【正文】 ∴ OD= OA=10， 在 Rt△ ODE 中， FEDCBAO xyFEDCBAO xy OE= OD2－ DE2= 102－ 82=6， ∴ AE= AO－ OE =10－ 6=4， 由∠ AOB=∠ ADE= 90176。 ⑴ 求 ∠ BAC 的度數(shù)； ⑵ 求 △ ABC 面積的最大值 . （參考數(shù)據(jù)： sin60176。= 23 ， tan30176。. 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176。所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 11. （ 2020 湖南常德， 25， 10 分）已知 △ ABC，分別以 AC 和 BC 為直徑作半圓 1O 、 2,O P是 AB 的中點(diǎn) . （ 1）如圖 8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,ACBC 上分別取點(diǎn) E、 F，使12,AO E BO F? ? ? 則有結(jié)論① 12,PO E FO P? ②四邊形 12POCO 是菱形 .請給出結(jié)論②的 證明； （ 2）如圖 9，若（ 1）中△ ABC 是任意三角形，其它條件不變，則（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明； （ 3）如圖 10，若 PC 是 1O 的切線，求證： 2 2 23AB BC AC?? 圖8O2O1PA DCEFB D 【答案】 （ 1） 證明： ∵ BC 是⊙ O2直徑，則 O2是 BC 的中點(diǎn) 又 P 是 AB 的中點(diǎn) . ∴ P O2是 △ ABC 的中位線 ∴ P O2 =12AC 又 AC 是⊙ O1直徑 ∴ P O2= O1C=12 AC 同理 P O1= O2C =12 BC ∵ AC =BC ∴ P O2= O1C=P O1= O2C ∴四邊形 12POCO 是菱形 （ 2） 結(jié)論① 12,PO E FO P? 成立，結(jié)論②不成立 證明：在（ 1）中已證 PO2=12 AC，又 O1E=12 AC ∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2是 △ ABC 的中位線 ∴ PO2∥ AC ∴∠ PO2B=∠ ACB 同理∠ P O1A=∠ ACB ∴∠ PO2B=∠ P O1A ∵∠ AO1E =∠ BO2F ∴∠ P O1A+∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F 即 ∠ P O1E =∠ F O2 P ∴ （ 3） 證明：延長 AC 交⊙ O2于點(diǎn) D，連接 BD. ∵ BC 是 ⊙ O2的直徑，則 ∠ D=90176。 ∴∠ ACP=∠ D 又∠ PAC=∠ BAD， ∴△ APC∽△ BAD 又 P 是 AB 的中點(diǎn) ∴ 12AC APAD AB?? ∴ AC=CD ∴在 Rt△ BCD 中， 2 2 2 2178。 C 是弦AB 上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 B 重合），連接 CO 并延長 CO 交⊙ O 于點(diǎn) D，連接 AD. （ 1）弦長 AB=________（結(jié)果保留根號(hào)）； （ 2）當(dāng)∠ D=20176。∠ D=20176?！?A=50176。 . 解法二：如圖，連接 OA. ∵ OA=OB， OA=OD，∴∠ BAO=∠ B，∠ DAO=∠ D， ∴∠ DAB=∠ BAO+∠ DAO=∠ B+∠ D. 又∵∠ B=30176。∴∠ DAB=50176。 . （ 3）∵∠ BCO=∠ A+∠ D，∴∠ BCO＞∠ A，∠ BCO＞∠ D. ∴要使△ DAC 與△ BOC 相似，只能∠ DCA=∠ BCO=90176。∠ BOD=120176。 . ∴△ DAC∽△ BOC. ∵∠ BCO=90176。； 當(dāng) PA 的長度等于 ______時(shí)，△ PAD 是等腰三角形； （ 2）如圖②，以 AB 邊所在的直線為 x 軸， AD 邊所在的直線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點(diǎn) A 即為原點(diǎn) O），把△ PAD、△ PAB、△ PBC 的面積分別記為 S S P點(diǎn)坐標(biāo)為（ a， b），試求 2S1S3S22的最大值，并求出此時(shí) a、 b 的值 . 