【文章內容簡介】 ox)、羅斯 (Ross)和魯賓斯坦 (Rubinstein)提出的一種期權定價模型，主要用于計算美式期權的價值。其優(yōu)點在于比較直觀簡單，不需要太多數學知識就可以加以應用。 二項期權定價模型假設股價波動只有向上和向下兩個方向，且假設在整個考察期內，股價每次向上 (或向下 )波動的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據股價的歷史波動率模擬出該股在整個存續(xù)期內所有可能的發(fā)展路徑，并對每 7 一路徑上的每一節(jié)點計算權證行權收益和用貼現(xiàn)法計算出的權證價格。 歐式期權定價模型 二叉樹模型的假 設條件 [5] (1).股票市場是有效的； (2).存在著股票的賣空機制，但不存在套利機會； (3).股票和期權合約的買賣不設計交易成本、也不考慮稅收； (4).市場參與者可按已知的無風險利率無限制地借入借出資金； (5).無風險利率為常數； (6).金融市場上的投資者都是風險中立者； (7).假設基礎資產的價格在離散的或不連續(xù)的時間內服從一個倍增的二項式過程。 一期模型的歐式看漲期權定價 為簡單起見，假設不存在交易費用 、稅收等成 本，還假設資本市場上存在一種無風險證券 (債權 )，人們可以用無風險利率 0fr? 不受限制地借或貸。因為股票的價格下一期的股價只有兩種可能的狀態(tài)：上升或下降，而且 S 可能上升到 uS 的概率為 ? ，下降到 dS的 概率 為 (1 )?? 。其中 10fu r d? ? ? ?。所以 S 的運動如圖 1 所示： 圖 1 股票價格 S 的一期運動 一個執(zhí)行價格為 X 的歐式看漲期權在 1t? 時，以 ? 的概率取 m ax ( , 0 )uC uS X??，1?? 的概率取 m a x ( , 0 )dC dS X??。 C 記這個期權在 0t? 的價格。 命題 ：股票價格運動一期的情況下 ,期權在 0t? 的價格為 ? ?1 (1 )1 udfC qC q Cr? ? ?? 證明：構造一個在 0t? 的總投資為 ()S mC? 的投資組合，在期權到日 1t? ，它以概率 ? 取值 uuS mC? ，以概率 (1 )?? 取值 ddS mC? 。 8 選擇 m 使得這個投資組合在 1t? 的兩種狀態(tài)下取值相等 ，即 uduS m C dS m C? ? ? 由此解出 () 為了不存在套利機會，這個投資組合的期初投資 ()S mC? 在 1t? 時的價值必須等于 (1 )( )fr S mC?? 即 (1 ) ( )f u dr S m C u S m C d S m C? ? ? ? ? ? 由此解 (1 )(1 )fufS r u mCCmr??? ? ????? () 式 ()可改寫為 ? ? ? ?1111 ffudfr d u rC C Cr u d u d??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? () 如記： ? ?1 frdq ud??? ? ? ?11 furq ud???? ? () 則式 ()可記為 ? ?1 (1 )1 udfC qC q Cr? ? ?? () 由 命題 中的式 ()知道： 01q??及 (1 ) 1qq? ? ? ，從而可把 ( ,1 )qq? 看做一個概率分布，稱它為風險中性 (Risk Neutral)概率或對沖概率 (Hedging Probablity)，從而式 ()可改寫為 ? ?11 E1 fCCr? ? 其中 ??E? 是指按風險中性概率 ( ,1 )qq? ，而不是按實際概率 ( ,1 )??? 計算的數學期望。從形式上看， 1C 以 “概率 ”q 取 uC ，以 “概率 ” (1 )q? 取 dC 。這里概率打引號意指 q 和(1 )q? 不是實際概率，是一個人為的概率。一個風險中性的投資者對在任何股票上投資要 9 求的期望回報率都為無風險利率 fr ，所以在這種情況下風險中性投資者認為 q 就是股票從 S 上升到 uS 的概率 ? 