【正文】 52， 0)、 E2(103 ， 0)、 E3(5+5 174 ， 0)、 E4(5－ 5 174 ， 0). 10． （ 2020 江西， 21， 8 分）如圖，已知 ⊙ O 的半徑為 2，弦 BC 的長為 23，點 A 為弦 BC 所對優(yōu)弧 上任意一點（ B， C 兩點除外）。 ∴ ⌒AB的長 =60π 5180 =5π3 ； （ 2）連結(jié) OD， ∵ OA 是⊙ C 的直徑，∴∠ OBA=90176。時，求弧 AB 的長； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時，求線段 EF 的長； （ 3）在點 B運動過程中，是否存在以點 E、 C、 F為頂點的三角形與 △ AOB相似，若存在，請求出此時點 E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . FEDCBAO xy 【解】 (1)連結(jié) BC， ∵ A(10， 0)，∴ OA=10， CA=5， ∵∠ AOB=30176。－∠ ACD1 所以仍有 △ BCD1≌△ ACE1， 所以 △ ACE1是由 △ BCD1 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 90176。 ∴ △ BCD≌△ ACE ∴ AE=BD，∠ DBE=∠ EAC ∴∠ DBE+∠ BEA=90176。 ∠ ABC=45176。 =180176。 ∴∠ BCE=90176。）后，記為 △ D1CE1（圖 8），若 M1是線段 BE1 的中點， N1 是線段 AD1 的中點， M1N1= 2OM1 是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由． 【答案】（ 1）∵ AB 為⊙ O 直徑 ∴∠ ACB=90176。等腰直角三角形 DCE 中 ∠ DCE 是直角，點 D 在線段 AC 上． （ 1）證明： B、 C、 E 三點共線； （ 2）若 M 是線段 BE 的中點， N 是線段 AD 的中點，證明： MN= 2OM； （ 3）將 △ DCE 繞點 C 逆時針旋轉(zhuǎn) α（ 0176。 或 120176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ ABC＝ 60176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 60176。 在 Rt? ABC 中， AC2＋ BC2＝ AB2 在 Rt? ADB 中， AD2＋ BD2＝ AB2 ∵點 D 是半圓 ⌒ABD的中點 ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ∴ AD＝ BD ∴ AB2＝ AD2＋ BD2＝ 2AD2 ∴ AC2＋ CB2＝ 2AD2 又∵ CB＝ CE， AE＝ AD[來源 :Z+xx+] ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 ∴ ? ACE 是奇異三角形 ○ 2 由 ○ 1 可得 ? ACE 是奇異三角形 ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 當(dāng) ? ACE 是直角三角形時 由（ 2）可得 AC： AE： CE＝ 1： 2： 3或 AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 （Ⅰ）當(dāng) AC： AE： CE＝ 1： 2： 3時 AC： CE＝ 1： 3即 AC： CB＝ 1： 3 ∵∠ ACB＝ 90176。OP＝ OF2＝ r2. 6. （ 2020 寧波市， 25， 10 分）閱讀下面的情境對話，然后解答問題 （ 1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？ （ 2）在 Rt? ABC 中， ∠ ACB＝ 90176。. ∵ CD⊥ AB，∴∠ E＋∠ D＝ 90176。OP＝ OF2＝ r2. A B C D E F P . O G （圖 1） . A B C D E . O G （圖 2） （ 2）解：（ 1）中的結(jié)論成立 . 理由：如圖 2，依題意畫出圖形，連接 FO 并延長交 ⊙ O于 M，連接 CM. ∵ FM 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FCM＝ 90176。. ∵ CD⊥ AB，∴∠ P＋∠ C＝ 90176。OP＝ r2 （ 2）當(dāng)點 E 在 AB（或 BA）的延長線上時，以如圖 2 點 E 的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（ 1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由 . 