【答案 】 解：（ 1） 2； 2 2 或 558 . （ 2）如圖，過點(diǎn) P 分別作 PE⊥ AB， PF⊥ AD，垂足分別為 E、 F，延長 FP 交 BC 于點(diǎn) G，則 PG⊥ BC.[來源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] ∵ P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ a， b），∴ PE=b， PF=a， PG=4a. 在△ PAD、△ PAB 及△ PBC 中， S1=2a， S2=2b， S3=82a， ∵ AB 是直徑，∴∠ APB=90176。 BE，即 b2=a（ 4a） . ∴ 2S1S3S22=4a（ 82a） 4b2=4a2+16a=4（ a2） 2+16. ∴當(dāng) a=2 時(shí)， b=2， 2S1S3S22有 最大值 16. 14. （ 2020 江蘇泰州， 26， 10 分）如圖，以點(diǎn) O 為圓心的兩個(gè)同心圓中，矩形 ABCD的邊 BC 為大圓的弦，邊 AD 與小圓相切于點(diǎn) M， OM 的延長線與 BC 相交于點(diǎn) N． （ 1）點(diǎn) N 是線段 BC 的中點(diǎn)嗎？為什么？ （ 2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為 6cm， AB=5cm， BC=10cm，求小圓的半徑． MODACBN 【答案】 解： (1)N 是 BC 的中點(diǎn)。 ⊙ O 的直徑等于 10， BD=8，求 CE 的長． 【答案】證明： ⑴ 連接 AD ∵∠ DAC=∠ DEC ∠ EBC=∠ DEC ∴∠ DAC=∠ EBC 又 ∵ AC 是 ⊙ O 的直徑 ∴∠ ADC=90176。 ∴∠ EBC+∠ DCA=90176。(∠ EBC+∠ DCA)=180176。=90176?！?ADC=90176。 ∴∠ BAD=45176。 AC=10 （ 23 題圖 ） ∴ 由勾股定理，得 6810 2222 ????? ADACDC . ∴ BC=BD+DC=8+6=14 又 ∵∠ BGC=∠ ADC=90176。 又 ∵ EG⊥ AC ∴△ CEG∽△ CAE ∴CECGACCE? ∴ 84105422 ????? CGACCE ∴ 21284 ??CE . 17. （ 2020 江西南昌， 21， 8 分）如圖，已知 ⊙ O 的半徑為 2，弦 BC 的長為 23，點(diǎn)A 為弦 BC 所對優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（ B， C 兩點(diǎn)除外）。= 23 ， cos30176。= 33 .） （ 第 23 題 解答 圖 ） 【答案】 （ 1）過點(diǎn) O 作 OD⊥ BC 于點(diǎn) D, 連接 OA. 因?yàn)?BC=23，所以 CD= 12BC= 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ = CDOC，即 sin DOC∠ = 32， 所以 ∠ DOC=60176。. （ 2）因?yàn)?△ ABC 中的邊 BC 的長不變，所以底邊上的高最大時(shí)， △ ABC 面積的最大值 ,即點(diǎn) A 是 BAC 的中點(diǎn)時(shí)， △ ABC 面積的最大值 . 因?yàn)?∠ BAC=60176。 ∴ MN=2ME=4． 19. （ 2020 湖北黃岡， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD 為∠ BCA 外角的 平分線， F 為弧 AD 上一點(diǎn)， BC=AF，延長 DF 與 BA 的延長線交于 E． E NM DCBAO ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE 【答案】 ⑴由圓的性質(zhì)知∠ MCD=∠ DAB、∠ DCA=∠ DBA，而∠ MCD=∠ DCA，所以∠ DBA=∠ DAB，故△ ABD 為等腰三角形． ⑵∵∠ DBA=∠ DAB ∴弧 AD=弧 BD 又∵ BC=AF ∴弧 BC=弧 AF、∠ CDB=∠ FDA ∴弧 CD=弧 DF ∴ CD=DF 再由“圓的內(nèi)接四邊形外角等于它的內(nèi)對角”知 [來源 :] ∠ AFE=∠ DBA=∠ DCA①，∠ FAE=∠ BDE ∴∠ CDA=∠ CDB＋∠ BDA=∠ FDA＋∠ BDA=∠ BDE=∠ FAE② 由①②得△ DCA∽△FAE ∴ AC： FE=CD： AF ∴ AC?AF= CD ?FE 而 CD=DF， ∴ AC?AF=DF?FE 20． （ 2020 廣東茂名， 24， 8 分）如圖，⊙ P 與 y 軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn) O(0， 0)，與 x 軸相交于點(diǎn) A(5， 0)，過點(diǎn) A 的直線 AB 與 y 軸的正半軸交于點(diǎn) B，與 ⊙ P 交于點(diǎn) C． 