【正文】 ( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長(zhǎng)． 第 21 題圖EABCODF 【答案】 ⑴ 連結(jié) OE， 第 21 題答案圖DOEACB F 則 OE⊥ AC, 所以 ∠ AEO=90176。 在 Rt△ AOC 中， AO＝ 5， AC＝ 3，∴ OC＝ 4， 過 C 作 CE⊥ OA 于點(diǎn) E，則： OCCACEOA ????? 2121 ， 即： 4321521 ????? CE ，∴ 512?CE ， 備用 圖 χ y χ y ∴516)512(4 2222 ????? CEOCOE ∴ )512,516(C， 設(shè)經(jīng)過 A、 C 兩點(diǎn)的直線解析式為： bkxy ?? ． 把點(diǎn) A(5， 0)、 )512,516(C 代入上式得： ?????????51251605bkbk ， 解得：??????????32034bk， ∴ 32034 ??? xy ， ∴點(diǎn) )320,(OB ． (2)點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上， 理由如下： 連接 CP、 CD、 DP，∵ OC⊥ AB， D 為 OB 上的中點(diǎn)， ∴ ODOBCD ?? 21 ， ∴∠ 3＝∠ 4，又∵ OP＝ CP，∴∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＋∠ 3＝∠ 2＋∠ 4＝ 90176。= 23 ， cos30176。∠ ADC=90176。 ⊙ O 的直徑等于 10， BD=8，求 CE 的長(zhǎng)． 【答案】證明： ⑴ 連接 AD ∵∠ DAC=∠ DEC ∠ EBC=∠ DEC ∴∠ DAC=∠ EBC 又 ∵ AC 是 ⊙ O 的直徑 ∴∠ ADC=90176?！?BOD=120176?！?A=50176。所以 △ ABC 是等邊三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面積的最大值為 23312=3 3 . 11. （ 2020 湖南常德， 25， 10 分）已知 △ ABC，分別以 AC 和 BC 為直徑作半圓 1O 、 2,O P是 AB 的中點(diǎn) . （ 1）如圖 8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,ACBC 上分別取點(diǎn) E、 F，使12,AO E BO F? ? ? 則有結(jié)論① 12,PO E FO P? ②四邊形 12POCO 是菱形 .請(qǐng)給出結(jié)論②的 證明； （ 2）如圖 9，若（ 1）中△ ABC 是任意三角形，其它條件不變，則（ 1）中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明； （ 3）如圖 10，若 PC 是 1O 的切線，求證： 2 2 23AB BC AC?? 圖8O2O1PA DCEFB D 【答案】 （ 1） 證明： ∵ BC 是⊙ O2直徑，則 O2是 BC 的中點(diǎn) 又 P 是 AB 的中點(diǎn) . ∴ P O2是 △ ABC 的中位線 ∴ P O2 =12AC 又 AC 是⊙ O1直徑 ∴ P O2= O1C=12 AC 同理 P O1= O2C =12 BC ∵ AC =BC ∴ P O2= O1C=P O1= O2C ∴四邊形 12POCO 是菱形 （ 2） 結(jié)論① 12,PO E FO P? 成立，結(jié)論②不成立 證明：在（ 1）中已證 PO2=12 AC，又 O1E=12 AC ∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2是 △ ABC 的中位線 ∴ PO2∥ AC ∴∠ PO2B=∠ ACB 同理∠ P O1A=∠ ACB ∴∠ PO2B=∠ P O1A ∵∠ AO1E =∠ BO2F ∴∠ P O1A+∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F 即 ∠ P O1E =∠ F O2 P ∴ （ 3） 證明：延長(zhǎng) AC 交⊙ O2于點(diǎn) D，連接 BD. ∵ BC 是 ⊙ O2的直徑，則 ∠ D=90176。 