【文章內(nèi)容簡介】 ? ?? ? ? ? ? ?? ?221m in n ddiJ u i k x i x i h u i u i? ? ??? ? ? ???? .st ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?0101 fx i x i u i s ixxx i x iu i U? ? ? ??? ??? ???? ?? 均衡狀態(tài)和它的穩(wěn)定性 往下我們將會研究穩(wěn)定性以及均衡狀態(tài)。 x 和 p 從必要條件中導出的，它們應(yīng)該滿足一定的微分方程組。對（ ）等式兩邊求關(guān)于時間的導數(shù)，則： 0)](2)()[ ???????? ???? kxppfpfcp（ （ ） 也可以由式（ ）中解得： ])()()[(1 xpfpfcpk ?????? ?? （ ） 將式（ ）、（ ）和（ ）依次代入式（ ），在消去 ???,x 后，可得： )(2)()( )(])()()[( pfpfcp pckxpfpfcpp ????? ??????? ?? （ ） ][ ppkx ??? （ ） 接著求解（ ）、（ ）兩個微分方程組的穩(wěn)態(tài)解，把 0?p? ， 0?x?分別代入可得： 0)(])()()[( ??????? pckxpfpfcpr （ ） 0??pp （ ） 0pp?? （ ） 若用帶有右上標 s 表示穩(wěn)態(tài)解（均衡解），則 pps? （ ） 代到（ ）式可得： 天津科技大學 2021 屆本科生畢業(yè)論文 11 )](][[)( 1 pfkcppfx s ????? ?? （ ） 因此優(yōu)勢公司所占市份額的穩(wěn)態(tài)值如下： 0)( )](][[)()( 1 ??????? ? pf pfkcppf xpfm ss ? （ ） 從上面穩(wěn)態(tài)值的等式中易得：假如優(yōu)勢公司相對對手公司來說，沒有一定的成本優(yōu)勢，即 cp? ，那么從（ ）、（ ）可得： )()](][[)( 1 pfpfkcppfx s ?????? ?? 0)( )](][[)()( 1 ??????? ? pf pfkcppf xpfm ss ? 有上述的推導可說明，優(yōu)勢公司因?qū)嵤﹥r格最優(yōu)策略的原因，最終會造成它退出市場 。 這個推導可以這樣證明：關(guān)于比 c 要大卻又極其靠近 c 的 p ， sx 以及 sm 都為正值。要想證明該定論，我們首先計算： cpcps pfkpfcppfpx??? ??????????? ))](()()()([ 1? 0)(2 1 ???? ? kcf ? （ ） 因 )(cfx cps ?? ， pxs ?? / 是連續(xù)的，而且由（ ）方程式可得，對于全部超過 c 卻極其靠近 c 的 p ，能夠滿足 )(pfxs ? 。進一步得到，對于全部超過 c 卻極其靠近 c 的 p ，也滿足 0?sm 。 往下為解說穩(wěn)態(tài)的穩(wěn)定性，需要計算（ ）、（ ）兩個方程組的Jacob 矩陣 ???????? ?????????????????????????0),(),(0,0kcpHxxpxxpppxpJ ppxpss???????? （ ） 注意，由 （ ） 得 0)(2)()(),( ??????? pfpfcpcpH pp ， 則0),(det ?ss xpJ ， 意味著 穩(wěn)態(tài) ),( ss xp 為鞍點。滿足條件 ??t 時，位于 x p 平面上的穩(wěn)定臂有兩條線，并且這兩條線收斂至穩(wěn)態(tài) ),( ss xp ，兩條直線在圖 8 中天津科技大學 2021 屆本科生畢業(yè)論文 12 的 x p 平面已用箭頭標出。 要在 x p 平面上畫相圖，首先假設(shè) 0?p? 可得（ ）式，對（ ）式的左端求關(guān)于 p 的微導，求導后在 ),( ss xp 點取值可得： 0),()](2)()[( ??????? cpHpfpfcp pp? 根據(jù)隱函數(shù)定理，在某個 ),( ss xp 的相關(guān)鄰域內(nèi)沿 0?p? ，標注 )(xpp? 。然后求解： 0)(1/ / 0,00,0 ???? ?????? ???? pHpp xpxp ppxpxp ???? ? ? （ ） 由上式可得，曲線在 0?p? 處取的切線，在 ),( ss xp 的相關(guān)鄰域內(nèi)，所取切線向下傾斜。