【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 C： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ ABC＝ 60176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC 的度數(shù)為 60176。 或 120176。 7. （ 2020 浙江麗水， 21， 8 分） 如圖，射線 PG平分 ∠ EPF， O為射線 PG 上一點(diǎn)，以 O 為圓心， 10 為半徑作 ⊙ O，分別與 ∠ EPF 兩邊相交于 A、 B 和 C、 D，連結(jié) OA，此時(shí)有 OA∥PE. （ 1）求證： AP＝ AO； （ 2）若弦 AB＝ 12，求 tan∠ OPB 的值； （ 3）若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn) (即 P、 A、 B、 C、 D、 O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)點(diǎn)為 或 或 . GFEOABDCP 【解】（ 1）∵ PG 平分∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； （ 2）過(guò)點(diǎn) O 作 OH⊥ AB 于點(diǎn) H，則 AH=HB， ∵ AB=12， ∴ AH=6， 由（ 1）可知 PA=OA=10， ∴ PH=PA+AH=16， OH= 102－ 62=8， ∴ tan∠ OPB=OHPH=12； （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B. 8. （ 2020 廣東廣州市， 25， 14 分） 如圖 7， ⊙ O 中 AB 是直徑， C 是 ⊙ O 上一點(diǎn)， ∠ ABC=45176。，等腰直角三角形 DCE 中 ∠ DCE 是直角，點(diǎn) D 在線段 AC 上． （ 1）證明： B、 C、 E 三點(diǎn)共線； （ 2）若 M 是線段 BE 的中點(diǎn)， N 是線段 AD 的中點(diǎn)，證明： MN= 2OM； （ 3）將 △ DCE 繞點(diǎn) C 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) α（ 0176。＜ α＜ 90176。）后，記為 △ D1CE1（圖 8），若 M1是線段 BE1 的中點(diǎn)， N1 是線段 AD1的中點(diǎn)， M1N1= 2OM1 是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，說(shuō)明理由． 【答案】（ 1）∵ AB為⊙ O直徑 ∴∠ ACB=90176。 ∵△ DCE 為 等腰直角三角形 ∴∠ ACE=90176。 ∴∠ BCE=90176。 +90176。 =180176。 ∴ B、 C、 E三點(diǎn)共線． （ 2） 連接 BD， AE， ON． ∵∠ ACB=90176。， ∠ ABC=45176。 A B C D1 E1 M1 O N1 圖 8 A B C D E M N O 圖 7 ∴ AB=AC ∵ DC=DE ∠ ACB=∠ ACE=90176。 ∴ △ BCD≌△ ACE ∴ AE=BD，∠ DBE=∠ EAC ∴∠ DBE+∠ BEA=90176。 ∴ BD⊥ AE ∵ O， N為中點(diǎn) ∴ ON∥ BD， ON=12BD 同理 OM∥ AE， OM=12AE ∴ OM⊥ ON， OM=ON ∴ MN= 2OM （ 3）成立 證明：同（ 2）旋轉(zhuǎn)后∠ BCD1=∠ BCE1=90176。－∠ ACD1 所以仍有 △ BCD1≌△ ACE1， 所以 △ ACE1是由 △ BCD1繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。而得到的，故 BD1⊥ AE1 其余證明過(guò)程與（ 2）完 全相同． 9. （ 2020 浙江麗水， 24， 12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(10， 0)，以 OA 為直徑在第一象限內(nèi)作半圓 C，點(diǎn) B 是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) OB、 AB，并延長(zhǎng) AB 至點(diǎn) D，使 DB＝ AB，過(guò)點(diǎn) D作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 OB于點(diǎn) E、 F，點(diǎn) E為垂足，連結(jié) CF. （ 1）當(dāng) ∠ AOB＝ 30176。時(shí)，求弧 AB 的長(zhǎng)； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時(shí)，求線段 EF 的長(zhǎng)； （ 3）在點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB 相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 . FEDCBAO xy 【解】 (1)連結(jié) BC， ∵ A(10， 0)，∴ OA=10， CA=5， ∵∠ AOB=30176。， ∴∠ ACB=2∠ AOB=60176。， ∴ ⌒AB的長(zhǎng) =60π 5180 =5π3 ； （ 2）連結(jié) OD， ∵ OA 是⊙ C 的直徑，∴∠ OBA=90176。， 又∵ AB= BD， ∴ OB 是 AD 的垂直平分線， ∴ OD= OA=10， 在 Rt△ ODE 中， OE= OD2－ DE2= 102－ 82=6， ∴ AE= AO－ OE =10－ 6=4， 由∠ AOB=∠ ADE= 90176。