又∵ AB= BD， ∴ OB 是 AD 的垂直平分線， ∴ OD= OA=10， 在 Rt△ ODE 中， FEDCBAO xyFEDCBAO xy OE= OD2－ DE2= 102－ 82=6， ∴ AE= AO－ OE =10－ 6=4， 由∠ AOB=∠ ADE= 90176。 ∴ AB=AC ∵ DC=DE A B C D1 E1 M1 O N1 圖 8 A B C D E M N O 圖 7 ∠ ACB=∠ ACE=90176。＜ α＜ 90176。 (Ⅱ )當(dāng) AC： AE： CE＝ 3： 2： 1 時(shí) AC： CE＝ 3： 1 即 AC： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176?！唷?M＋∠ CFM ＝90176。 4 分 理由：由（ 1）知： BD CD? ， ∴ BAD CBD? ? ? . ∵ DBE C BD C BE? ? ? ? ?， DE B BA D AB E? ? ? ? ?，CBE ABE? ? ? ， ∴ DBE DEB? ? ? .∴ DB DE? . xx。時(shí)，求弧 AB 的長(zhǎng)； （ 2）當(dāng) DE＝ 8 時(shí)，求線段 EF 的長(zhǎng)； （ 3）在點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn) E、 C、 F為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 . H P A B C O D E F G FEDCBAO xy 解：（ 1）連結(jié) BC, ∵ A（ 10， 0） , ∴ OA=10 ,CA=5, ∵ ∠ AOB=30176。． A B C D 第 16題圖 【答案】 40 20． （ 2020 上海， 17， 4 分）如圖， AB、 AC 都是圓 O 的弦， OM⊥ AB， ON⊥ AC，垂足分別為 M、 N，如果 MN＝ 3，那么 BC＝ _________． 【答案】 6 21. （ 2020 江蘇無錫， 18， 2 分）如圖，以原點(diǎn) O 為圓心的圓交 x 軸于點(diǎn) A、 B 兩點(diǎn)，交 y 軸的正半軸于點(diǎn) C， D 為第一象限內(nèi) ⊙ O 上的一點(diǎn)，若∠ DAB = 20176。則 ∠ OAB =__________. 圖 2OBCA 【答案】 20176。 7. （ 2020 山東煙臺(tái)， 16,4 分） 如圖， △ ABC 的外心坐標(biāo)是 __________. 【答案】（－ 2，－ 1） 8. （ 2020 浙江杭州 ， 14， 4）如圖，點(diǎn) A， B， C， D 都在 ⊙ O 上， 的度數(shù)等于 84176。,則∠ B 的度數(shù)為 A． 15176。 C． 70176。 ， 則 ∠ BCD=（ B ） (A)116176。則 ∠ A 的度數(shù)等于 ( ) A． 60176。 B． 50176。 (B)32176。 D． 80176。 B. 30176。CA 是 ∠ OCD 的平分線，則 ∠ ABD 十 ∠ CAO= 176。 14. （ 2020 江蘇連云港， 15， 3 分） 如圖，點(diǎn) D 為邊 AC 上一點(diǎn)，點(diǎn) O 為邊 AB 上一點(diǎn)，AD= O 為圓心， OD 長(zhǎng)為半徑作半圓，交 AC 于另一點(diǎn) E，交 AB 于點(diǎn) F， G，連接 ∠ BAC=22186。則∠ OCD = _____________． 【答案】 65 22. （ 2020 湖北黃石， 14， 3 分）如圖（ 5）， △ ABC 內(nèi)接于圓 O，若 ∠ B＝ ＝ 3 ，則 ⊙ O 的直徑為 。,[來源 :學(xué)科網(wǎng) ] ∴ ∠ ACB=2∠ AOB=60176。 ] 【答案】（ 1）證明：∵ AD 為直徑， AD BC? ， ∴ BD CD? .∴ BD CD? . 3 分 （ 2）答： B ， E ， C 三點(diǎn)在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . . ∵ CD⊥ AB，∴∠ E＋∠ D＝ 90176。 ∴ ∠ ABC＝ 60176。）后，記為 △ D1CE1（圖 8），若 M1是線段 BE1 的中點(diǎn)， N1 是線段 AD1 的中點(diǎn)， M1N1= 2OM1 是否成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，說明理由． 