再者因為滿足條件： 00,0 ???? ?? ?xppp ??? 0),(0,0 ????? ?? cpHxp ppxp ???? 圖 1 的相圖中 0?p? 線來移動 p? ，有兩種方式移動，一種方式以 p 遞增的方向增加，另一種方式是以 x 遞增 方向增加，目的都是由 0 增加到正數(shù)，所以 0p? 位于 0?p? 線的右上方， p 隨時間流而遞增， 0p? 位于 0?p? 線的左下方， 此時 p 隨時間流而遞減。 當 0?x? 時， pp? ，則可以得到當 0x? 時， pp? ，其中 x 隨時間遞增而 增加；當 0x? 時， pp? ， x 隨時間遞減而增加。 天津科技大學 2021 屆本科生畢業(yè)論文 13 圖 1 相圖中帶箭頭的粗直線是 x p 平面的最優(yōu)軌線，則可得： sxx?0 為初始條件，優(yōu)勢公司的最優(yōu)價格策略是，將它的初價定于限價之上，滿足 ), 00 xp（ 位于穩(wěn)定臂上，在時間的增加過程中，設(shè)定的價格隨之而下滑，并且下滑截止于 p 。顯然整個過程中 pp? ，這樣看來有利可獲，所以會引誘一批競爭性公司擠進市場，慢慢的搶奪優(yōu)勢公司的市場份額。反之的情況下，起始條件滿足 sxx?0 ，優(yōu)勢公司采用的最優(yōu)價格策略前面策略相反，這會把它的初價定于限價之下，同樣滿足), 00 xp（ 位于穩(wěn)定臂上，在時間的整個推進過程中，價格慢慢回升至限價 p 。顯然整個過程中 pp? ，這種 情況下，商家不但無利可獲，甚至虧損，那些競爭性公司會陸續(xù)的推出市場，這樣一來，優(yōu)勢公司的市份額又慢慢擴大。 比較靜態(tài)分析 往下我們將會對穩(wěn)態(tài)的比較靜態(tài)進行分析，這里我們將會納入 kc, 兩個參數(shù)來分析穩(wěn)態(tài)的比較靜態(tài)。對（ ）、（ ）和（ ）三個方程式 分別求 kc, 的導數(shù)可得： 0)( ??????? ?kpfcx s （ ） 0?x? 0?p? x p p sx 天津科技大學 2021 屆本科生畢業(yè)論文 14 0)()()( / 1 ????? ?????? ?pf kpfpf cxcm ss ? （ ） 0][1 ????? ? pckx s ? （ ） 0)( ][)( / 1 ????????? ? pf cppf kxkm ss ? （ ） 0???cps 0???kps （ ） 由（ ）式得：對于優(yōu)勢公司的所有商品，一旦其平均成本提高了，就意味著競爭對手在成本上的優(yōu)勢就增加，從而競爭對手的市場占有率擴大，這樣便會導致優(yōu)勢公司的市場份額減少。 k 值越大，意味著競爭對手對價格變動的靈敏度就越高，式（ ）的右端值小于零，說明它的市場份額將會漸漸減少，式（ ）右端值大于零，說明占優(yōu)勢公司的穩(wěn)態(tài)市場占有 率將會逐漸回升。 綜上所述，穩(wěn)態(tài)價格只是影響優(yōu)勢公司市場占有率中的一個重要因素，因為有恒定穩(wěn)態(tài)價格時，只要產(chǎn)品的平均成本增加，優(yōu)勢公司的市場占有份額依然會減少；此外，同樣有恒定穩(wěn)態(tài)價格，只要參數(shù) k 增大，那么優(yōu)勢公司的市場份額又會得到回升。這種現(xiàn)象在比較動態(tài)分析中會更容易解釋清楚。 局部比較動態(tài)分析 在下文中我們首要分析成本因素，現(xiàn)在來考慮優(yōu)勢公司平均成本提高的現(xiàn)象。從（ ）得到 ， 0?x? 這條線 與成本 c 的變化沒有關(guān)系，即該直線不會隨成本 c 提高而移動，但（ ）式說明，以上這種情況下，競爭性公司的市場銷售額升高了，同時（ ）式說明，優(yōu)勢公司產(chǎn)品的穩(wěn)態(tài)價格不會隨之而變，這樣一來可能變化的結(jié)果就是， 0?p? 這條曲線向上移動，可以解釋這一點的是由隱函數(shù)定理得的下式： 0),( )(/ / 0,00,0 ?????? ?????? ???? cpH kpfpp cpcpppxpxp ?????? ? ? 綜上說明，沿著 0?p? 這條曲線， c 和 p 的變化方向相同，即同增同減。這樣就意味著， c 值增大時， 0?p? 這條曲線會向上推移。曲線移動后得到一個新的交點，這個交點也就是新的穩(wěn)態(tài)解，我們把穩(wěn)態(tài)解均稱為鞍點。