀察得到的數(shù)據(jù)運(yùn)用假設(shè)檢驗(yàn)的方法來判斷。這就是說，求得的線性回歸方程是否具有實(shí)用價(jià)值，一般來說，需要經(jīng)過假設(shè)檢驗(yàn)才能確定。若線性假設(shè)符合實(shí)際，則不應(yīng)為零，因?yàn)槿魟t就不依賴于了。因此，我們需要檢驗(yàn)假設(shè)： 用檢驗(yàn)法來進(jìn)行檢驗(yàn)，可以證明：由和得到： 由于與相互獨(dú)立，故有：即： 且，即得的拒絕域?yàn)椋? 此處為顯著性水平。 當(dāng)假設(shè)被拒絕時(shí)，認(rèn)為回歸效果是顯著的，反之，就認(rèn)為回歸效果不顯著?；貧w效果不顯著的原因可能有如下幾種：（1）影響的取值，除了及隨機(jī)誤差外還有其它不可忽略的因素；（2）不是的線性函數(shù)，而是其它形式的函數(shù)；（3）與不存在關(guān)系。. . . . . 第三章　　概率統(tǒng)計(jì)在金融中的應(yīng)用實(shí)例 概率統(tǒng)計(jì)是一門相當(dāng)有趣的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的普及,它最近幾十年來在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中得到了比較廣泛的應(yīng)用,在社會(huì)生產(chǎn)和生活中起著非常重要的作用。當(dāng)今概率統(tǒng)計(jì)與經(jīng)濟(jì)的關(guān)系可以說是息息相關(guān)的,幾乎任何一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究、決策都離不開它的應(yīng)用,例如:實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、多元分析、質(zhì)量控制、抽樣檢查、價(jià)格控制等都要用到概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。實(shí)踐證明,概率統(tǒng)計(jì)是對(duì)經(jīng)