【正文】 所以 AE＝ DC 又因為四邊形 ABCD是矩形 所以 DC＝ AB且 DC∥AB 所以 AE＝ AB且 ∠EAB ＝ 60176。后恰好 D點與 A點重合，得到△ PEA，連接 EB，問△ ABE是什么特殊三角形？請說明理由 . DC BAPE 【答案】 △ABE 是等邊三角形，理由如下： 因為 △PEA 是將 △PCD 繞 P點順時針旋轉 60176。 ⑵ 怎樣移動 Rt△ ABC，使得四邊形 ACFD為菱形 。 （ 4）DEFGABCDSS正方形正方形 = 1nn22? 40. （ 2020湖南湘潭市， 24， 8分）（本題滿分 8分） 兩個全等的直角三角形重疊放在直線 l 上，如圖⑴， AB=6cm， BC=8cm， ∠ ABC=90176。 .∴∠ KME+∠ DEF=180176?！?BK=AG,∴ KG=AB=CD,∴四邊形 CKGD 為平行四邊形。 ,∴ DE⊥ DG. （ 2）如圖 MFB CA DGEK (3)四邊形 CEFK為平行四邊形。又∵ CE=AG，∴△ DCE≌△ DAG,∴∠ EDC=∠ GDA,DE=∵∠ ADE+∠ EDC=90176?！?AC= AB21 ， ∵ DE 垂直平分 BC， ∴ BE=CE 又 ∵ AE=CE， ∴ CE= AB21 ，∴ AC=CE，∴四邊形 ACEF是菱形 ． 39. （ 2020河北， 23， 9分）如圖 12，四邊形 ABCD是正方形，點 E,K分別在 BC,AB上，點G在 BA的延長線上，且 CE=BK=AG. (1)求證：① DE=EG。時，四邊形 ACEF是菱形 ． 理由是： ∵ ∠ B=30176。 BC的垂直平分線 DE交 BC于 D，交 AB于 E， F在 DE上，且 AF=CE=AE． ⑴說明四邊形 ACEF是平行四邊形； ⑵當∠ B滿足什么條件時，四邊形 ACEF是菱形，并說明理由 ． 【答案】 （ 1）證明：由題意知∠ FDC =∠ DCA = 90176?！?E=36176。 , ∠ Q=144176。 .圖形②與圖形①恰好拼成一個菱形 (如圖 2).記作 AB的長度為 a,BM的長度為 b. (1)圖中①中∠ B=___度 ,圖中②中∠ E=____度 . (2)小明有兩種紙片各若干張 ,其中一種紙片的形狀及大小與圖形①相同 ,這咱紙片稱為“風箏一號”另一種紙片的形狀及大小與圖形②相同 ,這種紙片稱為“飛鏢一號” . ①小明僅有“ ,風箏一號”紙片拼成一個邊長為 b的正十邊形 ,需要這種紙片 ____張 。 37. (20201 江蘇鎮(zhèn)江 ,25,6 分 )已知 :如圖 1,圖形①滿足 :AD=AB,MD=MB, ∠ A=72176。∴△ ABG∽△ EAP，∴ AGEP = ABEA. 同理△ ACG∽△ FAQ，∴ AGFP = ACFA. ∵ AB= k AE， AC= k AF，∴ ABEA = ACFA = k，∴ AGEP = AGFP. ∴ EP=FQ. ∵∠ EHP=∠ FHQ，∴ Rt△ EPH≌ Rt△ FQH. ∴ HE=HF. 36. (20201江蘇鎮(zhèn)江 ,23,7分 )已知 :如圖 ,在梯形 ABCD中 AB∥ CD,BC=CD,AD⊥ BD,E為 AB中點 , 求證 :四邊形 BCDE是菱形 . 答案 :證明：∵ AD⊥ BD， ∴∠ ADB=90176。 .AG⊥ BC，∴∠ BAG+∠ ABG=90176?！?Rt△ ABG≌ Rt△ EAP. ∴ AG=EP. 同理 AG=FQ. ∴ EP=FQ. 拓展 延伸 結論： HE=HF. 理由：過點 E作 EP⊥ GA， FQ⊥ GA，垂足分別為 P、 Q. QPHAB CEFGNM ∵四 邊形 ABME是矩形，∴∠ BAE=90176。 .∵ AG⊥ BC，∴∠ BAG+∠ ABG=90176。AD（或 A′ D） ， 90 問題探究 結論： EP=FQ. 證明： ∵△ ABE是等腰三角形，∴ AB=AE，∠ BAE=90176。