【文章內容簡介】 x x x xttx x t x t x x tttttx t x x t x x t x x tttkx x k x x k x x xkA v q v A pA v d l v p qv q v p q v q v p v p qv q v p v p q v q v p A????????????? ? ? ?????? ? ? ????????????? ? ? ?? ? ? ??????終 身 壽 險 的 現 值 之 間 有 這 樣 的 遞 推 公 式證 明實 際 意 義定 理 : 的 解 釋 :? ?? ?? ?111111011 0 , 1 , 2 ,1x x x xx k x k x k x kkkx x k x kkA v A v A qxkA v A v A q kvA v A q??? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ????把 上 式 改 成 下 式 :其 實 際 意 義 是 :本 式 是 對 x 歲 終 身 壽 險 現 值 的 分 解 , 如 果 對 在 歲用 本 式 , 可 以 得 到 :用 同 乘 以 兩 邊 , 并 累 加 在 一 起 , 可 以 得 到 :? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1111 1 111111,1,:1x x x xx x x x xx x x x xxxx x x x x xii A q q Ai A A A A qdvdA A A v A qAdAu A u A u Adx?????? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 兩 邊 乘 以 ( ), 有 ( )進 一 步 ，實 際 意 義 的 解 釋 ： 由 還 可 將 上 式 寫 成 :此 式 的 實 際 意 義 是 : 對 于 死 亡 瞬 時 支 付 保 險 金 的 終 身 壽 險 我 們 可 以 得 到微 分 方 程 生存年金精算現值 ? 純粹的生存保險 ? 年付一次生存年金的精算現值 ? 生存年金與壽險的關系 ? 年付 m次生存年金的精算現值 ? 變額生存年金 ? 生存年金的遞推公式 純粹的生存保險 生存保險是以被保險人生存為給付條件的保險，純粹的生存保險是在約定的保險期滿時，如果被保險人存活將得到規(guī)定的保險金額的保險。 純粹的生存保險是指被保險人在保險合同簽訂的時間期滿存活，將得到合同規(guī)定的保險金。 假設 （ x）投純粹的生存保險，保期為 n年，如果 n年后仍存活，將得到 1單位元的保險金，求這一保險在投保時的現值。 ? ?? ?1::1 / ( ) 1 ,nxxxnnn x x x nnnx n x nn x n xxxnn x x x nnxnxnn xn x n xxnEl x nlE l v lv l DE v plDE l i lEElE v p il????????? ? ???? ? ?（ 1 ） 表 示 這 一 現 值（ 2 ） 設 x 歲 時 ， 有 人 購 買 了 這 種 保 險 ， 于 是 在 歲時 ， 將 有 人 存 活則 有 ：即 ：（ 3 ）現 實 意 義 的 解 釋 ：（ 4 ） 在 利 率 和 生 者 利 下 n 年 的 折 現 系 數 ； 1/ 在 利 率 和 生 者 利 下 n 年 的 累 積 系 數 。1/它 是 利 率 累 積 因 子 ? ?1/nx x ni l l?? 與 生 存 累 積 因 子 的 乘 積 。? ?? ? ,112n x t x n t x ttxn x n t x te g n tE E EEEE???????對 證 明 并 解 釋 下 面 兩 個 式 子 ： 年付一次生存年金的精算現值 生存年金是以生存為條件發(fā)生給付的年金。 年金保險中，在保險期內年金的發(fā)放以被保險人存活為條件。 終身和定期壽險的繳費方式通常也采取生存年金的方式。 基本類型 終身年金 定期年金 延期年金 期首年金與期末年金 終身生存年金 年 金 的 支 付 以 被 保 險 人 生 存 為 條 件 ， 沒 有 期 間 限 制 ， 稱 為終 身 生 命 年 金 。11 1 11101,111xxx t xx t x x tt t tx x xxxx x x xx t x xt x x xaxaDNa E DD D DaxaN D N Na E aD D D? ? ????? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??