【答案】（ 1）∵ AB 為⊙ O 直徑 ∴∠ ACB=90176。 ∴ △ BCD≌△ ACE ∴ AE=BD，∠ DBE=∠ EAC ∴∠ DBE+∠ BEA=90176。－∠ OAB， ∠ OEF=∠ DEA， 得 △ OEF∽ △ DEA， ∴ AEDE=EFOE，即 48=EF6 ， ∴ EF=3； (3)設(shè) OE=x， ①當(dāng)交點(diǎn) E 在 O， C之間時(shí)，由以點(diǎn) E、 C、 F 為頂點(diǎn)的三角形與△ AOB相似， 有∠ ECF=∠ BOA 或∠ ECF=∠ OAB，當(dāng)∠ ECF=∠ BOA 時(shí)，此時(shí)△ OCF為等腰三角形， 點(diǎn) E 為 OC 的中點(diǎn)，即 OE=52， ∴ E1(52， 0)； 當(dāng)∠ ECF=∠ OAB 時(shí)，有 CE=5－ x， AE=10－ x， ∴ CF//AB，有 CF=12AB， ∵ △ ECF∽ △ EAD， FEDCBAO xy ∴ CEAE=CFAD，即 5－ x 10－ x=14， 解得 x=103 ， ∴ E2(103 ， 0)； ②當(dāng)交點(diǎn) E 在 C 的右側(cè)時(shí)， ∵∠ ECF∠ BOA ∴要使 △ ECF 與 △ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE， ∵ BE 為 Rt△ ADE 斜邊上的中線， ∴ BE=AB=BD， ∴∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ BEA=∠ ECF， ∵ CF//BE，∴ CFBE=OCOE， ∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴ △ CEF∽ △ AED， ∴ CFAD=CEAE， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， 即 52x= x－ 5 10－ x， 解得 x1=5+5 174 ， x2=5－ 5 174 0（舍去）， ∴ E3(5+5 174 ， 0)； ③當(dāng)交點(diǎn) E 在 O 的左側(cè)時(shí)， ∵∠ BOA=∠ EOF∠ ECF ∴要使 △ ECF 與 △ BAO 相似，只能使 ∠ ECF=∠ BAO， 連結(jié) BE，得 BE=12AD=AB， ∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ ECF=∠ BEA， ∴ CF//BE， ∴ CFBE=OCOE， 又∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴ △ CEF∽ △ AED， ∴ CEAE=CFAD， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， ∴ 52x= x+5 10+x， 解得 x1=－ 5+5 174 ， x2=－ 5－ 5 174 0（舍去）， ∵點(diǎn) E 在 x 軸負(fù)半軸上，∴ E4(5－ 5 174 ， 0)， 綜上所述：存在以點(diǎn) E、 C、 F為頂點(diǎn)的三角形與 △ AOB相似，此時(shí)點(diǎn) E坐標(biāo)為： ∴ E1(52， 0)、 E2(103 ， 0)、 E3(5+5 174 ， 0)、 E4(5－ 5 174 ， 0). 10． （ 2020 江西， 21， 8 分）如圖，已知 ⊙ O 的半徑為 2，弦 BC 的長(zhǎng)為 23，點(diǎn) A 為弦 BC 所對(duì)優(yōu)弧 上任意一點(diǎn)（ B， C 兩點(diǎn)除外）。 又 PC 是 1O 的切線，則∠ ACP=90176。 ∴∠ BOD=2∠ A=100176?！唷?DAC=60176。 ∴∠ DCA+∠ DAC=90176?！?ABC=45176。= 23 ， tan30176。 ∴ PC ⊥ CD，又∵ DO⊥ OP，∴ Rt△ PDO 和 Rt△ PDC 是同以 PD 為斜邊的直角三角形，∴ PD 上的中點(diǎn)到點(diǎn) O、 P、 C、 D 四點(diǎn)的距離相等， ∴點(diǎn) O、 P