【導(dǎo)讀】B是優(yōu)弧CBA上一點(diǎn)，若∠ABC==320，則∠P的度數(shù)為。①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③線段OD是DE與DA的比例中項(xiàng)；22．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．。以O(shè)為圓心，OD長(zhǎng)為半徑作半圓，交AC于另一點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，G，連接∠BAC=22º，若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；

　　

【正文】 】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴ 弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對(duì)角”知 ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE ∴ AC： FE=CD： AF ∴ AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， 第 22題圖 B A F E D C M E NM DCBAO ∴ AC?AF=DF?FE 20． （ 2020 廣東茂名， 24， 8分）如圖，⊙ P與 y 軸相切于坐標(biāo)原 點(diǎn) O(0， 0)，與 x 軸相交于點(diǎn) A(5， 0)，過(guò)點(diǎn) A 的直線 AB 與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) B，與 ⊙ P 交于點(diǎn) C． (1)已知 AC＝ 3， 求點(diǎn) Ｂ 的坐標(biāo)； (4 分 ) (2)若 AC＝ a , D 是 OＢ 的中點(diǎn)．問(wèn)：點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)是否在同一圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為 1O ，函數(shù)xky?的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1O ，求 k 的值 (用含 a 的代數(shù)式表示 )． (4 分 ) 【答案】解： (1)解法一：連接 OC，∵ OA 是⊙ P 的直徑，∴ OC⊥ AB， 在 Rt△ AOC 中， 492522 ????? ACOAOC 在 Rt△ AOC 和 Rt△ ABO 中，∵∠ CAO＝∠ OAB ∴ Rt△ AOC∽ Rt△ ABO， ∴ OBAOCOAC? ，即 OB543? ， ∴ 320?OB ， ∴ )320,0(B 解法二：連接 OC，因?yàn)?OA 是⊙ P 的直徑， ∴∠ ACO＝ 90176。 在 Rt△ AOC 中， AO＝ 5， AC＝ 3，∴ OC＝ 4， 過(guò) C 作 CE⊥ OA 于點(diǎn) E，則： OCCACEOA ????? 2121 ， 即 ： 4321521 ????? CE ，∴ 512?CE ， ∴516)512(4 2222 ????? CEOCOE ∴ )512,516(C ， 備用 圖 χ y χ y 設(shè)經(jīng)過(guò) A、 C 兩點(diǎn)的直線解析式為： bkxy ?? ． 把點(diǎn) A(5， 0)、 )512,516(C 代入上式得： ?????????51251605bkbk ， 解得：??????????32034bk， ∴ 32034 ??? xy ， ∴點(diǎn) )320,(OB ． (2)點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，理由如下： 連接 CP、 CD、 DP，∵ OC⊥ AB， D 為 OB 上的中點(diǎn)， ∴ ODOBCD ?? 21 ， ∴∠ 3＝∠ 4，又∵ OP＝ CP，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＋∠ 3＝∠ 2＋∠ 4＝ 90176。， ∴ PC ⊥ CD，又∵ DO⊥ OP，∴ Rt△ PDO 和 Rt△ PDC 是同以 PD為斜邊的直角三角形，∴ PD 上的中點(diǎn)到點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)的距離相等， ∴點(diǎn) O、 P、 C、 D 在以 DP 為直徑的同一 個(gè)圓上； 由上可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn) O、 P、 C、 D 的圓心 1O 是 DP 的中點(diǎn)，圓心 )2,2(1 ODOPO， 由 (1)知： Rt△ AOC∽ Rt△ ABO，∴ ABOAOAAC? ，求得： AB＝ a25 ，在 Rt△ ABO 中， a aOAABOB222 255 ???? ， OD＝a aOB 2255212?? ，252 ?? OAOP ∴ )4255,45( 21 a aO ?，點(diǎn) 1O 在函數(shù) xky? 的圖象上， ∴ 544255 2 ka a ?? ， ∴ a ak 162525 2?? ． 21. （ 2020 廣東肇慶， 24， 10 分） 已知：如圖， ?ABC 內(nèi)接于⊙ O， AB 為直徑，∠ CBA 的平分線交 AC 于點(diǎn) F，交 ⊙ O 于點(diǎn) D， DE⊥ AB 于點(diǎn) E，且交 AC 于點(diǎn) P，連結(jié) AD． （ 1）求證：∠ DAC ＝∠ DBA； （ 2）求證： P 是線段 AF 的中點(diǎn)； （ 3）若⊙ O 的半徑為 5， AF ＝ 215，求 tan∠ ABF 的值 ． 【答案】 (1）∵ BD 平分∠ CBA， ∴ ∠ CBD＝ ∠ DBA ∵∠ DAC 與∠ CBD 都是弧 CD 所對(duì)的圓周角， ∴ ∠ DAC＝∠ CBD ∴ ∠ DAC ＝∠ DBA (2）∵ AB 為直徑， ∴ ∠ ADB＝ 90176。 又∵ DE⊥ AB 于點(diǎn) E， ∴ ∠ DEB＝ 90176。 ∴ ∠ ADE +∠ EDB＝ ∠ ABD +∠ EDB＝ 90176。 ∴ ∠ ADE＝ ∠ ABD＝ ∠ DAP ∴ PD＝ PA 又∵∠ DFA +∠ DAC＝ ∠ ADE +∠ PD F＝ 90176。且∠ ADE＝ ∠ DAC ∴ ∠ PDF＝ ∠ PFD ∴ PD＝ PF ∴ PA＝ PF 即 P 是線段 AF 的中點(diǎn) (3）∵∠ DAF ＝ ∠ DBA，∠ ADB＝ ∠ FDA＝ 90176。 ∴ △ FDA ∽△ ADB ∴ ABAFDBAD? ∴在 Rt△ ABD 中， tan∠ ABD＝ 4310215 ??? ABAFDBAD ，即 tan∠ ABF＝ 43 22. （ 2020 內(nèi)蒙古烏蘭察布， 21， 10 分） 如圖，在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB＝ 90176。， D是 AB 邊上的一點(diǎn)，以 BD為直徑的 ⊙ 0 與邊 AC 相切于點(diǎn) E，連結(jié) DE 并延長(zhǎng)，與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F . ( 1 ）求證： BD = BF 。 ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長(zhǎng)． ? A B C D E O F P 第 21 題圖EABCODF 【答案】 ⑴ 連結(jié) OE， 第 21 題答案圖DOEACB F 則 OE⊥ AC, 所以 ∠ AEO=90176。， ∠ AED=∠ CEF, ∠ ACB＝ 90176。 ∠ CEF+∠ F＝ 90176。 ∠ AED +∠ OED＝ 90176。 ∠ OED=∠ F 又因?yàn)?OD=OE 所以 ∠ OED=∠ ODE ∠ ODE=∠ F BD=BF ⑵ Rt△ ABC 和 Rt△ AOE 中， ∠ A 是公共角 所以 Rt△ ABC ∽ Rt△ AOE OE AOBC AB? ，設(shè) ⊙ 0 的半徑是 r，則有 812 8 2rrr?? ? 求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （ 2020湖北鄂州， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD為∠ BCA外角的平分線，F(xiàn) 為弧 AD 上一點(diǎn)， BC=AF，延長(zhǎng) DF 與 BA的延長(zhǎng)線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE 【答案】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對(duì)角”知 ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE ∴ AC： FE=CD： AF ∴ AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， ∴ AC?AF=DF?FE 24. （ 2020 湖北孝感， 23， 10 分） 如圖，等邊△ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O， P是 AB 上任一點(diǎn)（點(diǎn) P不與點(diǎn) A、 B重合） .連 AP、 BP，過(guò)點(diǎn) C作 CM∥ BP 交 PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M. （ 1）填空：∠ APC＝ 度，∠ BPC＝ 度；（ 2分） （ 2）求證：△ ACM∽△ BCP；（ 4分） （ 3）若 PA=1， PB=2，求梯形 PBCM的面積 . （ 4分） 【答案】 解：（ 1） 60,60； （ 2） ∵ CM∥ BP， ∴∠ BPM+∠ M=180176。， ∠ PCM=∠ BPC=60. ∴∠ M=180176。－ ∠ BPM=180－ （ ∠ APC+∠ BPC） =180176。－ 120176。=60176。. 第 22題圖 B A F E D C M ∴∠ M=∠ BPC=60176。. （ 3） ∵ ACM≌ BCP， ∴ CM=CP， AM=BP. 又 ∠ M=60176。， ∴△ PCM 為等邊三角形 . ∴ CM=CP=PM=1+2=3. 作 PH⊥ CM 于 H. 在 Rt△PMH 中， ∠ MPH=30176。. ∴ PH= 332. ∴ S 梯形 PBCM= 1 1 3 1 5( ) ( 2 3 ) 3 32 2 2 4P B C M P H? ? ? ? ? ?. 25. （ 2020湖北宜昌， 21， 8分） 如圖 D是 △ABC 的邊 BC 的中點(diǎn)，過(guò) AD 延長(zhǎng)線上的點(diǎn) E作 AD的垂線 EF， E為垂足， EF與 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F，點(diǎn) 0 在 AD 上， AO = CO， BC//EF. (1)證明 :AB=AC； (2)證明 :點(diǎn) 0 是 AABC 的外接圓的圓心； (3)當(dāng) AB=5,BC=6時(shí)，連接 BE 若 ∠ABE=90176。 ，求 AE 的長(zhǎng) . （第 21題圖） 【答案】 解 :(1)∵ AE⊥ EF， EF∥ BC，∴ AD⊥ BC． (1 分 )在△ ABD 和△ ACD 中，∵BD＝ CD，∠ ADB＝∠ ADC， AD＝ AD，∴△ ABD≌△ ACD． (或者：又∵ BD＝ CD，∴ AE是 BC 的中垂線． ) (2 分 )∴ AB＝ AC． (3 分 ) (2)連 BO，∵ AD 是 BC 的中垂線，∴ BO＝ CO． (或者：證全等也可得到 BO＝ CO． )又 AO＝ CO，∴ AO＝ BO＝ CO． (4 分 )∴點(diǎn) O 是△ ABC 外接圓的圓心． (5 分 ) （ 3）解法 1：∵∠ ABE＝∠ ADB=90176。，∴∠ ABD+∠ BAD=∠ AEB+∠ BAE=90176。，∴∠ ABD=∠ AEB． 又∵∠ BAD=∠ EAB，∴△ ABD∽△ AEB．∴ ABADAEAB? （ 6 分）在 Rt△ ABD中， ∵ AB=5， BD=1， 2BC=3， ∴ AD=4．（ 7 分） ∴ AE= 425 (8 分 )解法 2： ∵AO＝ BO， ∴∠ ABO＝ ∠ BAO． ∵∠ ABE＝ 90176。， ∴∠ ABO＋ ∠ OBE＝ ∠ BAO＋ ∠ AEB＝ 90176。． ∴∠ OBE＝ ∠ OEB， ∴ OB＝ OE． (6 分 )在 Rt△ ABD 中， ∵AB=5， BD=1， 2BC=3， ∴ AD=4． 設(shè) OB＝ x， 則 OD＝ 4－ x，由 32+（ 4x)2 =x2, 解得 x=825(7 分 )∴ AE＝ 2OB＝425 26.