【正文】 ED=3，則⊙ O 的半徑是 ． （第 6 題） A BOCA BO3題 圖（第 16 題） A BDCOE 【答案】 5 3. （ 2020 江蘇揚(yáng)州， 15,3 分）如圖， ⊙ O 的弦 CD 與直徑 AB 相交，若 ∠ BAD=50176。 4. （ 2020 山東日照， 14， 4 分） 如圖，在以 AB 為直徑的半圓中，有一個(gè) 邊長為 1 的內(nèi)接正方形 CDEF，則以 AC 和 BC 的長為 兩 根的一元二次方程是 ． 【答案 】 如： x2 5 x+1=0； 5. （ 2020 山東泰安 ， 23 ， 3 分）如圖， PA 與 ⊙ O 相切，切點(diǎn)為 A， PO 交 ⊙ O 于點(diǎn) C，點(diǎn) B 是優(yōu)弧 CBA 上一點(diǎn)，若 ∠ ABC==320， 則 ∠ P 的度數(shù)為 。 7. （ 2020 山東煙臺(tái)， 16,4 分） 如圖， △ ABC 的外心坐標(biāo)是 __________. 【答案】（－ 2，－ 1） 8. （ 2020 浙江杭州 ， 14， 4）如圖，點(diǎn) A， B， C， D 都在 ⊙ O 上， 的度數(shù)等于 84176。． 【答案】 53176。 BC＝ 3，則 AB 的長是 ． O x y B C A 【答案】 6 10． （ 2020 浙江省 嘉興 ， 16， 5 分）如圖， AB 是半圓直徑，半徑 OC⊥ AB 于點(diǎn) O， AD平分 ∠ CAB 分別交 OC 于點(diǎn) E，交弧 BC 于點(diǎn) D，連結(jié) CD、 OD，給出以下四個(gè)結(jié)論：①S△ AEC=2S△ DEO； ②AC=2CD； ③線段 OD 是 DE 與 DA 的比例中項(xiàng)；④ ABCECD ??22 ． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ． 【答案】 ①④ 11. （ 2020 福建泉州， 16， 4 分）已知三角形的三邊長分別為 3， 4， 5，則它的邊與半徑為 1 的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)所有可能的情況是 .（寫出符合的一種情況即可） 【答案】 2（符合答案即可） 12. （ 2020 甘肅蘭州， 16， 4 分）如圖， OB 是⊙ O 的半徑，點(diǎn) C、 D 在⊙ O 上，∠ DCB=27176。 O D B C （第 16 題） A BDCOE 【答案】 63176。則 ∠ OAB =__________. 圖 2OBCA 【答案】 20176。則 ∠ EFG=_____. 【答案】 12 15. （ 2020 四川廣安， 19， 3 分）如圖 3 所示，若 ⊙ O 的半徑為 13cm，點(diǎn) p 是弦 AB上一動(dòng)點(diǎn)，且到圓心的最短距離為 5 cm，則弦 AB 的長為 ________cm POBA 【答案】 24 圖 3 16. （ 2020 重慶江津， 16， 4 分）已知如圖 ,在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中 ,∠ B=30186。 17. (2020 重慶綦 江， 13， 4 分 ) 如圖 ,已知 AB 為 ⊙ O 的直徑， ∠ CAB＝ 30176。 18. （ 2020 江西南昌， 13， 3 分）如圖，在 △ ABC 中，點(diǎn) P 是 △ ABC 的內(nèi)心，則∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB = 度 . 第 13 題圖 【答案】 90 19. (2020 江蘇南京， 13， 2 分 )如圖，海邊有兩座燈塔 A、 B，暗礁分布在經(jīng)過 A、 B 兩點(diǎn)的弓形（弓形的弧是 ⊙ O 的一部分）區(qū)域內(nèi)， ∠ AOB=80176。． A B C D 第 16題圖 【答案】 40 20． （ 2020 上海， 17， 4 分）如圖， AB、 AC 都是圓 O 的弦， OM⊥ AB， ON⊥ AC，垂足分別為 M、 N，如果 MN＝ 3，那么 BC＝ _________． 【答案】 6 21. （ 2020 江蘇無錫， 18， 2 分）如圖，以原點(diǎn) O 為圓心的圓交 x 軸于點(diǎn) A、 B 兩點(diǎn)，交 y 軸的正半軸于點(diǎn) C， D 為第一象限內(nèi) ⊙ O 上的一點(diǎn)，若∠ DAB = 20176。 