氦原子基態(tài)能級(jí)的探討畢業(yè)論文正文(編輯修改稿)
2025-03-12 13:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 nn E??? (3) 設(shè) ?是任意一個(gè)歸一化的波函數(shù)，將 按 n?展開(kāi)： ??? n an (4) 在 Ψ 所描寫的狀態(tài)中，體系能量的平均值是 H ??? dH??^* (5) 將 (4)式代入 (5)式，得 H?? nm ma, *na ??? dH? ^* 畢業(yè)論文 4 應(yīng)用 (3)式有 H?? nm ma, *naE? ??? d* ? nm nmaa, *Emn? ?? n na2||nE (6) 由于 0E是基態(tài)能量，所以 nEE?0(n=1,2, … )，在上式中用 0E代替 nE，則 ?H0E?n na 2|| 0? (7) 最后一步用了 ?的歸一化條件1|| 2 ??n na。 (6)式和 (7)式給 出： ?0E ??? dH?^* (8) 這個(gè)不等式說(shuō)明，用任意波函數(shù) ?算出^H的平均值總是大于體系基態(tài)能量，而只有當(dāng) ?恰好是體系的基態(tài)波函數(shù) 0?時(shí)，^H的平均值才等于能量 0E。 上面討論中曾假定 是歸一化的，如果 ?不是歸一化的，那么 (5)式應(yīng)該寫為： H?????????ddH*^* (9) (8)式應(yīng)寫為 ?0E?? ??? ??? d dH*^* (10) 根據(jù)波函數(shù) ?算出^H的平均值總是不小于 0E，我們可以選取很多的 ?并算出^H的平均值，這些平均值中最小的一個(gè)最接近于 0。 畢業(yè)論文 5 變分法求體系基態(tài)能量的步驟 選取一個(gè)參量的嘗試波函數(shù) 選取含有一個(gè)參量 ?的嘗試波函數(shù) )(??代入 (5)式和 (9)式，算出平均能量 )(?H，然后由 0)( ???dHd (11) 求出 )(?H的最小值。 所得結(jié)果就是 0E的近似值。 選取兩個(gè)參量的嘗試波函數(shù) 選取含有兩個(gè)參量 ?、 ?的嘗試波函數(shù) ),( ???代入 (5)式和 (9)式，算出平均能量),(?H，然后由 ????? ),(H=0， ????? ),(H=0 (12) 求出 ),( ??H的最小值，所得結(jié)果就是 0E的近似值 。 畢業(yè)論文 6 第三章 氦原子基態(tài)能量的變分計(jì)算 根據(jù)第二章變分法原理可知，氦原子的基態(tài)能量可由下式計(jì)算得到： }{m in^*0 ??? dHE ?? (13) 其中，^H為哈密頓算符 , Ψ 為歸一化的試探波函數(shù)。 若波函數(shù)未歸一化，氦原子的基態(tài)能量可由下式計(jì)算得到： ^*0 *m inHdEd? ? ?? ? ?????? ?????? () 氦原子有一個(gè)原子核和兩個(gè)電子，它們都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于原子核的質(zhì)量相對(duì)于電子非常大 ,核的運(yùn)動(dòng)比電子的運(yùn)動(dòng)要慢的多，因此近似把核看成是固定的，氦原子的哈密頓算符可寫為： ^H ?22???(2221 ???) 122res? 222res? 12r? (14) 其中， ?是電子質(zhì)量， 1r與 2r分別代表第一、第二個(gè)電子到核的距離； 12r為兩個(gè)電子之間的距離。 為方便計(jì)算，采用原子單位 (其中能量單位為哈特利 ,即eVae ??)，氦原子體系的非相對(duì)論哈密頓算符可寫為： ^H = 21?(2221 ???) 12r?22r?+ 121 () 嘗試波函數(shù)的選擇 用變分法求近似解的關(guān)鍵在于選擇合適的嘗試波函數(shù)，嘗試波函數(shù)選得好，可以在很大程度上提高計(jì)算結(jié)果的精度。 對(duì)類氫離子 ,電子的基態(tài)波函數(shù)為 (取原子單位 ,以下暫不考慮歸一化常數(shù) )zre?,它所表示的狀態(tài)有這樣一個(gè)特點(diǎn) :電子的最概然半徑為 1z,電子在半徑為 1z的球 殼附近畢業(yè)論文 7 分布的概率較大。對(duì)于類氦離子 ,如果不考慮兩個(gè)電子相互排斥作用 ,則基態(tài)波函數(shù)為? ?12zr re??,二電子的最概然半徑皆為 1z,但若考慮兩電子的相互作用 ,利用單參數(shù)變分法求得基態(tài)近似波函數(shù)為[1,8]： 12( )( )z rre ??? ? (15) (15)式中 ?= ,由于排斥作用 ,兩個(gè)電子的最概然半徑增長(zhǎng)到? ?1 z ??.