【答案】 （ 1）證明：連接 FO 并延長交 ⊙ O 于 Q，連接 DQ. ∵ FQ 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FDQ＝ 90176。 3 分 （ 2）答： B ， E ， C 三點在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . ] 【答案】（ 1）證明：∵ AD 為直徑， AD BC? ， ∴ BD CD? .∴ BD CD? . O B D F C E A x y ③當(dāng)交點 E 在點 O 的左側(cè)時， ∵ ∠ BOA=∠ EOF＞ ∠ ECF . ∴要使△ ECF 與△ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO 連結(jié) BE，得 BE= AD21=AB， ∠ BEA=∠ BAO ∴ ∠ ECF=∠ BEA, ∴ CF∥ BE, ∴ OEOCBECF? , 又∵ ∠ ECF=∠ BAO, ∠ FEC=∠ DEA=Rt∠ ， ∴△ CEF∽△ AED, ∴ ADCFAECE? ， 而 AD=2BE, ∴ 2OC CEOE AE? , ∴ 5 +52 10+xxx? , 解得 4 17551 ???x, 4 17552 ???x＜ 0（舍去） , ∵點 E 在 x 軸負半軸上 , ∴ E4（ 4 1755? ， 0） , 綜上所述：存在以點 E、 C、 F 為頂點的三角形與△ AOB 相似 ,此時點 E 坐標(biāo)為： 1E （ 25 ， 0）、 2E （ 310 ， 0）、 3E （ 4 1755? ， 0）、 4E （ 4 1755? ， 0） ． ??4分 3. （ 2020 山東德州 22,10 分） ● 觀察計算 當(dāng) 5a? ， 3b? 時， 2ab? 與 ab 的大小關(guān)系是 _________________． 當(dāng) 4a? ， 4b? 時， 2ab? 與 ab 的大小關(guān)系是 _________________． ● 探究證明 如圖所示， ABC? 為圓 O 的 內(nèi)接三角形， AB 為直徑，過 C 作 CD AB? 于 D，設(shè) AD a? ，BD=b． （ 1）分別用 ,ab表示線段 OC， CD； （ 2）探求 OC 與 CD 表達式之間存在的關(guān)系 （用含 a， b 的式子表示） ． ● 歸納結(jié)論 根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出 2ab? 與 ab 的大小關(guān)系是：_________________________． ● 實踐應(yīng)用 A B C O D O B D F C E A x y 要制作面積為 1 平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值 ． 【答案】 ● 觀察計算 :2ab? ab ， 2ab?= ab . ??????? 2 分 ● 探 究證明： （ 1） 2AB AD BD OC? ? ?， ∴2abOC ????????? 3 分 AB 為⊙ O 直徑 , ∴ 90ACB? ? ? . 90A A C D? ? ? ? ?， 90ACD BCD? ? ? ? ?， ∴∠ A=∠ BCD. ∴△ ACD ∽△ CBD . ??????? 4 分 ∴ AD CDCD BD? . 即 2C D AD BD ab? ? ?, ∴ CD ab? . ??????? 5 分 （ 2）當(dāng) ab? 時 ,OC CD? , 2ab? = ab ； ab? 時 ,OC CD? , 2ab? ab ．??????? 6 分 ● 結(jié)論歸納 : 2ab? ? ab ． ?????? 7 分 ● 實踐應(yīng)用 設(shè)長方形一邊長為 x 米 ,則另一邊長為 1x 米 ,設(shè)鏡框周長為 l 米 ， 則 12( )lxx?? ≥ 144x x?? ． ????? 9 分 A B C O D 當(dāng) 1xx?,即 1x? （ 米 ）時 ,鏡框周長最?。? 此時四邊形為正方形時 ,周長最小為 4 米 . ?????? 10 分 4. （ 2020 山東濟寧， 19， 6 分） 如圖， AD 為 ABC? 外接圓的直徑， AD BC? ，垂足為點 F ， ABC? 的平分線交 AD 于點 E ，連接 BD ， CD .[來源 :學(xué) +科 +網(wǎng) ][來源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] (1) 求證： BD CD? ； (2) 請判斷 B ， E ， C 三點是否在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上？