【正文】 FEOABDCP 【解】（ 1）∵ PG 平分∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； （ 2）過點 O 作 OH⊥ AB 于點 H，則 AH=HB， ∵ AB=12， ∴ AH=6， 由（ 1）可知 PA=OA=10， ∴ PH=PA+AH=16， OH= 102－ 62=8， ∴ tan∠ OPB=OHPH =12； （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B. 8. （ 2020 廣東廣州市， 25， 14 分） 如圖 7， ⊙ O 中 AB 是直徑， C 是 ⊙ O 上一 點， ∠ ABC=45176。 ∴ ∠ ABC＝ 30176。. ∵∠ Q＝∠ C，∴∠ QFD＝∠ P. ∵∠ FOE＝∠ POF，∴△ FOE∽△ POF. ∴ OE OFOF OP? .∴ OE O B D F C E A x y O B D F C E A x y ②當交點 E 在點 C 的右側時， ∵ ∠ ECF＞ ∠ BOA， ∴要使△ ECF 與△ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結 BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD, ∴ ∠ BEA=∠ BAO, ∴ ∠ BEA=∠ ECF, ∴ CF∥ BE, ∴ OEOCBECF? , ∵ ∠ ECF=∠ BAO, ∠ FEC=∠ DEA=Rt∠ ， ∴△ CEF∽△ AED, ∴ CF CEAD AE? , 而 AD=2BE, ∴ 2OC CEOE AE? , 即 552 10xxx?? ? , 解得 4 17551 ??x, 4 17552 ??x＜ 0（ 舍去 ）， ∴ E3（ 4 1755? ， 0） 。則∠ ACD 的度數(shù)是 . ODA BC 第 12 題圖 【答案】 50176。 18. （ 2020 江西南昌， 13， 3 分）如圖，在 △ ABC 中，點 P 是 △ ABC 的內心，則∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB = 度 . 第 13 題圖 【答案】 90 19. (2020 江蘇南京， 13， 2 分 )如圖，海邊有兩座燈塔 A、 B，暗礁分布在經(jīng)過 A、 B 兩點的弓形（弓形的弧是 ⊙ O 的一部分）區(qū)域內， ∠ AOB=80176。 O D B C （第 16 題） A BDCOE 【答案】 63176。 4. （ 2020 山東日照， 14， 4 分） 如圖，在以 AB 為直徑的半圓中，有一個 邊長為 1 的內接正方形 CDEF，則以 AC 和 BC 的長為 兩 根的一元二次方程是 ． 【答案 】 如： x2 5 x+1=0； 5. （ 2020 山東泰安 ， 23 ， 3 分）如圖， PA 與 ⊙ O 相切，切點為 A， PO 交 ⊙ O 于點 C，點 B 是優(yōu)弧 CBA 上一點，若 ∠ ABC==320， 則 ∠ P 的度數(shù)為 。 D． 95176。則 ∠ ABD= A． 40176。 OA=1， BC=6。則劣弧 ⌒BC的長是（ ） A． π 5 B． 25π C． 35π D． 45π 【答案】 B 3. （ 2020 福建福州， 9， 4 分） 如圖 2,以 O 為圓心的兩個同心圓中 ,大圓的弦 AB 切小圓于點 C ,若 120AOB??,則大圓半徑 R 與小圓半徑 r 之間滿足（ ） A． 3Rr? B． 3Rr? C． 2Rr? D． 22Rr? NMBA 【答案】 C 4. （ 2020 山東泰安 ， 10 ， 3 分）如圖， ⊙ O 的弦 AB 垂直平分半徑 OC，若 AB= 6，則 ⊙ O 的半徑為（ ） A. 2 2 C. 22 D. 62 【答案】 A 5. （ 2020 四川南充市， 9， 3 分） 在圓柱形油槽內裝有一些油。 D． 30176。 （ D)64176。 則∠ DCE 的大小是 A． 115176。 D. 60176。 9. （ 2020 浙江溫州， 14， 5 分）如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑，點 C， D 都在 ⊙ O 上，連結CA， CB， DC， DB．已知 ∠ D=30176。,則∠D=____________.[來源 :學 .科 .網(wǎng) ] 【答案】 150176。則∠ FCD 的度數(shù)為 ． 【答案】 20 24. （ 2020 湖南永州 ， 8， 3 分） 如圖，在 ⊙ O 中，直徑 CD 垂直弦 AB 于點 E，連接OB,CB，已知 ⊙ O 的半徑為 2， AB= 32 ,則 ∠ BCD=________度． 【答案】 30 25. (20201 江蘇鎮(zhèn)江 ,15,2 分 )如圖 ,DE 是⊙ O的直徑 ,弦 AB⊥ DE,垂足為 C,若 AB=6,CE=1,則 OC=_____,CD=_____. 答案： 4， 9 （ 第 8 題 ） EOCDBA 26. （ 2020 內蒙古烏蘭察布， 14， 4 分）如圖， BE 是半徑為 6 的 ⊙ D 的41圓周， C點是 BE 上的任意一點， △ ABD 是等邊三角形 ,則四邊形 ABCD 的周長 P 的取值范圍是 第 14 題圖B DAEC 【答案】 18 18 6 2p? ? ? 27. （ 2020 河北， 16， 3 分） 如圖 7，點 O 為優(yōu)弧 ACB 所在圓的圓心，∠ AOC=108176。 ?? 4 分 （ 2） 連結 OD, ∵ OA 是 ⊙ C 直徑 , ∴ ∠ OBA=90176。OP＝ r2 （ 2）當點 E 在 AB（或 BA）的延長線上時，以如圖 2 點 E 的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（ 1）中的結論是否成立？請說明理由 . 【答案】 （ 1）證明：連接 FO 并延長交 ⊙ O 于 Q，連接 DQ. ∵ FQ 是 ⊙ O 直徑，∴∠ FDQ＝ 90176。OP＝ OF2＝ r2. 6. （ 2020 寧波市， 25， 10 分）閱讀下面的情境對話，然后解答問題 （ 1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？ （ 2）在 Rt? ABC 中， ∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴∠ BCE=90176。－∠ ACD1 所以仍有 △ BCD1≌△ ACE1， 所以 △ ACE1是由 △ BCD1 繞點 C 順時針旋轉 90176。= 23 ， cos30176。BC C D BD AC BD? ? ? ? 在 Rt△ ABD 中， 2 2 2AB AD BD?? ∴ ? ?2 2 2 2 2 243A B A C B D A C B D A C? ? ? ? ? ∴ 2 2 23AB BC AC?? 12. （ 2020 江蘇蘇州， 26,8 分） 如圖，已知 AB 是⊙ O 的弦， OB=2，∠ B=30176。 ∠ D=20176。即 OC⊥ AB，∴ AC=21AB= 3 . 13. （ 2020 江蘇蘇州， 27,8 分） 已知四邊形 ABCD 是邊長為 4 的正 方形，以 AB 為直徑在正方形內作半圓， P 是半圓上的動點（不與點 A、 B 重合），連接 PA、 PB、 PC、 PD. （ 1）如圖①，當 PA 的長度等于 ______時，∠ PAB=60176。 ∴∠ BGC=180176。 ∴ BD=AD ∵ BD=8 ∴ AD=8 又 ∵∠ ADC=90176。. 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176。 ∴ ∠ ADE +∠ EDB＝ ∠ ABD +∠ EDB＝ 90176。 ∠ AED +∠ OED＝ 90176。且∠ ADE＝ ∠ DAC ∴ ∠ PDF＝ ∠ PFD ∴ PD＝ PF ∴ PA＝ PF 即 P 是線段 AF 的中點 (3）∵∠ DAF ＝ ∠ DBA，∠ ADB＝ ∠ FDA＝ 90176。所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 18. （ 2020 上海， 21， 10 分）如圖，點 C、 D 分別在扇形 AOB 的半徑 OA、 OB 的延長線上，且 OA＝ 3， AC＝ 2， CD 平行于 AB，并與弧 AB 相交于點 M、 N． （ 1）求線段 OD 的長； （ 2）若 1tan 2C?? ，求弦 MN 的長． OA BDC M N 【答案】 （ 1）∵ CD∥ AB， ∴∠ OAB=∠ C，∠ OBA=∠ D． ∵ OA=OB， ∴∠ OAB=∠ OBA． ∴∠ C=∠ D． ∴ OC=OD． ∵ OA=3， AC=2， ∴ OC=5． ∴ OD=5． （ 2）過點 O 作 OE⊥ CD， E 為垂足，連接 OM． 在 Rt△ OCE 中， OC=5， 1tan 2C?? ，設 OE=x，則 CE=2x．由勾股定理得2 2 2(2 ) 5xx??，解得 x1= 5 ， x2= 5? （舍去）．∴ OE= 5 ． 在 Rt△ OME 中， OM=OA=3， ME= 22OM OE? = 223 ( 5)? =2。 ∠ BCG=∠ ACD ∴△ BCG∽△ ACD ∴ACBCDCCG? ∴10146 ?CG ∴542?CG 連接 AE， ∵ AC 是直徑 ∴∠ AEC=90176。90176。 . ∴ PE2=AE ∴∠ BOD=2∠ DAB=100176。時，求∠ BOD 的度數(shù)； （ 3）當 AC 的長度為多少時，以點 A、 C、 D 為頂點的三角形與以 B、 C、 O 為頂點的三角形相似？請寫出解答過程 . 【答案 】 解：（ 1） 2 3 . （ 2）解法一：∵∠ BOD 是△ BOC 的外角，∠ BCO 是△ ACD 的外角， ∴∠ BOD=∠ B+∠ BCO，∠ BCO=∠ A+∠ D. ∴∠ BOD=∠ B+∠ A+∠ D. 又∵∠ BOD=2∠ A，∠ B=30176。= 33 .） 【答案】 （ 1）過點 O 作 OD⊥ BC 于點 D, 連接 OA. 因為 BC=23，所以 CD= 12BC= 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ = CDOC，即 sin DOC∠ = 32， 所以 ∠ DOC=60176。時，求弧 AB 的長； （ 2）當 DE＝ 8 時，求線段 EF 的長； （ 3）在點 B運動過程中，是否存在以點 E、 C、 F為頂點的三角形與 △ AOB相似，若存在，請求出此時點 E 的坐標；若不存在，請說明理由 . FEDCBAO xy 【解】 (1)連結 BC， ∵ A(10， 0)，∴ OA=10， CA=5， ∵∠ AOB=30176。 =180176。 或 120176。 在 Rt? ABC 中， AC2＋ BC2＝ AB2 在 Rt? ADB 中， AD2＋ BD2＝ AB2 ∵點 D 是半圓 ⌒ABD的中點 ∴ ⌒AD＝ ⌒BD ∴ AD＝ BD ∴ AB2＝ AD2＋ BD2＝ 2AD2 ∴ AC2＋ CB2＝ 2AD2 又∵ CB＝ CE， AE＝ AD[來源 :Z+xx+] ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 ∴ ? ACE 是奇異三角形 ○ 2 由 ○ 1 可得 ? ACE 是奇異三角形 ∴ AC2＝ CE2＝ 2AE2 當 ? ACE 是直角三角形時 由（ 2）可得 AC： AE： CE＝ 1： 2： 3或 AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 （Ⅰ）當 AC： AE： CE＝ 1： 2