【正文】 ∠ AED +∠ OED＝ 90176。 ∠ AED=∠ CEF, ∠ ACB＝ 90176。 D 是 AB 邊上的一點，以 BD 為直徑的 ⊙ 0 與邊 AC 相切于點 E，連結(jié) DE 并延長，與 BC 的延長線交于點 F . ( 1 ）求證： BD = BF 。且∠ ADE＝ ∠ DAC ∴ ∠ PDF＝ ∠ PFD ∴ PD＝ PF ∴ PA＝ PF 即 P 是線段 AF 的中點 (3）∵∠ DAF ＝ ∠ DBA，∠ ADB＝ ∠ FDA＝ 90176。 ∴ ∠ ADE +∠ EDB＝ ∠ ABD +∠ EDB＝ 90176。 ∴ PC ⊥ CD，又∵ DO⊥ OP，∴ Rt△ PDO 和 Rt△ PDC 是同以 PD 為斜邊的直角三角形，∴ PD 上的中點到點 O、 P、 C、 D 四點的距離相等， ∴點 O、 P、 C、 D 在以 DP 為直徑的同一個圓上； 由上可知，經(jīng)過點 O、 P、 C、 D 的圓心 1O 是 DP 的中點，圓心 )2,2(1 ODOPO， 由 (1)知： Rt△ AOC∽ Rt△ ABO，∴ABOAOAAC?，求得： AB＝a25，在 Rt△ ABO 中， a aOAABOB222 255 ???? ， OD＝a aOB 2255212?? ，252 ?? OAOP ∴ )4255,45( 21 a aO ?，點 1O 在函數(shù) xky? 的圖象上， ∴ 544255 2 ka a ?? ， ∴ a ak 162525 2?? ． 21. （ 2020 廣東肇慶， 24， 10 分） 已知：如圖， ?ABC 內(nèi)接于⊙ O， AB 為直徑，∠ CBA的平分線交 AC 于點 F，交 ⊙ O 于點 D， DE⊥ AB 于點 E，且交 AC 于點 P，連結(jié) AD． （ 1）求證：∠ DAC ＝∠ DBA； （ 2）求證： P 是線段 AF 的中點； （ 3）若⊙ O 的半徑為 5， AF ＝ 215 ，求 tan∠ ABF 的值 ． 【答案】 (1）∵ BD 平分∠ CBA， ∴ ∠ CBD＝ ∠ DBA ∵∠ DAC 與∠ CBD 都是弧 CD 所對的圓周角， ∴ ∠ DAC＝∠ CBD ∴ ∠ DAC ＝∠ DBA (2）∵ AB 為直徑， ∴ ∠ ADB＝ 90176。 ∴ OBAOCOAC? ，即 OB543? ， ∴ 320?OB ， ∴ )320,0(B 解法二：連接 OC，因為 OA 是⊙ P 的直徑， ∴∠ ACO＝ 90176。所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 18. （ 2020 上海， 21， 10 分）如圖，點 C、 D 分別在扇形 AOB 的半徑 OA、 OB 的延長線上，且 OA＝ 3， AC＝ 2， CD 平行于 AB，并與弧 AB 相交于點 M、 N． （ 1）求線段 OD 的長； （ 2）若 1tan 2C?? ，求弦 MN 的長． OA BDC M N 【答案】 （ 1）∵ CD∥ AB， ∴∠ OAB=∠ C，∠ OBA=∠ D． ∵ OA=OB， ∴∠ OAB=∠ OBA． ∴∠ C=∠ D． ∴ OC=OD． ∵ OA=3， AC=2， ∴ OC=5． ∴ OD=5． （ 2）過點 O 作 OE⊥ CD， E 為垂足，連接 OM． 在 Rt△ OCE 中， OC=5， 1tan 2C?? ，設 OE=x，則 CE=2x．由勾股定理得2 2 2(2 ) 5xx??，解得 x1= 5 ， x2= 5? （舍去）．∴ OE= 5 ． 在 Rt△ OME 中， OM=OA=3， ME= 22OM OE? = 223 ( 5)? =2。. 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176。= 23 ， tan30176。 ⑴ 求 ∠ BAC 的度數(shù)； ⑵ 求 △ ABC 面積的最大值 . （參考數(shù)據(jù)： sin60176。 ∠ BCG=∠ ACD ∴△ BCG∽△ ACD ∴ACBCDCCG? ∴10146 ?CG ∴542?CG 連接 AE， ∵ AC 是直徑 ∴∠ AEC=90176。 ∴ BD=AD ∵ BD=8 ∴ AD=8 又 ∵∠ ADC=90176?！?ABC=45176。 ∴ AC⊥ BH ⑵∵∠ BDA=180176。90176。 ∴∠ BGC=180176。 ∴∠ DCA+∠ DAC=90176。原因：∵ AD 與小圓相切于點 M， ∴ OM⊥ AD，又 AD∥ BC，∴ ON⊥ BC，∴在大圓 O 中，由垂徑定理可得 N 是 BC 的中點． (2)連接 OB，設小圓半徑為 r，則有 ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm, 在 Rt△ OBN 中，由勾股定理得 OB2=BN2+ON2 ，即：（ r+6） 2=(r+5)2+52 ，解得 r=7cm. ∴ 小圓的半徑為 7cm. 15. （ 2020 四川成都， 27,10 分） 已知：如圖，以矩形 ABCD 的對角線 AC 的 中點 O 為圓心， OA 長為半徑作 ⊙ 0， ⊙ O 經(jīng)過 B、 D 兩點，過點 B 作 BK⊥ AC，垂足為 K．過 D 作DH∥ KB， DH 分別與 AC、 AB、⊙ O 及 CB 的延 長線相交于點E、 F、 G、 H． (1)求證： AE=CK； EFGAOH B CDK (2)如果 AB=a ， AD=13a (a 為大于零的常數(shù) )， 求 BK 的長 ； (3)若 F 是 EG 的中點，且 DE=6，求 ⊙ O 的半徑 和 GH 的長． 【答案】 解：（ 1）∵ DH∥ KB， BK⊥ AC，∴ DE⊥ AC， ∵四邊形 ABCD 是矩形，∴ AD∥ BC， AD=BC，∴∠ EAD=∠ KCB， ∴ Rt△ ADE≌ Rt△ CBK，∴ AE=CK. （ 2）在 Rt△ ABC 中， AB=a ， AD=BC=13a ，∴22 BCABAC ?? = 22 )31( aa ? = 310a ， ∵ S△ ABC=21 AB BC=21 AC BK，∴ BK= ACBCAB? =31031aaa?= a1010 . （ 3）連線 OG，∵ AC⊥ DG， AC 是⊙ O 的直接， DE=6，∴DE=EG=6，又∵ EF=FG，∴ EF=3；∵ Rt△ ADE≌ Rt△ CBK，∴DE=BK=6， AE=CK， 在△ ABK 中， EF=3， BK=6， EF∥ BK，∴ EF 是△ ABK 的中位線，∴ AF=BF，AE=EK=KC；在 Rt△ OEG 中，設 OG=r ，則 OE= rrAC 3126161 ??? ， EG=6，222 OGEGOE ?? ，∴ 222 6)31( rr ?? ，∴ 229?r . 在 Rt△ ADF≌ Rt△ BHF 中， AF=BF， ∵ AD=BC， BF∥ CD，∴ HF=DF， ∵ FG=EF，∴ HFFG=DFEF，∴ HG=DE=6. 16. （ 2020 四川宜賓 ,23， 10 分）已知：在 △ ABC 中，以 AC 邊為直徑的 ⊙ O 交 BC 于點 D，在劣弧 ⌒ AD上到一點 E 使 ∠ EBC=∠ DEC，延長 BE 依次交 AC 于 G，交 ⊙ O 于 H． （ 1）求證： AC⊥ BH； EFGAOH B CDK （ 2）若 ∠ ABC=45176。 . ∴ PE2=AE即 OC⊥ AB，∴ AC=21AB= 3 . 13. （ 2020 江蘇蘇州， 27,8 分） 已知四邊形 ABCD 是邊長為 4 的正 方形，以 AB 為直徑在正方形內(nèi)作半圓， P 是半圓上的動點（不與點 A、 B 重合），連接 PA、 PB、 PC、 PD. （ 1）如圖①，當 PA 的長度等于 ______時，∠ PAB=60176?！唷?DAC=60176。 . 此時，∠ BOC=60176。 ∴∠ BOD=2∠ DAB=100176。 ∠ D=20176。 ∴∠ BOD=2∠ A=100176。 ∴ 2∠ A=∠ B+∠ A+∠ D=∠ A+50176。時，求∠ BOD 的度數(shù)； （ 3）當 AC 的長度為多少時，以點 A、 C、 D 為頂點的三角形與以 B、 C、 O 為頂點的三角形相似？請寫出解答過程 . 