。這就是為什么把 q 稱為風險中性概率的原因。 這個證明過程對歐式看跌期權也成立。因此當股價運動模式如圖 1 所示，歐式看跌期權在 0t? 時的價值 ? ? ? ?111(1 ) EudffP q P q P Prr? ? ? ??? () 式中： m ax( , 0)uP X uS??； m ax ( , 0 )dP X dS??； q 由式 ()給出。 二期模型的歐式看漲期權 定價 接下來考慮的是二期問題，在時刻 1t? 時，股價 S 以概率 ? 上升到 uS ，以概率 1?? 下降到 dS 。在時刻 2t? ，又在 1t? 的基礎上分別以概率 ? 和 1?? 上升和下降。二期股價運動的二項式模式如圖 2 所示。 圖 1 股票價格 S 的二期運動 命題 ：股票價格運動二期的情況下 ,期權在 0t? 的價格為 ? ? 2221 2 ( 1 ) ( 1 )1 u u u d d dfC q C q q C q Cr ??? ? ? ? ???? 。 證明：假設每一期的無風險利率都是 fr 。在得知二期期權價格 uuC 、 udC 和 ddC ，利用一期的評價公式來求出 uC 和 dC ，則有： ? ?1 (1 )1u u u u dfC q C q Cr? ? ?? () 10 ? ?1 (1 )1d u d d dfC q C q Cr? ? ?? () 其中 q 和 (1 )q? 是式 ()的風險中性概率。再用一次一期的評價公式，就推得在 0t? 時期權的價值 ? ?1 (1 )1 udfC qC q Cr? ? ?? . 把式 () ()代入上式，得 ? ? 2221 2 ( 1 ) ( 1 )1 u u u d d dfC q C q q C q Cr ??? ? ? ? ???? () 注意： 命題 的證明過程中的式 () 右邊方括號內的系數正好滿足? ?2222 (1 ) (1 ) (1 ) 1q q q q q q? ? ? ? ? ? ? ?,故如果把 2q ， 2 (1 )qq? 和 2(1 )q? 分別看成 2C 取值在 uuC ， udC 和 ddC 的概率，則式 ()也可以改寫成為 ? ? ? ?221 E1 fCCr? ? 其中數學期望 ??E? 是按風險中性概率分布 [ 2q ， 2 (1 )qq? ， 2(1 )q? ]計算的。 和一期模型一樣，此推導過程對二期歐式看跌期權定價也同樣合適，歐式看跌期權在 0t? 時的價值 ? ? 2221 2 ( 1 ) ( 1 )1 u u u d d dfP q P q q P q Pr ??? ? ? ? ???? () 式中： 2m a x ( , 0 )uuP X u S??； m a x ( , 0 )udP X udS??； 2m ax ( , 0 )ddP X d S??， q 由式 ()給出。 多期二項式期權定價公式 在了解了一期和二期二項式期權定價公式，現(xiàn)在來推廣到 T 期的情形。 命題 ：股票價格運動 T 期的情況下 ,期權在 0t? 的價格為 ? ? 01! ( 1 ) m a x( , 0)( ) ! !1 T n T n n T nT nf TC q q u d S XT n nr ???? ? ??? ? 證明：設在 T 期內股價上升 n 次 (從而下降了 Tn? 次 )，則最終股價為 n T nTS u d S?? ，從而在 tT? 期權的價值為 m a x ( , 0 )n T nu d S X? ?. 11 一個有二項分布的隨機變量，取 u 的概率為 q ，取 d 的概率為 (1 )q? ,則取值 n T nud S? 的概率為 !B ( | ) (1 )( ) ! ! n T nTn T q q qT n n ????， , 其中 q 為風險中性概率，參見式 ()。 由于 n 可取值 0， 1， 2， … ， T,所以期權的期望價值為 ? ?T 0 !E ( 1 ) m a x ( , 0 )( ) ! !T n T n n T nn TC q q u d S XT n n ???? ? ??? . 