（ 1 ） 用 表 示 某 人 歲 開 始 投 保 ， 支 付 年 金 的 時 間 是 每 年 年 末 ， 金 額單 位 元 的 生 命 年 金 現 值 。（ 2 ） 計 算（ 3 ） 表 示 歲 人 投 保 終 身 生 命 年 金 保 險 而 在 每 年 年 首 得 到 支 付 1單 位 元 的 現 值 。（ 2 ） 計 算 ， 從概率的角度看：每年一次的生存年金是在被保險人整值余壽期間定期確定的年金，生存年金的精算現值是依賴于被保險人整值余壽的期望值。 ? ?? ?? ?11100,1Kxx kKkkKxx kKkkL e t x K Kaa E a a qKaa E a a q??????????????的 整 值 余 壽 為 期 首 付 終 身 生 存 年 金 是 在 年 內 定期 確 定 年 金 的 期 望 ， 即期 末 付 終 身 生 存 年 金 是 在 年 內 定 期 確 定 年 金 的 期 望 ， 即可 以 證 明 兩 種 推 理 方 法 和 結 論 是 等 價 的 ， 如 何 證 ？定期生存年金 ? ?::1 1 1 111:1 2 3 1: : 111111111xnnnt x x t x t x n txnt t t txxx x nxxnx x x n xx n x na x na E D D DDDNNDa x na E E E E a??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?用 表 示 某 歲 人 投 保 一 定 期 年 ， 每 年 末 得 到 給 付 單 位 元 的期 末 生 命 年 金 的 現 值 。用 表 示 某 歲 人 投 保 一 定 期 年 ， 每 年 年 首 得 到 給 付 單 位 元 的期 首 生 命 年 金 的 現 值 。 我 們 有 ，11x x n x x x n x x nx x xN N D N N N ND D D? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?從概率的角度看： ? ?? ?? ?111: 1 10010,0.0.Knnnx x x n xk k kx n k n k nk k n kKnnx x n xkknkL e t x KYa K nYa K na E Y a q a q a q a pYa K nYa K na E Y a q a p?? ? ???? ? ??????????? ? ? ? ????????? ? ?? ? ??的 整 值 余 壽 為 期 首 付 定 期 n 年 生 存 年 金 給 付 精 算 現 值 是隨 機 變 量 ， 設 為 ， 即期 末 付 定 期 生 存 年 金 給 付 精 算 現 值 是 隨 機 變 量 滿 足 ：可 以 證 明 兩 種 推 理 方 法 和 結 論 是 等 價 的 ， 如 何 證 ？延期定期生存年金 ? ?1 1 1 1110111xnmxnmmmx n t x x n t x n t x m n tnmt t t txxx n x m nxmx n t xnmta x n maxnma E D D DDDNNDaE??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ????????? ? ? ?用 表 示 某 歲 人 投 保 一 延 期 年 進 入 年 金 給 付 ， 定 期 年 每 年 末給 付 １ 單 位 元 的 延 期 生 命 年 金 的 現 值 ； 表 示 某 歲 人 投 保 一 延 期年 進 入 年 金 給 付 ， 定 期 年 每 年 年 首 給 付 １ 單 位 元 的 延 期 生 命 年 金的 現 值 ．? ?111x n x m nxxxn m n mNNDaa?? ? ??????顯 然 ，從概率的角度看： ? ? ? ? ? ?11100.Knm n nmnx x n m xnm kk n m n nknnmYKnY a a n K m na a K m na E Y a a q a a pnm????????? ???? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ??期 首 付 延 期 年 ， 定 期 年 生 存 年 金 給 付 精 算 現 值 是 隨 機 變 量 設為 ， 即期 末 付 延 期 年 ， 定 期 年 生 存 年 金 給 付 精 算 現 值 的 結 論 是 什 么樣 的 ？延期終身生存年金 1110111xnxnx m t x x m t x m