【正文】 ∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP即∠PBC＝∠BPH又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC∴∠APB＝∠BPH（2）△PDH的周長(zhǎng)不。∠AH1C＝∠ACD1∴∠H1AC＝∠D1CM∵AC＝CD1，∠AGC＝∠CMD1＝90176?！唷螪1CK＝∠HAC∵AC＝CD1，∴△ACH≌△CD1M∴D1M＝CH同理可證D2N＝CH∴D1M＝D2N（2）①D1M＝D2N仍成立ABD2NCH2K1D1M圖2K2H1G證明：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，垂足為點(diǎn)G∵∠H1AC＋∠ACH1＋∠AH1C＝180176。∵∠AHK＋∠ACD1＝90176?！螦1EF＝∠AEF，∴∠A1EF＝∠A1AK∴tan∠A1EF＝tan∠A1AK＝ ＝ ＝ 30．（山東煙臺(tái)）（1）問(wèn)題探究如圖1，分別以△ABC的邊AC與邊BC為邊，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，過(guò)點(diǎn)C作直線KH交直線AB于點(diǎn)H，使∠AHK＝∠ACD1，作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分別為點(diǎn)M，N．試探究線段D1M與線段D2N的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（2）拓展延伸①如圖2，若將“問(wèn)題探究”中的正方形改為正三角形，過(guò)點(diǎn)C作直線K1H1，K2H2，分別交直線AB于點(diǎn)H1，H2，使∠AH1K1＝∠BH2K2＝∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分別為點(diǎn)M，N．D1M＝D2N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．②如圖3，若將①中的“正三角形”改為“正五邊形”，其他條件不變．D1M＝D2N是否仍成立？（要求：在圖3中補(bǔ)全圖形，注明字母，直接寫(xiě)出結(jié)論，不需證明）ABD2NCHKE1D1ME2圖1ABD2CD1圖3E2F2E1F1ABD2NCH2K1D1M圖2K2H1ABD2NCHKE1D1ME2圖1（1）D1M＝D2N證明：∵∠ACD1＝90176。CADBEFOA1GHKP即點(diǎn)F、AO、G在同一直線上∵圓心O是正方形ABCD的中心，∴AF＝CG設(shè)AF＝x，則A1F＝x，PG＝x∴FO＝x＋1，F(xiàn)H＝2－x在Rt△FOH中，F(xiàn)O 2＝FH 2＋OH 2∴( x＋1)2＝( 2－x )2＋2 2，解得x＝ ∴A1G＝2＋x＝ （2）過(guò)點(diǎn)A1作A1K⊥AB于點(diǎn)K則△FA1K∽△FOH，∴ ＝ ＝ 由（1）得FH＝ ，F(xiàn)A1＝ ，F(xiàn)O＝ ，代入上式，得FK＝ ，A1K＝ ，∴AK＝ ＋ ＝ 連接AA1，則AA1⊥EF，∴∠A1AK＋∠AFE＝90176。又∵∠EA1F＝∠EAF＝90176。AF＋ AE∴AE＝AN同理AF＝AM∴ ＝ ＝ 又∵∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE ＝ ＝ ，∴S△AMN ＝ S△AFE∴S四邊形MEFN ＝ S△AFE ＝20DBACFPFFEF28．（江蘇模擬）如圖，直角梯形紙片ABCD中，AD⊥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)F在射線AD上．將△AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P，若點(diǎn)P始終落在直角梯形ABCD內(nèi)部或邊上，求動(dòng)線段AE長(zhǎng)度的最大值．DBACFPFFEF解：當(dāng)F點(diǎn)是BC延長(zhǎng)線與射線AD的交點(diǎn)時(shí)，AE長(zhǎng)取得最大值∵AD⊥AB，AB＝8，AD＝CD＝4∴BC＝CF＝4，AD＝DF＝4∴AB＝AF＝8，BF＝8，∵S△ABF ＝ ABAB＝ 810＝40∵∠ANE＝90176?！唷螮AG＝∠BAE＋∠BAG＝45176。－45176。BG＝DF∴△ABG≌△ADF∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF∵∠EAF＝45176?！唷螦NE＝90176?！螦MN＝∠BME∴△AMN∽△BME，∴ ＝ 又∵∠AMB＝∠NME，∴△ABM∽△NEMBCAFDENMG∴∠NEM＝∠ABM＝45176。②，得 ＝15，即15a 2－32ab＋16b 2＝0∴( 3a－4b)( 5a－4b)＝0，∴a＝ b或a＝ b∵b＜a，∴a＝ b，代入②，得b 2＝24∴a 2＝ b 2＝ 24＝ ∴S正方形ABHK ＝AB 2＝a 2＋b 2＝ ＋24＝ BCAFDENM27．（江蘇模擬）如圖，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45176?！唷?＝∠1＝90176。－∠AMC，∴Rt△MAC∽R(shí)t△ABC∴ ＝ 設(shè)BC＝a，AC＝b，得MC＝ ∴S四邊形AMDE ＝S正方形ACDE － S△ACM ＝b 2－ b∴點(diǎn)H在線段FG上（2）解：∵∠ACM＝∠ACB＝90176。