我們認(rèn)為這個(gè)模型仍然比較粗糙 ,二電子之間的關(guān)系考慮得不夠 ,現(xiàn)將試探波函數(shù)改進(jìn)為如下形式：假如二電子可以區(qū)分即存在某種差別 ,我們?cè)O(shè)想由于二電子的徑向排斥作用 ,電子 1 的最概然半徑為 1?且處于形式為1re??的波函數(shù)描述的狀態(tài) ,電子 2的最概然半徑為 ?且處于形式為2re??的波函數(shù)描述的狀態(tài) ,則兩個(gè)電子的基態(tài)波函數(shù)可寫作： 1 2 1 2()r r r re e e? ? ??? ? ? ?? (16) ?, ?為變分參數(shù)。 顯然 ,上述說(shuō)法不滿足全同粒子波函數(shù)交換對(duì)稱性的要求 ,事實(shí)上我們不能說(shuō)清某個(gè)電子處于哪個(gè)狀態(tài) .由于基態(tài)為 01s態(tài) ,波函數(shù)的自旋部分是反對(duì)稱的 ,空間部分要求是對(duì)稱的 ,因此 ,滿足交換對(duì)稱性要求的波函數(shù)為 : ),( 21rr? ][ )()( 1221 rrrr eeA ???? ???? ?? (17) 值得強(qiáng)調(diào) ,如果 =??,則式 (17)退化為單參數(shù)的 .它們究竟會(huì)不會(huì)相等不是由想象而是由變分原理 —— 能量平均值取極小值條件來(lái)決定 .在計(jì)算時(shí)，需注意以上波函數(shù)是未歸一化的。 氦原子能量平均值的計(jì)算 利用 ()式和 (16)式，我們先計(jì)算??? dH? ^*，然后計(jì)算 ???d*。有： ??? dH? ^*1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )221 2 1 21 2 121 2 2 1[ ] ( ) [ ]2r r r r r r r rAe e Ae e ddr r r?? ?? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??????? ??????? (18) 畢業(yè)論文 8 =21)()(121)()( ][)221]([ 12211221 ?????????? ddeeAreeA rrrrrrrr ???????? ??????? () 21)()(222)()( ][)221]([ 12211221 ?????????? ddeeAreeA rrrrrrrr ???????? ???????? () +21)()(12)()( ][1][ 12211221 ?????????? ddeeAreeA rrrrrrrr ???????? ?????? () 首先，求解 (18)式中的 ()式，有 21)()(121)()( ][)221]([ 12211221 ?????????? ddeeAreeA rrrrrrrr ???????? ??????? =221 A? 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )21 1 221 1 11 ()r r r r r r r re e r e e d dr r r? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ??????? () 21)()(1)()(2 ][][2 12211221 ?????????? ddeereeA rrrrrrrr ???????? ????? ?? () 先求解 ()式中的 ()式，有 221 A? 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )21 1 221 1 11[ ] ( )[ ]r r r r r r r re e r e e d dr r r? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??????????????? 221 A?? 1 2 2 1 1 2( ) ( ) ( )21212[ ] ( )r r r r r re e e d dr? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?????????? 221 A? 1 2 2 1 2 1( ) ( ) ( )21212[ ] ( )r r r r r re e e d dr? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ?????????? 1)(20 121220 222221)2(216 drerrdrrA rr ????? ???? ?? ??? 畢業(yè)論文 9 1)()(12120 121220 22221221
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