－∠ OAB， ∠ OEF=∠ DEA， 得△ OEF∽ △ DEA， ∴ AEDE= EFOE，即 48=EF6 ，∴ EF=3； FEDCBAO xyFEDCBAO xyFEDCBAO xy (3)設(shè) OE=x， ①當(dāng)交點(diǎn) E 在 O， C 之間時(shí)，由以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與△ AOB 相似， 有∠ ECF=∠ BOA 或∠ ECF=∠ OAB，當(dāng)∠ ECF=∠ BOA 時(shí)，此時(shí)△ OCF 為等腰三角形， 點(diǎn) E 為 OC 的中點(diǎn)，即 OE=52， ∴ E1(52， 0)； 當(dāng)∠ ECF=∠ OAB 時(shí)，有 CE=5－ x， AE=10－ x， ∴ CF//AB，有 CF=12AB， ∵△ ECF∽ △ EAD， ∴ CEAE=CFAD，即 5－ x 10－ x=14，解得 x=103 ， ∴ E2(103 ， 0)； ②當(dāng)交點(diǎn) E 在 C 的右側(cè)時(shí)， ∵∠ ECF∠ BOA ∴要使△ ECF 與 △ BAO 相似，只能使∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD， ∴∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ BEA=∠ ECF， ∵ CF//BE，∴ CFBE=OCOE， ∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴△ CEF∽ △ AED，∴ CFAD=CEAE， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， 即 52x= x－ 5 10－ x， 解得 x1=5+5 174 ， x2=5－ 5 174 0（舍去）， ∴ E3(5+5 174 ， 0)； ③當(dāng)交點(diǎn) E 在 O 的左側(cè)時(shí)， ∵∠ BOA=∠ EOF∠ ECF ∴要使△ ECF 與 △ BAO 相似，只能使∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE，得 BE=12AD=AB， ∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ ECF=∠ BEA， ∴ CF//BE， ∴ CFBE=OCOE， 又∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴△ CEF∽ △ AED，∴ CEAE=CFAD， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， ∴ 52x= x+5 10+x，解得 x1=－ 5+5 174 ， x2=－ 5－ 5 174 0（舍去）， ∵點(diǎn) E 在 x 軸負(fù)半軸上，∴ E4(5－ 5 174 ， 0)， 綜上所述：存在以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB 相似，此時(shí)點(diǎn) E坐標(biāo)為： ∴ E1(52， 0)、 E2(103 ， 0)、 E3(5+5 174 ， 0)、 E4(5－ 5 174 ， 0). 10． （ 2020江西， 21， 8分）如圖，已知 ⊙ O的半徑為 2，弦 BC 的長(zhǎng)為 23，點(diǎn) A為弦 BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（ B， C 兩點(diǎn)除外）。 ⑴ 求 ∠ BAC 的度數(shù)； ⑵ 求 △ ABC 面積的最大值 . （參考數(shù)據(jù)： sin60176。= 23 ， cos30176。= 23 ， tan30176。= 33 .） 【答案】 （ 1）過(guò)點(diǎn) O 作 OD⊥ BC 于點(diǎn) D, 連接 OA. 因?yàn)?BC=23，所以 CD=12BC= 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ =CDOC，即 sin DOC∠ = 32， 所以 ∠ DOC=60176。. 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176。. （ 2）因?yàn)?△ ABC 中的邊 BC的長(zhǎng)不變，所以底邊上的高最大時(shí)， △ ABC面積的最大值 ,即點(diǎn)A是 BAC 的中點(diǎn)時(shí)， △ ABC 面積的最大值 . 因?yàn)?∠ BAC=60176。，所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 11. （ 2020湖南常德， 25， 10分）已知 △ ABC，分別以 AC 和 BC 為直徑作半圓 1O 、 2,O P是 AB 的中點(diǎn) . （ 1）如圖 8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,ACBC 上分別取點(diǎn) E、 F，使12,AO E BO F? ? ? 則有結(jié)論① 12,PO E FO P? ②四邊形 12POCO 是菱形 .請(qǐng)給出結(jié)論②的證明； （ 2）如圖 9，若（ 1）中△ ABC 是任意三角形，其它條件不變，則（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明； （ 3）如圖 10，若 PC 是 1O 的切線，求證： 2 2 23AB BC AC?? 【答案】 （ 1） 證明： ∵ BC 是⊙ O2直徑，則 O2是 BC 的中點(diǎn) 又 P 是 AB 的中點(diǎn) . ∴ P O2是 △ ABC 的中位線 ∴ P O2 =12 AC 又 AC 是⊙ O1直徑 ∴ P O2= O1C=12 AC 同理 P O1= O2C =12 BC ∵ AC =BC ∴ P O2= O1C=P O1= O2C ∴四邊形 12POCO 是菱形 （ 2） 結(jié)論① 12,PO E FO P? 成立，結(jié)論②不成立 證明：在（ 1）中已證 PO2=12 AC，又 O1E=12 AC ∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2是 △ ABC 的中位線 ∴ PO2∥ AC ∴∠ PO2B=∠ ACB 同理∠ P O1A=∠ ACB ∴∠ PO2B=∠ P O1A ∵∠ AO1E =∠ BO2F 圖8O2O1PA DCEFB D ∴∠ P O1A+∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F