【正文】 ∴∠ ABD=∠ AEB． 又∵∠ BAD=∠ EAB，∴△ ABD∽△ AEB．∴ ABADAEAB? （ 6 分）在 Rt△ ABD中， ∵ AB=5， BD=1， 2BC=3， ∴ AD=4．（ 7 分） ∴ AE= 425 (8 分 )解法 2： ∵AO＝ BO， ∴∠ ABO＝ ∠ BAO． ∵∠ ABE＝ 90176。 ∴△ PCM 為等邊三角形 . ∴ CM=CP=PM=1+2=3. 作 PH⊥ CM 于 H. 在 Rt△PMH 中， ∠ MPH=30176。－ 120176。 ∠ AED +∠ OED＝ 90176。 D是 AB 邊上的一點，以 BD為直徑的 ⊙ 0 與邊 AC 相切于點 E，連結(jié) DE 并延長，與 BC 的延長線交于點 F . ( 1 ）求證： BD = BF 。 ∴ ∠ ADE +∠ EDB＝ ∠ ABD +∠ EDB＝ 90176。 ∴ OBAOCOAC? ，即 OB543? ， ∴ 320?OB ， ∴ )320,0(B 解法二：連接 OC，因為 OA 是⊙ P 的直徑， ∴∠ ACO＝ 90176。. 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176。 ⑴ 求 ∠ BAC 的度數(shù)； ⑵ 求 △ ABC 面積的最大值 . （參考數(shù)據(jù)： sin60176。 ∴ BD=AD ∵ BD=8 ∴ AD=8 又 ∵∠ ADC=90176。 ∴ AC⊥ BH ⑵∵∠ BDA=180176。 ∴∠ BGC=180176。原因：∵ AD 與小圓相切于點 M， ∴ OM⊥ AD，又 AD∥ BC，∴ ON⊥ BC，∴在大圓 O中，由垂徑定理可得 N 是 BC的中點． (2)連接 OB，設小圓半徑為 r，則有 ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm, 在 Rt△ OBN 中，由勾股定理得 OB2=BN2+ON2 ，即：（ r+6） 2=(r+5)2+52 ，解得 r=7cm. ∴ 小圓的半徑為 7cm. 15. （ 2020四川成都， 27,10分） 已知：如圖，以矩形 ABCD的對角線 AC的 中點 O為圓心，OA 長為半徑作 ⊙ 0， ⊙ O經(jīng)過 B、 D兩點，過點 B 作 BK⊥ AC，垂足為 K．過 D 作 DH∥ KB，DH 分別與 AC、 AB、⊙ O及 CB 的延 長線相交于點 E、 F、 G、 H． (1)求證： AE=CK； (2)如果 AB=a ， AD=13a (a 為大于零的常數(shù) )， 求 BK 的長 ； (3)若 F 是 EG的中點，且 DE=6，求 ⊙ O的半徑 和 GH 的長． 【答案】 EFGAOH B CDK 解：（ 1）∵ DH∥ KB， BK⊥ AC，∴ DE⊥ AC， ∵四邊形 ABCD 是矩形，∴ AD∥ BC， AD=BC，∴∠ EAD=∠ KCB， ∴ Rt△ ADE≌ Rt△ CBK，∴ AE=CK. （ 2）在 Rt△ ABC中， AB=a ， AD=BC=13a，∴ 22 BCABAC ?? = 22 )31( aa ?= 310a ， ∵ S△ ABC=21AB BC=21AC BK，∴ BK=ACBCAB?=31031aaa?= a1010 . （ 3）連線 OG，∵ AC⊥ DG， AC是⊙ O的直接， DE=6，∴ DE=EG=6，又∵ EF=FG，∴ EF=3；∵ Rt△ ADE≌ Rt△ CBK，∴ DE=BK=6， AE=CK， 在△ ABK 中， EF=3， BK=6， EF∥ BK，∴ EF 是△ ABK 的中位線，∴AF=BF ， AE=EK=KC ；在 Rt △ OEG 中， 設 OG= r ，則OE= rrAC 3126161 ??? ， EG=6 ， 222 OGEGOE ?? ，∴222 6)31( rr ?? ，∴ 229?r . 在 Rt△ ADF≌ Rt△ BHF 中， AF=BF， ∵ AD=BC， BF∥ CD，∴ HF=DF， ∵ FG=EF，∴ HFFG=DFEF，∴ HG=DE=6. 16. （ 2020 四川宜賓 ,23， 10 分）已知：在 △ ABC 中，以 AC 邊為直徑的 ⊙ O交 BC 于點 D，在劣弧 ⌒ AD上到一點 E 使 ∠ EBC=∠ DEC，延長 BE 依次交 AC 于 G，交 ⊙ O 于 H． （ 1）求證： AC⊥ BH； （ 2）若 ∠ ABC=45176。即 OC⊥ AB，∴ AC=21 AB= 3 . 13. （ 2020 江蘇蘇州， 27,8分） 已知四邊形 ABCD 是邊長為 4的正方形，以 AB 為直徑在正方形內(nèi)作半圓， P是半圓上的動點（不與點 A、 B重合），連接 PA、 PB、 PC、 PD. （ 1）如圖①，當 PA 的長度等于 ______時，∠ PAB=60176。 . 此時，∠ BOC=60176。∠ D=20176。 ∴ 2∠ A=∠ B+∠ A+∠ D=∠ A+50176。BC C D BD AC BD? ? ? ? 在 Rt△ ABD 中， 2 2 2AB AD BD?? ∴ ? ?2 2 2 2 2 243A B A C B D A C B D A C? ? ? ? ? ∴ 2 2 23AB BC AC?? 12. （ 2020江蘇蘇州， 26,8分） 如圖，已知 AB是⊙ O的弦， OB=2，∠ B=30176。. （ 2）因為 △ ABC 中的邊 BC的長不變，所以底邊上的高最大時， △ ABC面積的最大值 ,即點A是 BAC 的中點時， △ ABC 面積的最大值 . 因為 ∠ BAC=60176。= 23 ， cos30176。 ∴ ⌒AB的長 =60π 5180 =5π3 ； （ 2）連結(jié) OD， ∵ OA 是⊙ C 的直徑，∴∠ OBA=90176。