并說明理由 .[來源 :Z。 ∠ OAB， ∠ OEF=∠ DEA， 得△ OEF∽△ DEA, ∴OEEFDEAE?,即684 EF?，∴ EF=3；?? 4分 （ 3）設(shè) OE=x， ①當(dāng)交點 E 在 O， C 之間時，由 以點 E、 C、 F 為頂點的三角形與 △ AOB 相似 ，有 ∠ ECF=∠ BOA 或 ∠ ECF=∠ OAB，當(dāng) ∠ ECF=∠ BOA 時， 此時△ OCF 為等腰三角形，點 E 為 OC 中點，即 OE=25 ， ∴ E1（ 25 ， 0） ； 當(dāng) ∠ ECF=∠ OAB 時， 有 CE=5x, AE=10x， ∴ CF∥ AB,有 CF=12AB , ∵△ ECF∽△ EAD, ∴ ADCFAECE? ,即 5110 4xx? ?? ,解得： 310?x , ∴ E2（ 310 ， 0） 。 ?? 4 分 （ 2） 連結(jié) OD, ∵ OA 是 ⊙ C 直徑 , ∴ ∠ OBA=90176。,[來源 :學(xué)科網(wǎng) ] ∴ ∠ ACB=2∠ AOB=60176。 29. 30. 三、解答題 1. （ 2020 浙江金華， 21， 8 分） 如圖，射線 PG 平分 ∠ EPF， O 為射線 PG 上一點，以 O為圓心， 10 為半徑作 ⊙ O，分別與 ∠ EPF 兩邊相交于 A、 B 和 C、 D，連結(jié) OA，此時有OA∥ PE. （ 1）求證： AP＝ AO； （ 2）若弦 AB＝ 12，求 tan∠ OPB 的值； （ 3）若以圖中已標(biāo)明的點（即 P、 A、 B、 C、 D、 O）構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個點為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個點為 或 或 . GFEOABDCP 證明：（ 1） ∵ PG 平分 ∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO ， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA ， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； ?? 2 分 解：（ 2） 過點 O 作 OH⊥ AB 于點 H，則 AH=HB=12AB， ?? 1 分 ∵ tan∠ OPB= 12OHPH?，∴ PH=2OH， ?? 1 分 設(shè) OH=x ，則 PH=2x ， 由（ 1）可知 PA=OA= 10 ，∴ AH=PH－ PA=2x － 10， ∵ 2 2 2AH O H O A??， ∴ 2 2 2(2 10) 10xx? ? ?， ?? 1 分 解得 1 0x? （不合題意，舍去）， 2 8x? ， ∴ AH=6， ∴ AB=2AH=12； ?? 1 分 （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B.?? 2 分 (寫對 1 個、2 個、 3 個得 1 分，寫對 4 個得 2 分 ) 2.（ 2020 浙江金華， 24， 12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A（ 10， 0），以 OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓 C，點 B 是該半圓周上的一動點，連結(jié) OB、 AB，并延長 AB至點 D，使 DB＝ AB，過點 D 作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 OB 于點 E、 F，點 E 為垂足，連結(jié) CF. （ 1）當(dāng) ∠ AOB＝ 30176。． 圖 7AODBC 【答案】 27 28. （ 2020 湖北荊州， 12， 4 分）如圖，⊙ O 是△ ABC 的外接圓， CD 是直徑，∠ B＝40176。則∠ FCD 的度數(shù)為 ． 【答案】 20 24. （ 2020 湖南永州 ， 8， 3 分） 如圖，在 ⊙ O 中，直徑 CD 垂直弦 AB 于點 E，連接OB,CB，已知 ⊙ O 的半徑為 2， AB= 32 ,則 ∠ BCD=________度． 【答案】 30 25. (20201 江蘇鎮(zhèn)江 ,15,2 分 )如圖 ,DE 是⊙ O的直徑 ,弦 AB⊥ DE,垂足為 C,若 AB=6,CE=1,則 OC=_____,CD=_____. 答案： 4， 9 （ 第 8 題 ） EOC