－∠CBH，BG＝BC∴△HBG≌△ABC，∴HG＝AC，∠BGH＝∠BCA＝90176。26．（江蘇模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90176。時(shí)的t值（若求∠PEQ＝90176。或∠PEQ＝90176。、AE＝4cm，得 t2＝3，解得t＝6∴當(dāng)t為6s時(shí)，△MAE的面積為3cm2（2）∵AD∥BC，∴S梯形PCDM ＝ ( 12－t＋12＋ t )6＝72－ t∵S△MQD ＝ ( 12＋ t ) t＝ t 2＋3t，S△PCQ ＝ ( 12－t )( 12－t ) ＝ ABDQCPEM∴S＝S梯形PCDM － S△MQD － S△PCQ ＝－ t 2＋ t＋36∵S＝－ t 2＋ t＋36＝－ ( t－2)2＋ ∴當(dāng)t＝2時(shí)，△MPQ的面積最大，最大值為 （3）存在，t的值有兩個(gè)∵△PQE的外心恰好在它的一邊上，∴△PQE為直角三角形∵∠PQE＜∠CQE＜90176。AH＝GH＝ AG＝在Rt△ADH中，AH 2＋DH 2＝AD 2∴( )2＋( DG＋ )2＝4 2解得DG＝－（舍去負(fù)值）即DP的長(zhǎng)為 －24．（江蘇模擬）如圖，梯形的紙片ABCD中，AD∥BC，AD＝4cm，BC＝8cm，高為8cm．點(diǎn)E是腰AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交DC于點(diǎn)F，設(shè)EF＝x cm．（1）若梯形AEFD的高為h1，梯形EBCF的高為h2，則 ＝___________（用含x的式子表示）；（2）將梯形AEFD沿EF折疊，點(diǎn)A落在A1處，點(diǎn)D落在D1處，設(shè)梯形A1D1FE與梯形BCFE的重疊面積為S．①求S與x的關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；CBADEF②當(dāng)x為何值時(shí)，S最大，最大值是多少？CBADEFGH圖1解：（1）（2）①（ⅰ）當(dāng)4＜x ≤6時(shí)，折疊后如圖1所示由 ＝ ，即 ＝ ，得h1＝2x－8∴S＝ ( 4＋x )( 2x－8 )即S＝x 2－16（ⅱ）當(dāng)6＜x ＜8時(shí)，折疊后如圖2所示設(shè)EH、FG分別交BC于P、Q，連接AH分別交EF、BC于M、N，連接FH交BC于R∵AM＝h1＝2x－8，∴MN＝h2＝8－( 2x－8 )＝16－2x∴NH＝h1－h(huán)2＝( 2x－8 )－( 16－2x )＝4x－24CBADEFGH圖2PRQMN∵PR∥EF，∴△HPR∽△HEF∴ ＝ ，即 ＝ ，∴PR＝ 同理可求：RQ＝ ∴PQ＝ ＝2x－8∴S＝ ( 2x－8＋x )( 16－2x )即S＝－3x 2＋32x－64綜合（?。áⅲ┑茫篠＝ ②對(duì)于函數(shù)S＝x 2－16（4＜x ≤6），當(dāng)x＝6時(shí)，S有最大值20對(duì)于函數(shù)S＝－3x 2＋32x－64（6＜x ＜8）當(dāng)x ＞－ ＝ 時(shí)，S隨x的增大而減小，當(dāng)x＝6時(shí)，S有最大值20綜上得：當(dāng)x＝6時(shí)，S有最大值2025．（江蘇模擬）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B＝30176?！帱c(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：2 π＝ π（3）假設(shè)存在某時(shí)刻使得BF＝BC，則BF＝BACBAEGDF圖5(P)H又EF＝EA，則BE＝BE，∴△BEF≌△BEA∴∠BEF＝∠BEA，∴∠FEP＝∠AEP＝45176。∴∠BEA＝90176。時(shí)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連接MECBAEGO(P)DF圖4M則AE＝AM＝BM＝ AB，∴△AEM是等邊三角形∴∠EMA＝60176?！郍H＝ AG＝1，AH＝ AG＝在Rt△ADH中，AH 2＋DH 2＝AD 2∴( )2＋( DG＋1)2＝4 2CBAEGODF圖3P12解得DG＝－1（舍去負(fù)值）（2）由（1）知△DAG≌△BAE，∴∠ADG＝∠ABE如圖3，∵∠1＝∠2，∴∠BPD＝∠BAD＝90176。過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DG，交DG延長(zhǎng)線于H，如圖2則∠AGH＝60176?！唷螪AG＝∠BAE＝90176。時(shí)，求DG的長(zhǎng)；（2）設(shè)BE的延長(zhǎng)線交直線DG于點(diǎn)P，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。≤α≤60176。∴∠ADP＝∠EPB（2）不能設(shè)AP＝x（0＜x ＜4）∵∠A＝∠PBF＝90176。∵∠DPE＝90176。得到線段PE，PE交邊BC于點(diǎn)F，連接BE、DF．（1）求證：∠ADP＝∠EPB；（2）若正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F能否為邊BC的中點(diǎn)？