第 22 題圖 B A F E D C M (1)已知 AC＝ 3， 求點(diǎn) Ｂ 的坐標(biāo)； (4 分 ) (2)若 AC＝ a , D 是 OＢ 的中點(diǎn)．問：點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)是否在同一圓上？請說明理由． 如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為 1O ，函數(shù)xky?的圖象經(jīng)過點(diǎn) 1O ，求 k 的值 (用含 a 的代數(shù)式表示 )． (4 分 ) 【答案】解： (1)解法一：連接 OC，∵ OA 是⊙ P 的直徑，∴ OC⊥ AB， 在 Rt△ AOC 中， 492522 ????? ACOAOC 在 Rt△ AOC 和 Rt△ ABO 中，∵∠ CAO＝∠ OAB ∴ Rt△ AOC∽ Rt△ ABO， 在 Rt△ AOC 中， AO＝ 5， AC＝ 3，∴ OC＝ 4， 過 C 作 CE⊥ OA 于點(diǎn) E，則： OCCACEOA ????? 2121 ， 即： 4321521 ????? CE ，∴ 512?CE ， 備用 圖 χ y χ y ∴516)512(4 2222 ????? CEOCOE ∴ )512,516(C， 設(shè)經(jīng)過 A、 C 兩點(diǎn)的直線解析式為： bkxy ?? ． 把點(diǎn) A(5， 0)、 )512,516(C 代入上式得： ?????????51251605bkbk ， 解得：??????????32034bk， ∴ 32034 ??? xy ， ∴點(diǎn) )320,(OB ． (2)點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上， 理由如下： 連接 CP、 CD、 DP，∵ OC⊥ AB， D 為 OB 上的中點(diǎn)， ∴ ODOBCD ?? 21 ， ∴∠ 3＝∠ 4，又∵ OP＝ CP，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＋∠ 3＝∠ 2＋∠ 4＝ 90176。 又∵ DE⊥ AB 于點(diǎn) E， ∴ ∠ DEB＝ 90176。 ∴ ∠ ADE＝ ∠ ABD＝ ∠ DAP ? A B C D E O F P ∴ PD＝ PA 又∵∠ DFA +∠ DAC＝ ∠ ADE +∠ PD F＝ 90176。 ∴ △ FDA ∽△ ADB ∴ABAFDBAD? ∴在 Rt△ ABD 中， tan∠ ABD＝ 4310215 ??? ABAFDBAD ，即 tan∠ ABF＝ 43 22. （ 2020 內(nèi)蒙古烏蘭察布， 21， 10 分） 如圖，在 Rt△ ABC 中 ,∠ ACB＝ 90176。 ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長． 第 21 題圖EABCODF 【答案】 ⑴ 連結(jié) OE， 第 21 題答案圖DOEACB F 則 OE⊥ AC, 所以 ∠ AEO=90176。 ∠ CEF+∠ F＝ 90176。 ∠ OED=∠ F 又因?yàn)?OD=OE 所以 ∠ OED=∠ ODE ∠ ODE=∠ F BD=BF ⑵ Rt△ ABC 和 Rt△ AOE 中， ∠ A 是公共角 所以 Rt△ ABC ∽ Rt△ AOE OE AOBC AB? ，設(shè) ⊙ 0 的半徑是 r，則有 812 8 2rrr?? ? 求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （ 2020 湖北鄂州， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD 為∠ BCA 外角的平分線， F 為弧 AD 上一點(diǎn)， BC=AF，延長 DF 與 BA 的延長線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE