【正文】 任意一點（不與點 A、 B重合），連接 CO并延長 CO交⊙ O于點 D，連接 AD. （ 1）弦長 AB=________（結果保留根號）； （ 2）當∠ D=20176。 ∴∠ ACP=∠ D 又∠ PAC=∠ BAD， ∴△ APC∽△ BAD 又 P 是 AB 的中點 ∴ 12AC APAD AB?? ∴ AC=CD ∴在 Rt△ BCD 中， 2 2 2 2178。所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 11. （ 2020湖南常德， 25， 10分）已知 △ ABC，分別以 AC 和 BC 為直徑作半圓 1O 、 2,O P是 AB 的中點 . （ 1）如圖 8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,ACBC 上分別取點 E、 F，使12,AO E BO F? ? ? 則有結論① 12,PO E FO P? ②四邊形 12POCO 是菱形 .請給出結論②的證明； （ 2）如圖 9，若（ 1）中△ ABC 是任意三角形，其它條件不變，則（ 1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請給出證明； （ 3）如圖 10，若 PC 是 1O 的切線，求證： 2 2 23AB BC AC?? 【答案】 （ 1） 證明： ∵ BC 是⊙ O2直徑，則 O2是 BC 的中點 又 P 是 AB 的中點 . ∴ P O2是 △ ABC 的中位線 ∴ P O2 =12 AC 又 AC 是⊙ O1直徑 ∴ P O2= O1C=12 AC 同理 P O1= O2C =12 BC ∵ AC =BC ∴ P O2= O1C=P O1= O2C ∴四邊形 12POCO 是菱形 （ 2） 結論① 12,PO E FO P? 成立，結論②不成立 證明：在（ 1）中已證 PO2=12 AC，又 O1E=12 AC ∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2是 △ ABC 的中位線 ∴ PO2∥ AC ∴∠ PO2B=∠ ACB 同理∠ P O1A=∠ ACB ∴∠ PO2B=∠ P O1A ∵∠ AO1E =∠ BO2F 圖8O2O1PA DCEFB D ∴∠ P O1A+∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F 即 ∠ P O1E =∠ F O2 P ∴ （ 3） 證明：延長 AC 交⊙ O2于點 D，連接 BD. ∵ BC 是⊙ O2的直徑，則 ∠ D=90176。. 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176。= 23 ， tan30176。 ⑴ 求 ∠ BAC 的度數； ⑵ 求 △ ABC 面積的最大值 . （參考數據： sin60176。 又∵ AB= BD， ∴ OB 是 AD 的垂直平分線， ∴ OD= OA=10， 在 Rt△ ODE 中， OE= OD2－ DE2= 102－ 82=6， ∴ AE= AO－ OE =10－ 6=4， 由∠ AOB=∠ ADE= 90176。 ∴∠ ACB=2∠ AOB=60176。而得到的，故 BD1⊥ AE1 其余證明過程與（ 2）完 全相同． 9. （ 2020 浙江麗水， 24， 12 分） 如圖，在平面直角坐標系中，點 A(10， 0)，以 OA 為直徑在第一象限內作半圓 C，點 B 是該半圓周上的一動點，連結 OB、 AB，并延長 AB 至點 D，使 DB＝ AB，過點 D作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 OB于點 E、 F，點 E為垂足，連結 CF. （ 1）當 ∠ AOB＝ 30176。 ∴ BD⊥ AE ∵ O， N為中點 ∴ ON∥ BD， ON=12BD 同理 OM∥ AE， OM=12AE ∴ OM⊥ ON， OM=ON ∴ MN= 2OM （ 3）成立 證明：同（ 2）旋轉后∠ BCD1=∠ BCE1=90176。 A B C D1 E1 M1 O N1 圖 8 A B C D E M N O 圖 7 ∴ AB=AC ∵ DC=DE ∠ ACB=∠ ACE=90176。 ∴ B、 C、 E三點共線． （ 2） 連接 BD， AE， ON． ∵∠ ACB=90176。 +90176。 ∵△ DCE 為 等腰直角三角形 ∴∠ ACE=90176。＜ α＜ 90176。 7. （ 2020 浙江麗水， 21， 8 分） 如圖，射線 PG平分 ∠ EPF， O為射線 PG 上一點，以 O 為圓心， 10 為半徑作 ⊙ O，分別與 ∠ EPF 兩邊相交于 A、 B 和 C、 D，連結 OA，此時有 OA∥PE. （ 1）求證： AP＝ AO； （ 2）若弦 AB＝ 12，求 tan∠ OPB 的值； （ 3）若以圖中已標明的點 (即 P、 A、 B、 C、 D、 O)構造四邊形，則能構成菱形的四個點為 ，能構成等腰梯形的四個點為 或 或 . GFEOABDCP 【解】（ 1）∵ PG 平分∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； （ 2）過點 O 作 OH⊥ AB 于點 H，則 AH=HB， ∵ AB=12， ∴ AH=6， 由（ 1）可知 PA=OA=10， ∴ PH=PA+AH=16， OH= 102－ 62=8， ∴ tan∠ OPB=OHPH=12； （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B. 8. （ 2020 廣東廣州市， 25， 14 分） 如圖 7， ⊙ O 中 AB 是直徑， C 是 ⊙ O 上一點， ∠ ABC=45176。 ∴ ∠ AOC 的度數為 60176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 (Ⅱ )當 AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 時 AC： CE＝ 3： 1 即 AC： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ ABC＝ 30176。 AB＝ c， AC＝ b， BC＝ a，且 b＞ a，若 Rt? ABC 是奇異三角形，求 a： b： c； （ 3）如圖， AB 是⊙ O 的直徑， C 是上一點（不與點 A、 B 重合）， D 是半圓 ⌒ABD的中點，CD 在直徑 AB 的兩側，若在⊙ O 內存在點 E 使得 AE＝ AD， CB＝ CE． ○ 1 求證： ? ACE 是奇異三角形； ○ 2 當 ? ACE 是直角三角形時，求∠ AOC 的度數． 【答案】 解：（ 1）真命題 （ 2）在 Rt? ABC 中 a2＋ b2＝ c2， ∵ c＞ b＞ a＞ 0 ∴ 2c2＞ a2＋ b2， 2a2＜ c2＋ b2 ∴若 Rt? ABC 是奇異三角形，一定有 2b2＝ c2＋ a2 ∴ 2b2＝ a2＋（ a2＋ b2） ∴ b2＝ 2a2 得： b＝ 2a ∵ c2＝ b2＋ a2＝ 3a2 ∴ c＝ 3a ∴ a： b： c＝ 1： 2： 3 (3)○ 1 ∵ AB是⊙ O的直徑 ACBADB＝ 90176。. ∵∠ M＝∠ D，∴∠ CFM＝∠ E. ∵∠ POF＝∠ FOE，∴△ POF∽△ FOE. ∴ OP OFOF OE? ，∴ OE∴∠ M＋∠ CFM＝ 90176。. ∵∠ Q＝∠ C，∴∠ QFD＝∠ P. ∵∠ FOE＝∠ POF，∴△ FOE∽△ POF. ∴ OE OFOF OP?.∴ OE. ∴∠ QFD＋∠ Q＝ 90176。 6 分 由（ 1）知： BD CD? .∴ DB DE DC??. ∴ B ， E ， C 三點在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . ??????? 7 分 5. （ 2020 山東煙臺， 25,12 分） 已知： AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB 于點 G， E 是直線 AB 上一動點（不與點 A、 B、 G 重合），直線 DE交 ⊙ O于點 F，直線 CF 交直線 AB于點 ⊙ O 的半徑為 r. A B C E F D (第 19 題 ) （ 1）如圖 1，當點 E 在直徑 AB 上時，試證明： OE 4 分 理由：由（ 1）知： BD CD? ， ∴ BAD CBD? ? ? . ∵ DBE C BD C BE? ? ? ? ?， DE B BA D AB E? ? ? ? ?， CBE ABE? ? ? ， ∴ DBE DEB? ? ? .∴ DB DE? . ②當交點 E 在點 C 的右側時， ∵ ∠ ECF＞ ∠ BOA， ∴要使△ ECF 與△ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結 BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD, ∴ ∠ BEA=∠ BAO, ∴ ∠ BEA=∠ ECF, ∴ CF∥ BE, ∴ OEOCBECF? , ∵ ∠ ECF=∠ BAO, ∠ FEC=∠ DEA=Rt∠ ， ∴△ CEF∽△ AED, ∴ CF CEAD AE? , 而 AD=2BE, ∴ 2OC CEOE AE? , 即 552 10xxx?? ? , 解得 4 17551 ??x, 4 17552 ??x＜ 0（ 舍去 ）， ∴ E3（ 4 1755? ， 0） 。, 又 ∵ AB=BD, ∴ OB 是 AD 的垂直平分線 , ∴ OD=OA=10, 在 Rt△ ODE 中， OE= ?? 22 DEOD 6810 22 ?? , ∴ AE=AO－ OE=106=4, 由 ∠ AOB=∠ ADE=90176。 , ∴弧 AB 的長 = 35180 560 ?? ??? 。時，求弧 AB 的長； （ 2）當 DE＝ 8 時，求線段 EF 的長； （ 3）在點 B 運動過程中，是否存在以點 E、 C、 F 為頂點的三角形與 △ AOB 相似，若存在，請求出此時點 E 的坐標；若不存在，請說明理由 . FEDCBAO xy 解：（ 1）連結 BC, ∵ A（ 10， 0） , ∴ OA=10 ,CA=5, ∵ ∠ AOB=30176。則∠ ACD 的度數是 . ODA BC 第 12 題圖 【答案】 50176。點 D在 AB的延長線上， BD=BC,則∠ D=__176。 【答案】 2 3 NMOCBA A B O P (第 13 題 ) y x O A B D C （第 18 題） 23. （ 2020 湖南衡陽， 16， 3 分）如圖，⊙ O 的直徑 CD