如果能，請(qǐng)你求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．APCPFPBPEPDP（3）當(dāng) 的值等于多少時(shí)，△PFD∽△BFP？并說(shuō)明理由．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90176?！唷螼MD＝∠ODM＝45176。得到矩形EFGH（點(diǎn)E與O重合）．（1）若GH交y軸于點(diǎn)M，則∠FOM＝__________176。（3）經(jīng)探究得：當(dāng)0＜x ≤2－ 或2＋≤x ＜4時(shí)，點(diǎn)E在邊AD上當(dāng)2－＜x ＜2＋ 時(shí)，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上①當(dāng)0＜x ≤2－ 或2＋≤x ＜4時(shí)假設(shè)存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)D關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)D′ 落在邊AB上設(shè)直線DD′ 交直線PE于點(diǎn)H，連接PD′、D′M，延長(zhǎng)PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FBPADCEMD′FH∵D與D′ 關(guān)于直線PE對(duì)稱，∴PE⊥DD′，PD＝PD′∵PF⊥PE，∴DD′∥PF又∵AB∥CD，∴四邊形DD′FP為平行四邊形∴PD＝PD′＝D′F＝4－x.∵M(jìn)為邊BC的中點(diǎn)，∴D′M⊥PF∴∠CBA＝90176。cos45176?！唷螲CK＝45176?！逜D＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝2設(shè)PB＝x，則AP＝2－x在Rt△DPC中，PD 2＋PC 2＝DC 2，即x 2＋3 2＋( 2－x )2＋1＝8化簡(jiǎn)得x 2－2x＋3＝0，∵△＝( －2 )2－413＝－8＜0，∴方程無(wú)解∴對(duì)角線PQ與DC不可能相等問(wèn)題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G則G是DC的中點(diǎn)BPADCQ圖（2）GH過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH∵PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ，∴∠ADP＝∠QCH又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，∴AD＝HC∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為4BPADCQ圖（3）GHE問(wèn)題3：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G∵PE∥CQ，PD＝DE，∴ ＝ ＝ ∴G是DC上一定點(diǎn)作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H同理可證∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ∴ ＝ ＝ ，∴CH＝2，∴BH＝BC＋CH＝3＋2＝5∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為5問(wèn)題4：存在最小值，最小值為 ( n＋4 )提示：如圖4，設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴ ＝ ＝ ∴G是AB上一定點(diǎn)作QH∥DC，交CB的延長(zhǎng)線于H，作CK⊥CD，交QH的延長(zhǎng)線于K∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ADP＝∠BHQBPADCQ圖（4）EGMHK∠PAD＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90176。在BC上取點(diǎn)P2，使P2H＝A′G＝ 則△A′P2H≌△AA′G，∴A′P2＝A′A＝ ＝BP2＝ － ＝1＝AB，∴AP2＝∴AP2＝A′P2＝A′A，∴△AP2A′ 是等邊三角形∴∠AP2A′＝60176。P1H＝－ － ＝ ＋ A′H＝－ ＝ ∴tan∠A′P1H＝ ＝，∴∠A′P1H＝60176?！唷螦′OD＝∠BOC′＝30176。掃過(guò)的面積是圖中陰影部分的面積∵AB＝1，A′D′＝BC＝，DBAOCC′D′A′B′EFOG∴A′G＝DG＝BE＝C′E＝ ∵AB＝1，AD＝∴∠ADB＝∠DBC＝30176。則滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)？請(qǐng)你選擇一個(gè)點(diǎn)P求△APA′ 的面積．解：（1）易知點(diǎn)A的路徑是以O(shè)為圓心、以O(shè)A長(zhǎng)為半徑、圓心角為90176?！嘀荒蹺F＝ED，此時(shí)△OEF≌△CDE∴OE＝CD＝6，CE＝8＋6，∴OF＝CE＝8＋6∴F（－8－3，－8－3）綜上所述，存在4個(gè)時(shí)刻使得△DEF成為等腰三角形，點(diǎn)