只要沒有提高 天津科技大學 2021 屆本科生畢業(yè)論文 15 圖 2 平均成本，那么優(yōu)勢公司就會一直處在原來的穩(wěn)態(tài)。一旦提高產(chǎn)品成本，則優(yōu)勢公司 的穩(wěn)態(tài)水平發(fā)生變化，直至處在新的穩(wěn)態(tài)水平。在圖 2 中， soldx 是 )(tx 的起始條件，當產(chǎn)品的成本升高時，從相圖可以看出，起始的穩(wěn)態(tài)變化到新穩(wěn)態(tài)是優(yōu)勢公司的優(yōu)化過程。 圖 2 的相圖中，老穩(wěn)態(tài)至新穩(wěn)態(tài)的優(yōu)化過程表明：當產(chǎn)品成本提高時，也就說它高于限價，此時，該產(chǎn)品的價格會瞬間超出新鞍點的穩(wěn)定臂上跟 soldx 相對應(yīng)的價格，此時在 soldx 能夠固定競爭性公司的銷售數(shù)額。 當優(yōu)勢公司提高它的售價之后，競爭性公司的市場占有率將會擴大，直至實現(xiàn)新的穩(wěn)態(tài)點，接下來，優(yōu)勢公司的價格便會慢慢下滑至限價。這樣一來：雖然穩(wěn)態(tài)價格對優(yōu)勢公司來說恒定不變，但在達到新穩(wěn)態(tài)的整個變化中，優(yōu)勢公司把售價定于限價之上，這樣就會使對手有更大的銷售額，占有更大的市場比例。 分析了成本因素后，接下來開始討論反應(yīng)競爭對手的系數(shù) k 值變化的影響，也稱之為局部比較動態(tài)討論。從（ ）式可得， k 值不影響直線 0?x? 的變 化，顯然增大 k 值時，直線 pp? 的位置不會發(fā)生變化。倘若 cp? ，（ ）式說明：當 k 值遞增時， sx 會隨之減少，然而此時優(yōu)勢公司的穩(wěn)態(tài)價格不會發(fā)生改變。 從以上情況可得， 凡是依賴于 0?p? 的曲線，都會發(fā)生向下位移 。該結(jié)0?x? x p p newp 0?? oldp 0?? oldsx newsx 天津科技大學 2021 屆本科生畢業(yè)論文 16 論在下式中得以體現(xiàn)： 0),(/ / 0,00,0 ????? ?????? ???? cpH cppp kpkp ppxpxp ????? ? ? 同時此式說明：受 0?p? 決定的曲線，在穩(wěn)態(tài)的相鄰范圍內(nèi)，若 k 值遞增，則 p 會隨之減小。也就意味著，對于同一個 x 值， k 與 p 的變化方向相反，意味著 k 較大時，依賴于 0?p? 的曲線將會發(fā)生向下位移。 天津科技大學 2021 屆本科生畢業(yè)論文 17 2 經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性 討論分析經(jīng)濟控制論的重中之重為系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題。我們在分析 運行經(jīng)濟系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，主要考慮這個穩(wěn)定性能不能達到新的預期目標。這樣一來，若我們對系統(tǒng)穩(wěn)定性有一個預先的分析，并且 做 出一些較為準確的分析結(jié)果，那么不管之前的穩(wěn)定性是差還是好，我們都可以采取一些相應(yīng)穩(wěn)定性的措施，從而采取能夠改善經(jīng)濟系統(tǒng)運行能力的相對應(yīng)措施，讓經(jīng)濟系 統(tǒng)進一步靠近穩(wěn)定性的理想狀態(tài)。討論穩(wěn)定性問題一般有系統(tǒng)漸漸穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定這三種可能。 穩(wěn)定性的定義 令有一個離散時間系統(tǒng)為： ? ? ? ?1x k f x k?? ???? () 其中 : ? ? nnx k R ?? ， n 維的 ??fx向量是一個函數(shù)，而且為已知函數(shù)。 若有 ex ，且 nnexR?? ， 則有下式： ? ?=eex f x () 我們把 ? ? 0ex k x??叫做 ()式均衡穩(wěn)態(tài)。 假設(shè)存在一個經(jīng)濟系統(tǒng)具有線性離散型： ? ? ? ? ? ?1x k A x k B u k? ? ? （ ） ? ? ? ?y k C k? （ ） 注意：式中 ??xk 是 n維，屬于狀態(tài)向量， 式中 ??uk是 m 維，屬于控制向量，