由風險中性評價公式，得期權在 0t? 時的價值 ? ? 01! ( 1 ) m a x( , 0)( ) ! !1 T n T n n T nT nf TC q q u d S XT n nr ???? ? ??? ? () 命題 的證明過程中 ()式比較復雜，所以要對其進行簡化，令 a 為使得n T nu d S X? ? 的最小正整數，則當 na? ， m a x( , 0) 0n T nu d S X? ??，從而式 ()可以改寫為 ? ? 01! ( 1 ) ( )( ) ! !1 T n T n n T nT nf TC q q u d S XT n nr ???? ? ??? ? ? ? ? ?00!!( 1 ) ( 1 )( ) ! ! ( ) ! !11n T nTTn T n n T nTTnn ffT u d X TS q q q qT n n T n nrr???? ? ? ??? ???? () 如記 1 fuqq r?? ?， ? ?111 fdqq r???? ?， 則 ? ? ? ?(1 ) (1 )1 n T n nn T n T nTfudq q q qr ?????? ? ??， 從而 ()可寫成為 ? ?0 ! (1 )( ) ! !T n Tnn TC S q qT n n ?? ??? ? ??? ? ? ? ?0! (1 )( ) ! !1T n TnT nfXT qqT n nr ?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?| , | ,1 TfXSB n a T q B n a T qr?? ? ?? () 這就是 T 期二項式模型歐式看漲期權的定價公式 [6]。 12 4 BlackScholes 模型 股票價格的行為模式 在第三章我們討論了期權的離散模型，它只是假設股價在離散的時點上才發(fā)生變化沒，而且每次變化只能取兩個可能的狀態(tài)之一。接下來的這部分就要考慮期權定價的連續(xù)模型，即考慮時間和股價都是連續(xù)的。在本節(jié)，我們將提供一種循序漸進的方法去了解股票價格遵循的隨機過程。 定義 ：馬爾可夫過程，是一種說明只有變量的當前值和未來的預測有關的隨機過程。 人們通常假設股票價格遵循馬爾可夫過程，所以股票價格行為模型通常采用馬爾科夫隨機過程 的一種特殊形式，即維納過程來表達，也稱布朗運動。 我們要理解遵循 Wiener 過程的變量 z 的行為，可以考慮在小時間間隔上變量 z 值的變化。 定義 ：設一個小的時間間隔長度為 t? ，定義 z? 為在 t? 時間內 z 的變化。要使 z遵循 Wiener 過程， z? 必須滿足 : (1): z? 與 t? 的關系滿足方程式 tz ??? ? () 其中 ? 為從 N(0， l)分布中抽取的一個隨機值。 (2):對于任何兩個不同時間間隔 t? ， z? 的值相互獨立。 從定義 中可以看出 z? 本身具有正態(tài)分布，即 z? 的均值 =0 ， z? 的方差 = t? . 變量 x 的一般化 Wiener 過程用 dz 定義如下 : bdzadtdx ?? () 其中 a ， b 為常數。方程 ()給出的一般性 Wiener 過程其漂移率的期望值為 a ，方差率的期望值為 2b 。 但是股票期權的價格是該標的股票價格 和時間的函數。更一般地，我們可以說任何一個衍生證券的價格都是這些標的衍生債券的隨機變量和時間的函數。所有任何研究衍生證券的嚴謹學者都必須對隨機變量函數的行為有所了解，在這一領域內的一個重要結論由一個叫 的數學家在 1951 年發(fā)現(xiàn)。因此稱為 Ito 定理。 定理 ：假設變量 x 的值遵循 Ito 過程： ( , ) ( , )dx x t dt x t dz???? () 其中 dz 是一個維納過程， ? 和 ? 是 x 和 t 的函數。變量 x 的漂移率為 ? 和方差率為 2? .Ito 13 定理表明 x 和 t 的函數 G 遵循如下過程：