【正文】 ∴∠ ABO＋ ∠ OBE＝ ∠ BAO＋ ∠ AEB＝ 90176。∴∠ ABD+∠ BAD=∠ AEB+∠ BAE=90176。. ∴ PH= 332. ∴ S 梯形 PBCM= 1 1 3 1 5( ) ( 2 3 ) 3 32 2 2 4P B C M P H? ? ? ? ? ?. 25. （ 2020湖北宜昌， 21， 8分） 如圖 D是 △ABC 的邊 BC 的中點，過 AD 延長線上的點 E作 AD的垂線 EF， E為垂足， EF與 AB 的延長線相交于點 F，點 0 在 AD 上， AO = CO， BC//EF. (1)證明 :AB=AC； (2)證明 :點 0 是 AABC 的外接圓的圓心； (3)當 AB=5,BC=6時，連接 BE 若 ∠ABE=90176。. （ 3） ∵ ACM≌ BCP， ∴ CM=CP， AM=BP. 又 ∠ M=60176。=60176。－ ∠ BPM=180－ （ ∠ APC+∠ BPC） =180176。 ∠ OED=∠ F 又因為 OD=OE 所以 ∠ OED=∠ ODE ∠ ODE=∠ F BD=BF ⑵ Rt△ ABC 和 Rt△ AOE 中， ∠ A 是公共角 所以 Rt△ ABC ∽ Rt△ AOE OE AOBC AB? ，設 ⊙ 0 的半徑是 r，則有 812 8 2rrr?? ? 求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （ 2020湖北鄂州， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD為∠ BCA外角的平分線，F(xiàn) 為弧 AD 上一點， BC=AF，延長 DF 與 BA的延長線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE 【答案】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知 ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE ∴ AC： FE=CD： AF ∴ AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， ∴ AC?AF=DF?FE 24. （ 2020 湖北孝感， 23， 10 分） 如圖，等邊△ ABC 內(nèi)接于 ⊙ O， P是 AB 上任一點（點 P不與點 A、 B重合） .連 AP、 BP，過點 C作 CM∥ BP 交 PA的延長線于點 M. （ 1）填空：∠ APC＝ 度，∠ BPC＝ 度；（ 2分） （ 2）求證：△ ACM∽△ BCP；（ 4分） （ 3）若 PA=1， PB=2，求梯形 PBCM的面積 . （ 4分） 【答案】 解：（ 1） 60,60； （ 2） ∵ CM∥ BP， ∴∠ BPM+∠ M=180176。 ∠ CEF+∠ F＝ 90176。 ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長． ? A B C D E O F P 第 21 題圖EABCODF 【答案】 ⑴ 連結(jié) OE， 第 21 題答案圖DOEACB F 則 OE⊥ AC, 所以 ∠ AEO=90176。 ∴ △ FDA ∽△ ADB ∴ ABAFDBAD? ∴在 Rt△ ABD 中， tan∠ ABD＝ 4310215 ??? ABAFDBAD ，即 tan∠ ABF＝ 43 22. （ 2020 內(nèi)蒙古烏蘭察布， 21， 10 分） 如圖，在 Rt△ ABC中 ,∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ ADE＝ ∠ ABD＝ ∠ DAP ∴ PD＝ PA 又∵∠ DFA +∠ DAC＝ ∠ ADE +∠ PD F＝ 90176。 又∵ DE⊥ AB 于點 E， ∴ ∠ DEB＝ 90176。 在 Rt△ AOC 中， AO＝ 5， AC＝ 3，∴ OC＝ 4， 過 C 作 CE⊥ OA 于點 E，則： OCCACEOA ????? 2121 ， 即 ： 4321521 ????? CE ，∴ 512?CE ， ∴516)512(4 2222 ????? CEOCOE ∴ )512,516(C ， 備用 圖 χ y χ y 設經(jīng)過 A、 C 兩點的直線解析式為： bkxy ?? ． 把點 A(5， 0)、 )512,516(C 代入上式得： ?????????51251605bkbk ， 解得：??????????32034bk， ∴ 32034 ??? xy ， ∴點 )320,(OB ． (2)點 O、 P、 C、 D 四點在同一個圓上，理由如下： 連接 CP、 CD、 DP，∵ OC⊥ AB， D 為 OB 上的中點， ∴ ODOBCD ?? 21 ， ∴∠ 3＝∠ 4，又∵ OP＝ CP，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＋∠ 3＝∠ 2＋∠ 4＝ 90176。∴ MN=2ME=4． 