BAD CA BCDBCD A ( A 39。． 問題探究 如圖 3， △ ABC中， AG⊥ BC于 點 G， 以 A為直角頂點， 分別以 AB、 AC為 直角 邊 ， 向 △ ABC外作等腰 Rt△ ABE和等腰 Rt△ ACF， 過點 E、 F作射線 GA的垂線，垂足分別為 P、 Q. 試探究 EP與 FQ之間的數量關系，并證明你的結論 . 拓展 延伸 如圖 4， △ ABC 中， AG⊥ BC 于 點 G，分別以 AB、 AC 為一邊向 △ ABC 外 作矩形 ABME和矩形 ACNF， 射 線 GA交 EF于點 H. 若 AB= k AE， AC= k AF， 試探 究 HE與 HF之間 的數量關系，并說明理由 . 【答案】 情境觀察 圖 4 MNGFECBAH圖 3 AB CEFGPQ圖 1 圖 2 C 39。=180176。, ∴∠ ABG+∠ ABF=90176。 ． ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 1+∠ 3=45176。 45176。 ， 因此，點 G， B， F在 同一條直線上． ∵∠ EAF=45176。+90176。 得到 △ ABG，此時 AB與 AD重合，由旋轉可得： AB=AD,BG=DE, ∠ 1=∠ 2， ∠ ABG=∠ D=90176。 9 分 ∴ PB＝ AP， ∴當21?ABAP時，△ PFE∽△ BFP. 10分 34. （ 2020湖南永州 ， 25， 10分）探究問題： ⑴ 方法感悟： 如圖 ① ，在正方形 ABCD中，點 E， F分別為 DC， BC邊上的點，且滿足 ∠ EAF=45176。 8 分 ∴BFAPBFPB?， 9 分 又∵∠ DPF＝∠ PBF＝ 90176。 7 分 設 AD＝ AB＝ a，則 AP＝ PB＝ a21，∴ BF＝ BP 6 分 ∵∠ ADP＝∠ FPB，∠ A＝∠ PBF，∴△ ADP∽△ BPF 5 分 （ 3）方法一： 當21?ABAP時，△ PFE∽△ BFP. . ∴∠ ADP＝∠ EPB. 1 分 ∵∠ DPE＝ 90176。 得到線段 PE， PE交邊 BC于點 F，連接 BE， DF. （ 1）求證： ∠ ADP＝ ∠ EPB； （ 2）求 ∠ CBE的度數； （ 3）當ABAP的值等于多少時， △ PFD∽△ BFP？并說明理由 . 【答案】 （ 1）證明：∵四邊形 ABCD是正方形 ∴∠ A＝∠ PBC＝ 90176。＝ FCDF ∴ DF＝ FC? tan 60176。＝ 60176。 ∴∠ DCO ＝ 90176。 ∴∠ AFB=75176。 ∠ BAE=∠ ABE， ∴∠ DAE=∠ AFB． ∵ AD=CD=DE， ∴∠ DAE=∠ DEA． ∵∠ ADE=30176。． ∵ AD=BC，∠ ADE=∠ BCE， DE=CE， ∴△ ADE≌△ BCE． （ 2）∵△ ADE≌△ BCE， ∴ AE=BE， ∴∠ BAE=∠ ABE． ∵∠ BAE+∠ DAE=90176?！?CDE=∠ DCE=60176。 AD=BC． ∵△ CDE是等邊三角形， ∴∠ CDE=∠ DCE=60176。 ，∴△ ABC∽△ DAP，∴ AB BCDA AP? ，即 44m AP? ，∴ 16AP m? ． ∵ PQ∥ AC，∴∠ BPQ=∠ BAC，∵∠ B=∠ B，∴△ PBQ∽△ ABC， PB BQAB BC? ，即 16 4m BQmm? ? ，∴2164BQ m??． (3)由已知 PQ⊥ PD，所以只有當 DP=PQ 時，△ PQD為等腰三角形（如圖）， ∴∠ BPQ=∠ ADP，又∠ B=∠ A=90176。 ，∴∠ BPC=∠ ADP， 又∠ B=∠ A=90176。 ，∴∠ APD＋∠ BPC=90176。 ． 由（ 1）知四邊形 ABFC是平行四邊形， FEDCBA ∴證四邊形 ABFC是矩形． 20． 28. （ 2020四川樂山 20， 10分） 如圖， E、 F分別是矩形 ABCD的對角線 AC 和 BD上的點，且 AE=DF。 ， ∴∠ CFE +∠ BFE=90176。 CE． ∴ EF CEBE EF? ． 又∵ DE⊥ BC， ∴∠ CEF=∠ FEB=90176。 CE，求證四邊形 ABFC是矩形． ABDFCE 【答案】 （ 1）連接 BD． ∵ DE⊥ BC， EF=DE， ∴ BD=BF， CD=CF． ∵在梯形 ABCD中， AD//BC， AB=DC， ∴四邊形 ABCD是等腰梯形． ∴ BD=AC． ∴ AC=BF， AB=CF． ∴四邊形 ABFC是平行四邊形． （ 2）∵ DE2 =BE∠ FEN＋∠ MEF＝ 90176。 ∴∠ IEF＝∠ GEH，?????????????????（ 6分） ∴ Rt△ FEI≌ Rt△ GEH, ∴ EF＝ EG．?????????????????????（ 7分） (3)解：如圖，過點 E分別作 BC、 CD的垂線，垂足分別為 M、 N ， 則 ∠ MEN＝ 90176。?????????????（ 5分） ∵∠ GEH＋∠ HEF＝ 90176?！?DEF＋∠ BEF＝ 90176。 ， ∴∠ DCE＝∠ B＝ 60176。 ， ∴∠ ACB＝ 60176。 ，＝ 2CD，對角線 AC與 BD相交于點 O，線段 OA， OB的中點分別為點 E， F （ 1）求證： AC＝ AD； （ 2）若 ∠ B＝ 60176。＝ 90176。AEM ＋∠ AOE′＝ 30176。AEM ＝ 30176。AEM ＝ 60176。AEM ＋∠ 39。AEM ＝∠ 39。 ∴∠ AOM＝ 60176。FOE ＝∠ AOD＝∠ AOB＝ 90176。時，求證：△ AOE′為直角三角形 . A B C D E F (第 21 題 ) 【答案】（ 1） AE′＝ BF 證明：如圖 2， ∵在正方形 ABCD中， AC⊥ BD ∴∠ 39。FOE （如圖 2） . （ 1） 探究 AE′與 BF39。 ． ∴ 口 ABEC是矩形． 24. （ 2020江蘇南通， 26， 10分）（本體滿分 10分） 已知：如圖 1， O為正方形 ABCD的中心，分別延長 OA到點 F， OD到點 E，使 OF＝ 2OA，OE＝ 2OD，連結 EF，將△ FOE繞點 O逆時針旋轉α角得到 △ 39。 DE∥ AC交 BC的延長線于點 E．求證： DE=12 BE EDCBA 【答案】 證明： ∵ ABCD是菱形， ∠ ABC= 60176?！?PF=BF. ∴ PE+PF=OF+FB=OB= 2cos 452aa??. （ 2）∵四邊形 ABCD為正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PF⊥ BD，∴ PF//AC，同理 PE//BD. ∴四邊形 PFOE為矩形，故 PE=OF. 又∵∠ PBF=45176。時， PA⊥ x軸，這時點 P到 AB的距離最大為 a22 ，然后又逐漸減小到 2a ， ∵ x軸的正半軸、 y軸的正半軸都不包含原點 O ，∴點 P到 x軸的距離的取值范圍是 2a ＜ h≤ a22 ?！唷?MPA=∠ NPB，又 PA＝ PB，∴ △ PAM≌ △ PBN，∴ PM=PN，于是，點 P都在∠ AOB的平分線上； yOPDCxBANM （ 3） 2a ＜ h≤ a22 。在 Rt⊿ AOB中， OA＝ 22 AB＝ a22 ，在 Rt⊿ APB中， PA＝ 22 AB＝ a22 。 (2)求證：無論點 A在 x軸正半軸上、點 B在 y 軸正半軸上怎樣運動，點 P 都在∠ AOB的平分線上； （ 3）設點 P到 x軸的距離為 h，試確定 h的取值范圍，并說明理由． yOPDCxBA 【答案】 解：（ 1）當∠ BAO=45176。理由：∵ AE∥ CF，∴∠ EAO=∠ FCO，又∵ AO＝ CO，∠ AOE=∠ COF，∴△ AOE≌△ COF，∴ AE=CF，又 AE∥ CF，∴四邊形 AFCE為