【正文】 O x y B C A 【答案】 6 10． （ 2020 浙江省 嘉興 ， 16， 5 分）如圖， AB 是半圓直徑，半徑 OC⊥ AB 于點 O， AD平分 ∠ CAB 分別交 OC 于點 E，交弧 BC 于點 D，連結(jié) CD、 OD，給出以下四個結(jié)論：①S△ AEC=2S△ DEO； ②AC=2CD； ③線段 OD 是 DE 與 DA 的比例中項；④ ABCECD ??22 ． 其中正確結(jié)論的序號是 ． 【答案】 ①④ 11. （ 2020 福建泉州， 16， 4 分）已知三角形的三邊長分別為 3， 4， 5，則它的邊與半徑為 1 的圓的公共點個數(shù)所有可能的情況是 .（寫出符合的一種情況即可） 【答案】 2（符合答案即可） 12. （ 2020 甘肅蘭州， 16， 4 分）如圖， OB 是⊙ O 的半徑，點 C、 D 在⊙ O 上，∠ DCB=27176。則 ∠ OAB =__________. 圖 2OBCA 【答案】 20176。 17. (2020 重慶綦 江， 13， 4 分 ) 如圖 ,已知 AB 為 ⊙ O 的直徑， ∠ CAB＝ 30176。． A B C D 第 16題圖 【答案】 40 20． （ 2020 上海， 17， 4 分）如圖， AB、 AC 都是圓 O 的弦， OM⊥ AB， ON⊥ AC，垂足分別為 M、 N，如果 MN＝ 3，那么 BC＝ _________． 【答案】 6 21. （ 2020 江蘇無錫， 18， 2 分）如圖，以原點 O 為圓心的圓交 x 軸于點 A、 B 兩點，交 y 軸的正半軸于點 C， D 為第一象限內(nèi) ⊙ O 上的一點，若∠ DAB = 20176。點 D 在 AB 的延長線上， BD=BC,則∠ D=__176。時，求弧 AB 的長； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時，求線段 EF 的長； （ 3）在點 B運動過程中，是否存在以點 E、 C、 F為頂點的三角形與 △ AOB相似，若存在，請求出此時點 E 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 . H P A B C O D E F G FEDCBAO xy 解：（ 1）連結(jié) BC, ∵ A（ 10， 0） , ∴ OA=10 ,CA=5, ∵ ∠ AOB=30176。, 又 ∵ AB=BD, ∴ OB 是 AD 的垂直平分 線 , ∴ OD=OA=10, 在 Rt△ ODE 中， O B D E C F x y A OE= ?? 22 DEOD 6810 22 ?? , ∴ AE=AO－ OE=106=4, 由 ∠ AOB=∠ ADE=90176。 xx。 4 分 理由：由（ 1）知： BD CD? ， ∴ BAD CBD? ? ? . ∵ DBE C BD C BE? ? ? ? ?， DE B BA D AB E? ? ? ? ?，CBE ABE? ? ? ， ∴ DBE DEB? ? ? .∴ DB DE? . . ∴∠ QFD＋∠ Q＝ 90176?！唷?M＋∠ CFM ＝90176。 AB＝ c， AC＝ b， BC＝ a，且 b＞ a，若 Rt? ABC是奇異三角形，求 a： b： c； （ 3）如圖， AB 是⊙ O 的直徑， C 是上一點（不與點 A、 B 重合）， D 是半 圓 ⌒ABD的中點，CD 在直徑 AB 的兩側(cè)，若在⊙ O 內(nèi)存在點 E 使得 AE＝ AD， CB＝ CE． ○ 1 求證： ? ACE 是奇異三角形； ○ 2 當(dāng) ? ACE 是直角三角形時，求∠ AOC 的度數(shù)． 【答案】 解：（ 1）真命題 （ 2）在 Rt? ABC 中 a2＋ b2＝ c2， ∵ c＞ b＞ a＞ 0 ∴ 2c2＞ a2＋ b2， 2a2＜ c2＋ b2 ∴若 Rt? ABC 是奇異三角形，一定有 2b2＝ c2＋ a2 ∴ 2b2＝ a2＋（ a2＋ b2） ∴ b2＝ 2a2 得： b＝ 2a ∵ c2＝ b2＋ a2＝ 3a2 ∴ c＝ 3a ∴ a： b： c＝ 1： 2： 3 (3)○ 1 ∵ AB 是⊙ O 的直徑 ACBADB＝ 90176。 (Ⅱ )當(dāng) AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 時 AC： CE＝ 3： 1 即 AC： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ AOC 的度數(shù)為 60176。＜ α＜ 90176。 +90176。 ∴ AB=AC ∵ DC=DE A B C D1 E1 M1 O N1 圖 8 A B C D E M N O 圖 7 ∠ ACB=∠ ACE=90176。而得到的，故 BD1⊥ AE1 其余證明過程與（ 2）完全相同． 9. （ 2020 浙江麗水， 24， 12 分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點 A(10， 0)，以 OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓 C，點 B 是該半圓周上的一動點，連結(jié) OB、 AB，并延長 AB至點 D，使 DB＝ AB，過點 D 作 x 軸垂線，分別交 x 軸、直線 OB 于點 E、 F，點 E 為垂足，連結(jié) CF. （ 1）當(dāng) ∠ AOB＝ 30176。 又∵ AB= BD， ∴ OB 是 AD 的垂直平分線， ∴ OD= OA=10， 在 Rt△ ODE 中， FEDCBAO xyFEDCBAO xy OE= OD2－ DE2= 102－ 82=6， ∴ AE= AO－ OE =10－ 6=4， 由∠ AOB=∠ ADE= 90176。= 23 ， tan30176。所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 11. （ 2020 湖南常德， 25， 10 分）已知 △ ABC，分別以 AC 和 BC 為直徑作半圓 1O 、 2,O P是 AB 的中點 . （ 1）如圖 8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,ACBC 上分別取點 E、 F，使12,AO E BO F? ? ? 則有結(jié)論① 12,PO E FO P? ②四邊形 12POCO 是菱形 .請給出結(jié)論②的 證明； （ 2）如圖 9，若（ 1）中△ ABC 是任意三角形，其它條件不變，則（ 1）中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明； （ 3）如圖 10，若 PC 是 1O 的切線，求證： 2 2 23AB BC AC?? 圖8O2O1PA DCEFB D 【答案】 （ 1） 證明： ∵ BC 是⊙ O2直徑，則 O2是 BC 的中點 又 P 是 AB 的中點 . ∴ P O2是 △ ABC 的中位線 ∴ P O2 =12AC 又 AC 是⊙ O1直徑 ∴ P O2= O1C=12 AC 同理 P O1= O2C =12 BC ∵ AC =BC ∴ P O2= O1C=P O1= O2C ∴四邊形 12POCO 是菱形 （ 2） 結(jié)論① 12,PO E FO P? 成立，結(jié)論②不成立 證明：在（ 1）中已證 PO2=12 AC，又 O1E=12 AC ∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2是 △ ABC 的中位線 ∴ PO2∥ AC ∴∠ PO2B=∠ ACB 同理∠ P O1A=∠ ACB ∴∠ PO2B=∠ P O1A ∵∠ AO1E =∠ BO2F ∴∠ P O1A+∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F 即 ∠ P O1E =∠ F O2 P ∴ （ 3） 證明：延長 AC 交⊙ O2于點 D，連接 BD. ∵ BC 是 ⊙ O2的直徑，則 ∠ D=90176。 C 是弦AB 上任意一點（不與點 A、 B 重合），連接 CO 并延長 CO 交⊙ O 于點 D，連接 AD. （ 1）弦長 AB=________（結(jié)果保留根號）； （ 2）當(dāng)∠ D=20176?！?A=50176?！唷?DAB=50176。∠ BOD=120176。