19. （ 2020湖北黃岡， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD為∠ BCA外角的平分線，F(xiàn) 為弧 AD 上一點， BC=AF，延長 DF 與 BA的延長線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE 【答案】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴ 弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知 ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE ∴ AC： FE=CD： AF ∴ AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， 第 22題圖 B A F E D C M E NM DCBAO ∴ AC?AF=DF?FE 20． （ 2020 廣東茂名， 24， 8分）如圖，⊙ P與 y 軸相切于坐標原 點 O(0， 0)，與 x 軸相交于點 A(5， 0)，過點 A 的直線 AB 與 y 軸的正半軸交于點 B，與 ⊙ P 交于點 C． (1)已知 AC＝ 3， 求點 Ｂ 的坐標； (4 分 ) (2)若 AC＝ a , D 是 OＢ 的中點．問：點 O、 P、 C、 D 四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為 1O ，函數(shù)xky?的圖象經(jīng)過點 1O ，求 k 的值 (用含 a 的代數(shù)式表示 )． (4 分 ) 【答案】解： (1)解法一：連接 OC，∵ OA 是⊙ P 的直徑，∴ OC⊥ AB， 在 Rt△ AOC 中， 492522 ????? ACOAOC 在 Rt△ AOC 和 Rt△ ABO 中，∵∠ CAO＝∠ OAB ∴ Rt△ AOC∽ Rt△ ABO， . （ 2）因為 △ ABC 中的邊 BC的長不變，所以底邊上的高最大時， △ ABC面積的最大值 ,即點A是 BAC 的中點時， △ ABC 面積的最大值 . 因為 ∠ BAC=60176。= 33 .） （ 第 23 題 解答 圖 ） 【答案】 （ 1）過點 O 作 OD⊥ BC 于點 D, 連接 OA. 因為 BC=23，所以 CD=12BC= 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ =CDOC，即 sin DOC∠ = 32， 所以 ∠ DOC=60176。= 23 ， cos30176。 又 ∵ EG⊥ AC ∴△ CEG∽△ CAE ∴CECGACCE? ∴ 84105422 ????? CGACCE ∴ 21284 ??CE . 17. （ 2020 江西南昌， 21， 8 分）如圖，已知 ⊙ O 的半徑為 2，弦 BC 的長為 23，點 A 為弦 BC 所對優(yōu) 弧上任意一點（ B， C 兩點除外）。 AC=10 ∴ 由勾股定理，得 6810 2222 ????? ADACDC . ∴ BC=BD+DC=8+6=14 又 ∵∠ BGC=∠ ADC=90176。 ∴∠ BAD=45176?！?ADC=90176。=90176。(∠ EBC+∠ DCA)=180176。 ∴∠ EBC+∠ DCA=90176。 ⊙ O 的直徑等于 10， BD=8，求 CE 的長． 【答案】證明： ⑴ 連接 AD ∵∠ DAC=∠ DEC ∠ EBC=∠ DEC ∴∠ DAC=∠ EBC 又 ∵ AC 是 ⊙ O 的直徑 ∴∠ ADC=90176。 BE，即 b2=a（ 4a） . ∴ 2S1S3S22=4a（ 82a） 4b2=4a2+16a=4（ a2） 2+16. ∴當 a=2 時， b=2， 2S1S3S22有最大值 16. 14. （ 2020江蘇泰州， 26， 10 分）如圖，以點 O 為圓心的兩個同心圓中，矩形 ABCD的邊BC 為大圓的弦，邊 AD 與小圓相切于點 M， OM 的延長線與 BC 相交于點 N． （ 1）點 N 是線段 BC 的中點嗎？為什么？ （ 2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差） 為 6cm， AB=5cm， BC=10cm，求小圓的半徑． MODACBN 【答案】 解： (1)N 是 BC 的中點。； 當 PA的長度等于 ______時，△ PAD是等腰三角形； （ 2）如圖②，以 AB邊所在的直線為 x 軸， AD 邊所在的直線為 y 軸，建立 如圖所示的直角坐標系（點 A即為原點 O），把△ PAD、△ PAB、△ PBC的面積分別記為 S S P點坐標為（ a， b），試求 2S1S3S22的最大值，并求出此時 a、 b的值 . 【答案】 解：（ 1） 2； 2 2 或 558 . （ 2）如圖，過點 P分別作 PE⊥ AB， PF⊥ AD，垂足分別為 E、 F，延長 FP交 BC于點 G，則 PG⊥ BC. ∵ P 點坐標為（ a， b），∴ PE=b， PF=a， PG=4a. 在△ PAD、△ PAB 及△ PBC 中， S1=2a， S2=2b， S3=82a， ∵ AB 是直徑，∴∠ APB=90176。 . ∴△ DAC∽△ BOC. ∵∠ BCO=90176?！?BOD=120176。 . （ 3）∵∠ BCO=∠ A+∠ D，∴∠ BCO＞∠ A，∠ BCO＞∠ D. ∴要使△ DAC與△ BOC相似，只能∠ DCA=∠ BCO=90176?！唷?DAB=50176。 . 解法二：如圖，連接 OA. ∵ OA=OB， OA=OD，∴∠ BAO=∠ B，∠ DAO=∠ D， ∴∠ DAB=∠ BAO+∠ DAO=∠ B+∠ D. 又∵∠ B=30176?！?A=50176。∠ D=20176。 C是弦 AB上