【答案】 2 3 y x O A B D C （第 18 題） NMOCBA A B O P (第 13 題 ) 23. （ 2 011 湖南衡陽， 16， 3 分）如圖，⊙ O 的直徑 CD 過弦 EF 的中點(diǎn) G，∠ EOD=40176。點(diǎn) D 在 AB 的延長線上， BD=BC,則∠ D=__176。則∠ ACD 的度數(shù)是 . ODA BC 第 12 題圖 【答案】 50176。時(shí)，求弧 AB 的長； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時(shí)，求線段 EF 的長； （ 3）在點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn) E、 C、 F為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB相似，若存在，請求出此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . H P A B C O D E F G FEDCBAO xy 解：（ 1）連結(jié) BC, ∵ A（ 10， 0） , ∴ OA=10 ,CA=5, ∵ ∠ AOB=30176。 , ∴弧 AB 的長 = 35180 560 ?? ??? 。, 又 ∵ AB=BD, ∴ OB 是 AD 的垂直平分 線 , ∴ OD=OA=10, 在 Rt△ ODE 中， O B D E C F x y A OE= ?? 22 DEOD 6810 22 ?? , ∴ AE=AO－ OE=106=4, 由 ∠ AOB=∠ ADE=90176。 O B D F C E A x y O B D F C E A x y ②當(dāng)交點(diǎn) E 在點(diǎn) C 的右側(cè)時(shí)， ∵ ∠ ECF＞ ∠ BOA， ∴要使△ ECF 與△ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD, ∴ ∠ BEA=∠ BAO, ∴ ∠ BEA=∠ ECF, ∴ CF∥ BE, ∴ OEOCBECF? , ∵ ∠ ECF=∠ BAO, ∠ FEC=∠ DEA=Rt∠ ， ∴△ CEF∽△ AED, ∴ CF CEAD AE? , 而 AD=2BE, ∴ 2OC CEOE AE? , 即 552 10xxx?? ? , 解得 4 17551 ??x, 4 17552 ??x＜ 0（ 舍去 ）， ∴ E3（ 4 1755? ， 0） 。 xx。 4 分 理由：由（ 1）知： BD CD? ， ∴ BAD CBD? ? ? . ∵ DBE C BD C BE? ? ? ? ?， DE B BA D AB E? ? ? ? ?，CBE ABE? ? ? ， ∴ DBE DEB? ? ? .∴ DB DE? . 6 分 由（ 1）知： BD CD? .∴ DB DE DC??. ∴ B ， E ， C 三點(diǎn)在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . ??????? 7 分 A B C E F D (第 19 題 ) 5. （ 2020 山東煙臺(tái)， 25,12 分） 已知： AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB 于點(diǎn) G， E是直線 AB 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B、 G 重合），直線 DE 交 ⊙ O 于點(diǎn) F，直線 CF 交直線AB 于點(diǎn) ⊙ O 的半徑為 r. （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) E 在直徑 AB 上時(shí)，試證明： OE. ∴∠ QFD＋∠ Q＝ 90176。. ∵∠ Q＝∠ C，∴∠ QFD＝∠ P. ∵∠ FOE＝∠ POF，∴△ FOE∽△ POF. ∴ OE OFOF OP? .∴ OE∴∠ M＋∠ CFM ＝90176。. ∵∠ M＝∠ D，∴∠ CFM＝∠ E. ∵∠ POF＝∠ FOE，∴△ POF∽△ FOE. ∴ OP OFOF OE?