【答案 】 解：（ 1） 2 3 . （ 2）解法一：∵∠ BOD 是△ BOC 的外角，∠ BCO 是△ ACD 的外角， ∴∠ BOD=∠ B+∠ BCO，∠ BCO=∠ A+∠ D. ∴∠ BOD=∠ B+∠ A+∠ D. 又∵∠ BOD=2∠ A，∠ B=30176。BC C D BD AC BD? ? ? ? 在 Rt△ ABD 中， 2 2 2AB AD BD?? ∴ ? ?2 2 2 2 2 243A B A C B D A C B D A C? ? ? ? ? ∴ 2 2 23AB BC AC?? 12. （ 2020 江蘇蘇州， 26,8 分） 如圖，已知 AB 是⊙ O 的弦， OB=2，∠ B=30176。 又 PC 是 1O 的切線，則∠ ACP=90176。. （ 2）因為 △ ABC 中的邊 BC 的長不變，所以底邊上的高最大時， △ ABC 面積的最大值 ,即點 A 是 BAC 的中點時， △ ABC 面積的最大值 . 因為 ∠ BAC=60176。= 33 .） 【答案】 （ 1）過點 O 作 OD⊥ BC 于點 D, 連接 OA. 因為 BC=23，所以 CD= 12BC= 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ = CDOC，即 sin DOC∠ = 32， 所以 ∠ DOC=60176。= 23 ， cos30176。－∠ OAB， ∠ OEF=∠ DEA， 得 △ OEF∽ △ DEA， ∴ AEDE=EFOE，即 48=EF6 ， ∴ EF=3； (3)設 OE=x， ①當交點 E 在 O， C之間時，由以點 E、 C、 F 為頂點的三角形與△ AOB相似， 有∠ ECF=∠ BOA 或∠ ECF=∠ OAB，當∠ ECF=∠ BOA 時，此時△ OCF為等腰三角形， 點 E 為 OC 的中點，即 OE=52， ∴ E1(52， 0)； 當∠ ECF=∠ OAB 時，有 CE=5－ x， AE=10－ x， ∴ CF//AB，有 CF=12AB， ∵ △ ECF∽ △ EAD， FEDCBAO xy ∴ CEAE=CFAD，即 5－ x 10－ x=14， 解得 x=103 ， ∴ E2(103 ， 0)； ②當交點 E 在 C 的右側(cè)時， ∵∠ ECF∠ BOA ∴要使 △ ECF 與 △ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD， ∴∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ BEA=∠ ECF， ∵ CF//BE，∴ CFBE=OCOE， ∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴ △ CEF∽ △ AED， ∴ CFAD=CEAE， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， 即 52x= x－ 5 10－ x， 解得 x1=5+5 174 ， x2=5－ 5 174 0（舍去）， ∴ E3(5+5 174 ， 0)； ③當交點 E 在 O 的左側(cè)時， ∵∠ BOA=∠ EOF∠ ECF ∴要使 △ ECF 與 △ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE，得 BE=12AD=AB， ∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ ECF=∠ BEA， ∴ CF//BE， ∴ CFBE=OCOE， 又∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴ △ CEF∽ △ AED， ∴ CEAE=CFAD， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， ∴ 52x= x+5 10+x， 解得 x1=－ 5+5 174 ， x2=－ 5－ 5 174 0（舍去）， ∵點 E 在 x 軸負半軸上，∴ E4(5－ 5 174 ， 0)， 綜上所述：存在以點 E、 C、 F為頂點的三角形與 △ AOB相似，此時點 E坐標為： ∴ E1(