； 當(dāng) PA 的長度等于 ______時，△ PAD 是等腰三角形； （ 2）如圖②，以 AB 邊所在的直線為 x 軸， AD 邊所在的直線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（點 A 即為原點 O），把△ PAD、△ PAB、△ PBC 的面積分別記為 S S P點坐標(biāo)為（ a， b），試求 2S1S3S22的最大值，并求出此時 a、 b 的值 . 【答案 】 解：（ 1） 2； 2 2 或 558 . （ 2）如圖，過點 P 分別作 PE⊥ AB， PF⊥ AD，垂足分別為 E、 F，延長 FP 交 BC 于點 G，則 PG⊥ BC.[來源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] ∵ P 點坐標(biāo)為（ a， b），∴ PE=b， PF=a， PG=4a. 在△ PAD、△ PAB 及△ PBC 中， S1=2a， S2=2b， S3=82a， ∵ AB 是直徑，∴∠ APB=90176。 ⊙ O 的直徑等于 10， BD=8，求 CE 的長． 【答案】證明： ⑴ 連接 AD ∵∠ DAC=∠ DEC ∠ EBC=∠ DEC ∴∠ DAC=∠ EBC 又 ∵ AC 是 ⊙ O 的直徑 ∴∠ ADC=90176。(∠ EBC+∠ DCA)=180176?！?ADC=90176。 AC=10 （ 23 題圖 ） ∴ 由勾股定理，得 6810 2222 ????? ADACDC . ∴ BC=BD+DC=8+6=14 又 ∵∠ BGC=∠ ADC=90176。= 23 ， cos30176。. （ 2）因為 △ ABC 中的邊 BC 的長不變，所以底邊上的高最大時， △ ABC 面積的最大值 ,即點 A 是 BAC 的中點時， △ ABC 面積的最大值 . 因為 ∠ BAC=60176。 在 Rt△ AOC 中， AO＝ 5， AC＝ 3，∴ OC＝ 4， 過 C 作 CE⊥ OA 于點 E，則： OCCACEOA ????? 2121 ， 即： 4321521 ????? CE ，∴ 512?CE ， 備用 圖 χ y χ y ∴516)512(4 2222 ????? CEOCOE ∴ )512,516(C， 設(shè)經(jīng)過 A、 C 兩點的直線解析式為： bkxy ?? ． 把點 A(5， 0)、 )512,516(C 代入上式得： ?????????51251605bkbk ， 解得：??????????32034bk， ∴ 32034 ??? xy ， ∴點 )320,(OB ． (2)點 O、 P、 C、 D 四點在同一個圓上， 理由如下： 連接 CP、 CD、 DP，∵ OC⊥ AB， D 為 OB 上的中點， ∴ ODOBCD ?? 21 ， ∴∠ 3＝∠ 4，又∵ OP＝ CP，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＋∠ 3＝∠ 2＋∠ 4＝ 90176。 ∴ ∠ ADE＝ ∠ ABD＝ ∠ DAP ? A B C D E O F P ∴ PD＝ PA 又∵∠ DFA +∠ DAC＝ ∠ ADE +∠ PD F＝ 90176。 ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長． 第 21 題圖EABCODF 【答案】 ⑴ 連結(jié) OE， 第 21 題答案圖DOEACB F 則 OE⊥ AC, 所以 ∠ AEO=90176。 ∠ OED=∠ F 又因為 OD=OE 所以 ∠ OED=∠ ODE ∠ ODE=∠ F BD=BF ⑵ Rt△ ABC 和 Rt△ AOE 中， ∠ A 是公共角 所以 Rt△ ABC ∽ Rt△ AOE OE AOBC AB? ，設(shè) ⊙ 0 的半徑是 r，則有 812 8 2rrr?? ? 求出 r=8,所以 BF=BD=16 23. （ 2020 湖北鄂州， 22， 8 分） 在圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， CD 為∠ BCA 外角的平分線， F 為弧 AD 上一點， BC=AF，延長 DF 與 BA 的延長線交于 E． ⑴求證△ ABD 為等腰三角形． ⑵求證 AC?AF=DF?FE