－∠ ACD1 所以仍有 △ BCD1≌△ ACE1， 所以 △ ACE1是由 △ BCD1繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ∠ ABC=45176。 ∴∠ BCE=90176。等腰直角三角形 DCE 中 ∠ DCE 是直角，點 D 在線段 AC 上． （ 1）證明： B、 C、 E 三點共線； （ 2）若 M 是線段 BE 的中點， N 是線段 AD 的中點，證明： MN= 2OM； （ 3）將 △ DCE 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn) α（ 0176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 60176。OP＝ OF2＝ r2. 6. （ 2020 寧波市， 25， 10 分）閱讀下面的情境對話，然后解答問題 A B C D E F P . O G （圖 1） . A B C D E . O G （圖 2） （ 1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？ （ 2）在 Rt? ABC 中， ∠ ACB＝ 90176。OP＝ OF2＝ r2. （ 2）解：（ 1）中的結(jié)論成立 . 理由：如圖 2，依題意畫出圖形，連接 FO 并延長交 ⊙ O 于M，連接 CM. ∵ FM 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FCM＝ 90176。OP＝ r2 （ 2）當點 E 在 AB（或 BA）的延長線上時，以如圖 2 點 E 的位置為例，請你畫出符合題意的圖形， 標注上字母，（ 1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由 . 【答案】 （ 1）證明：連接 FO 并延長交 ⊙ O 于 Q，連接 DQ. ∵ FQ 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FDQ＝ 90176。 3 分 （ 2）答： B ， E ， C 三點在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . ∠ OAB， ∠ OEF=∠ DEA， 得△ OEF∽△ DEA, ∴ OEEFDEAE? ,即 684 EF? ，∴ EF=3；?? 4分 （ 3）設 OE=x， O B D E C F x y A ①當交點 E 在 O， C 之間時，由 以點 E、 C、 F為頂點的三角形與 △ AOB 相似 ， 有 ∠ ECF=∠ BOA或 ∠ ECF=∠ OAB，當 ∠ ECF=∠ BOA 時， 此時△ OCF 為等腰三角形，點 E 為 OC 中點，即OE=25， ∴ E1（25， 0） ； 當 ∠ ECF=∠ OAB 時， 有 CE=5x, AE=10x， ∴ CF∥ AB,有 CF=12AB, ∵△ ECF∽△ EAD, ∴ADCFAECE?,即 5110 4xx? ??,解得：310?x, ∴ E2（ 310 ， 0） 。, ∴ ∠ ACB=2∠ AOB=60176。． 圖 7AODBC 【答案】 27 28. （ 2020 湖北荊州， 12， 4 分）如圖，⊙ O 是△ ABC 的外接圓， CD 是直徑，∠ B＝ 40176。則∠ OCD = _____________． 【答案】 65 22. （ 2020湖北黃石， 14， 3 分）如圖（ 5）， △ ABC內(nèi)接于圓 O，若 ∠ B＝ ＝ 3 ， 則⊙ O 的直徑為 。,則 ∠ D＝ . 【答案】： 60176。 14. （ 2020 江蘇連 云港， 15， 3分） 如圖，點 D 為邊 AC 上一點，點 O為邊 AB 上一點， AD=DO.以 O為圓心， OD 長為半徑作半圓，交 AC 于另一點 E，交 AB 于點 F， G，連接 ∠ BAC=22186。則∠ OBD= 度。 CA是 ∠ OCD 的平分線，則 ∠ ABD 十 ∠ CAO= 176。則∠ ACD= 【答案】 40176。 4. （ 2020山東日照， 14， 4 分） 如圖，在以 AB為直徑的半圓中，有一個 邊長為 1的 內(nèi)接 正方形 CDEF，則以 AC 和 BC 的長為 兩 根的一元二次方程是 ． 【答案 】 如： x2 5 x+1=0； 5. （ 2020 山東泰安 ， 23 ， 3 分）如圖， PA 與 ⊙ O 相切，切點為 A， PO 交 ⊙ O 于點 C，點B 是優(yōu)弧 CBA 上一點，若 ∠ ABC==320， 則 ∠ P 的度數(shù)為 。． 【答案】 53176。 【答案】 63176。則 ∠ EFG=_____. O D B C （第 16 題） A BDCOE 【答案】 12 15. （ 2020 四川廣安， 19， 3 分）如圖 3 所示，若 ⊙ O 的半徑為 13cm，點 p 是弦 AB 上一動點，且到圓心的最短距離為 5 cm，則弦 AB 的長為 ________cm POBA 【答案】 24 16. （ 2020 重慶江津， 16， 4 分）已知如圖 ,在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中 ,∠ B=30186。 18. （ 2020 江西南昌， 13， 3 分）如圖，在 △ ABC 中，點 P 是 △ ABC 的內(nèi)心，則∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB = 度 . A B C D 第 16 題圖 圖 3 第 13 題圖 【答案】 90 19. (2020江蘇南京， 13， 2分 )如圖，海邊有兩座燈塔 A、 B，暗礁分布在經(jīng)過 A、 B 兩點的弓形（弓形的弧是 ⊙ O 的一部分）區(qū)域內(nèi)， ∠ AOB=80176。 【答案】