，∴ OE AB＝ c， AC＝ b， BC＝ a，且 b＞ a，若 Rt? ABC是奇異三角形，求 a： b： c； （ 3）如圖， AB 是⊙ O 的直徑， C 是上一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B 重合）， D 是半 圓 ⌒ABD的中點(diǎn)，CD 在直徑 AB 的兩側(cè)，若在⊙ O 內(nèi)存在點(diǎn) E 使得 AE＝ AD， CB＝ CE． ○ 1 求證： ? ACE 是奇異三角形； ○ 2 當(dāng) ? ACE 是直角三角形時(shí)，求∠ AOC 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）真命題 （ 2）在 Rt? ABC 中 a2＋ b2＝ c2， ∵ c＞ b＞ a＞ 0 ∴ 2c2＞ a2＋ b2， 2a2＜ c2＋ b2 ∴若 Rt? ABC 是奇異三角形，一定有 2b2＝ c2＋ a2 ∴ 2b2＝ a2＋（ a2＋ b2） ∴ b2＝ 2a2 得： b＝ 2a ∵ c2＝ b2＋ a2＝ 3a2 ∴ c＝ 3a ∴ a： b： c＝ 1： 2： 3 (3)○ 1 ∵ AB 是⊙ O 的直徑 ACBADB＝ 90176。 ∴ ∠ ABC＝ 30176。 (Ⅱ )當(dāng) AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 時(shí) AC： CE＝ 3： 1 即 AC： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC 的度數(shù)為 60176。 7. （ 2020 浙江麗水， 21， 8 分） 如圖，射線 PG 平分 ∠ EPF， O 為射線 PG 上一點(diǎn)，以 O為圓心， 10 為半徑作 ⊙ O，分別與 ∠ EPF 兩邊相交于 A、 B 和 C、 D，連結(jié) OA，此時(shí)有OA∥ PE. （ 1）求證： AP＝ AO； （ 2）若弦 AB＝ 12，求 tan∠ OPB 的值； （ 3）若以圖中已標(biāo)明的點(diǎn) (即 P、 A、 B、 C、 D、 O)構(gòu)造四邊形，則能構(gòu)成菱形的四個(gè)點(diǎn)為 ，能構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)點(diǎn)為 或 或 . GFEOABDCP 【解】（ 1）∵ PG 平分∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； （ 2）過點(diǎn) O 作 OH⊥ AB 于點(diǎn) H，則 AH=HB， ∵ AB=12， ∴ AH=6， 由（ 1）可知 PA=OA=10， ∴ PH=PA+AH=16， OH= 102－ 62=8， ∴ tan∠ OPB=OHPH =12； （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B. 8. （ 2020 廣東廣州市， 25， 14 分） 如圖 7， ⊙ O 中 AB 是直徑， C 是 ⊙ O 上一 點(diǎn)， ∠ ABC=45176。＜ α＜ 90176。 ∵△ DCE 為 等腰直角三角形 ∴∠ ACE=90176。 +90176。 ∴ B、 C、 E 三點(diǎn)共線． （ 2） 連接 BD， AE， ON． ∵∠ ACB=90176。 ∴ AB=AC ∵ DC=DE A B C D1 E1 M1 O N1 圖 8 A B C D E M N O 圖 7 ∠ ACB=∠ ACE=90176。 ∴ BD⊥ AE ∵ O， N 為中點(diǎn) ∴ ON∥ BD， ON=12BD 同理 OM∥ AE， OM=12AE ∴ OM⊥ ON， OM=ON ∴ MN= 2OM （ 3）成立 證明：同（ 2）旋轉(zhuǎn)后∠ BCD1=∠ BCE1=90176。而得到的，故 BD1⊥ AE1 其余證明過程與（ 2）完全相同． 9. （ 2020 浙江麗水， 24， 12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A(10， 0)，以 OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓 C，點(diǎn) B 是該半圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) OB、 AB，并延長 AB至點(diǎn) D，使 DB＝ AB，過點(diǎn) D 作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 OB 于點(diǎn) E、 F，點(diǎn) E 為垂足，連結(jié) CF. （ 1）當(dāng) ∠ AOB＝ 30176。 ∴∠ ACB=2∠ AOB=60176。 又∵ AB= BD， ∴ OB 是 AD 的垂直平分線，