【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 現(xiàn)了彎折。下面考慮給出了頻率響應(yīng)的情況，給定 ( ) ( )jH e G?????? （ 31） 式中 ()G? 是實(shí)數(shù)。既然 ()G? 是實(shí)數(shù)，所以它只會(huì)影響輸入信號(hào)的幅值大小，而je??? 僅僅使輸入信號(hào)產(chǎn)生相移。如果 ( ) 0G?? 。相位 ()?? ???? ，那么系統(tǒng)是一個(gè)線性想一系統(tǒng)。如果 ( ) 0G?? ，相位 ()? ? ?? ??? ? ，那么這種情況下，延遲時(shí)間和頻率是有關(guān)的。從上面給出的線性相位的定義的角度來(lái)說(shuō)，該系統(tǒng)不是嚴(yán)格意義上的線性相位系統(tǒng)。但是可以將上面的式子寫(xiě)成 ( ) [ ( ) ]jH e G??????? 。這樣一來(lái)中括號(hào)里的函數(shù)就變成了線性相位，此時(shí)波紋不再失真，負(fù)號(hào)只要將波紋沿縱軸反轉(zhuǎn)即可。但是如果 ()G? 會(huì)改變符號(hào)，那么波紋就可能失真。 ()G? 只改變水平軸附近的符號(hào)，即阻帶內(nèi)的符號(hào)， 此時(shí)阻帶內(nèi)的信號(hào)極大地衰減。所以信號(hào)通過(guò)一個(gè)頻率響應(yīng)系統(tǒng)時(shí)，通帶內(nèi)信號(hào)沒(méi)有產(chǎn)生任何失真。這樣的系統(tǒng)也常常稱為線性相位系統(tǒng)。這0002TT???0002TT?? ????0 02T???13 里順便要指出的是模擬濾波器不可能有線性相位特性，只可能在很小的一個(gè)頻帶內(nèi)近似地認(rèn)為是線性相位。 線性相位濾波器 可以很容易設(shè)計(jì)出滿足線性相位特性的 FIR 濾波器，這使得 FIR 濾波器得到廣泛應(yīng)用。如前所述， FIR 濾波器肯定是穩(wěn)定的。另一方面，線性相位 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)就不那么簡(jiǎn)單了，而且通常只能使它在一定的頻帶頻率范圍內(nèi)滿足線性相位性質(zhì)。雖然如此，但是 IIR 也有比 FIR 優(yōu)越的方面 ，那就是當(dāng) IIR 濾波器和 FIR 濾波器具有相同幅值響應(yīng)時(shí)，前者所有的系數(shù)少很多。 假設(shè)一個(gè)因果 FIR 濾波器 同 （如 下 12( ) ( 0) ( 1 ) ( 2) ( ) MH z h h z h z h M z? ? ?? ? ? ? ?式中濾波器的長(zhǎng)度為 1M? ， ()hi 為濾波器系數(shù)。以下表明濾波器的線性相位特性可以通過(guò)濾波器系數(shù)成偶數(shù)對(duì)稱或奇數(shù) 對(duì) 稱 的 。 系 數(shù) 偶 對(duì) 稱 意 味 著 ( ) ( )h n h M n? ? ?， 系 數(shù) 奇 對(duì) 稱 意 味 著( ) ( )h n h M n? ? ? ?。 令 5M? ，此時(shí)就有六個(gè)系數(shù)，假設(shè)這些系數(shù)是偶數(shù)對(duì)稱的，如下面關(guān)系式，其中 ( 0) ( 5 ) , (1 ) ( 4) , ( 2) ( 3 )h h h h h h? ? ? 。所以其脈沖響應(yīng)關(guān)于點(diǎn) n 對(duì)稱。 （ 32） 對(duì)于 M 為奇數(shù)的一般情況，有以下結(jié)論： FIR I? （ M 是奇數(shù)，系數(shù)偶對(duì)稱） 1220( ) 2 ( ) c os2MMjiMH e h i i?????????? ????? （ 33） 5 22052 ( ) c o s 2jie h i i? ??????????????52 5 3 1( 2 ( 0 ) c o s ( ) 2 ( 1 ) c o s ( ) 2 ( 2 ) c o s ( ) )2 2 2je h h h? ? ? ??? ? ?5 5 5 3 3 1 12 2 2 2 2 2 2( ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) )j j j j j j je h e e h e e h e e? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 3 4 5( 0) ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 1 ) ( 0)j j j j jh h e h e h e h e h e? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 3 4 5( ) ( 0 ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 4) ( 5 )j j j j jH h h e h e h e h e h e? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?14 注意到求和號(hào)后每項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，所以式（ 33）和（ 32）具有相同形式，所以 FIR1濾波器是線性相位的。 令 6M? ，此時(shí)就有七個(gè)系數(shù)，而且是對(duì)稱的。此時(shí)的頻率響應(yīng)變?yōu)? 2 3 4 5 6( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )j j j j j jH h h e h e h e h e h e h e? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 5 6( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0 )j j j j j jh h e h e h e h e h e h e? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 2 2( ( 3 ) ( 0) [ ] ( 1 ) [ ] ( 2) [ ]j j j j j j je h h e e h e e h e e? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 3 ( ( 3 ) 2 ( 0 ) c o s( 3 ) 2 ( 1 ) c o s( 2 ) 2 ( 2 ) c o s( ) )je h h h h? ? ? ??? ? ? ? 230( ( 3 ) 2 ( ) c o s ( 3 ) )jie h h i i? ???? ? ?? （ 34） FIR II? （ M 為偶數(shù)，奇數(shù)偶對(duì)稱） （ 35） 那么當(dāng)奇數(shù)奇對(duì)稱時(shí)，對(duì)于 5M? ，假設(shè)系數(shù)如圖所示，此時(shí)符號(hào) 發(fā)生改變，這導(dǎo)致了分子中的余弦函數(shù)被替代。下面給出了通用公式： FIR III? （ M 為奇數(shù)，系數(shù)奇對(duì)稱） （ 36） 因?yàn)?M 是奇數(shù)，所以系數(shù) ()hn 的中心 ()2Mh 應(yīng)該是本身的負(fù)數(shù)，所以必須等于0。對(duì)于 6M? ，通用公式應(yīng)該為 （ 37） FIRIII 和 FIRIV 濾波器和等式的形式不同，所以不是線性相位的。這種濾波器的相位響應(yīng)為 () 22M ?? ? ?? ? ?。相應(yīng)響應(yīng)的濾波器常常稱為廣泛線性相位。 （ 38） 220( ) 2 ( 2 ( ) c os( ) )22MMjiMMH e h h i i?????? ? ??12[]220( ) 2 ( ) si n( )2MMjiMH e h i i???????????12[]220( ) 2 ( ) si n( )2MMjiMH e h i i???????????() 2M? ? ? ?? ? ?15 0?? 或 ? 是這一情況的特例，此時(shí)的濾波器就變成前面討論的線性相位了。廣泛線性相位 濾波器在許多場(chǎng)合有廣泛應(yīng)用，包括窄帶濾波器以及通訊信號(hào)的解調(diào)。 這些濾波器有固定的群延遲或時(shí)間延遲，其定義如下： （ 39） 線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 最優(yōu)設(shè)計(jì)就是充分利用技術(shù)指標(biāo)來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。誤差容限設(shè) 計(jì)低通濾波器，要求在頻帶 0 c????內(nèi)以最大誤差 1? 逼近 1，在頻帶 s? ? ???內(nèi)以最大誤差 2? 逼近零位。我們將一要求表示為加權(quán)逼近誤差函數(shù)的形式。并且使用最大誤差最小化準(zhǔn)則將其描述為切比雪夫逼近問(wèn)題。最優(yōu)線性相位 FIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)就是要設(shè)法求得切比雪夫逼近的最優(yōu)解的濾波器的系數(shù)。人們?cè)趯で笞顑?yōu)化設(shè)計(jì)上做了大量的工作。 1970 年發(fā)表了非線性方程的方法求解切比雪夫逼近的最優(yōu)解。 1971 年出現(xiàn)了更好的拉格朗日內(nèi)插多項(xiàng)式求解法。到了 1973 年又找到了雷米茲算法求解加權(quán)誤差的方法。非線性方程解法及多項(xiàng)式內(nèi)插法，之適用于設(shè)計(jì)那些誤差極值點(diǎn)數(shù)目為最大可能性的濾波器，也即最多波紋濾波器。同時(shí)由于 N， 12,??是固定的，所以濾波器的頻帶邊緣 ( , )cs?? 不能預(yù)先規(guī)定，需在最后的解求得以后，才能計(jì)算出來(lái)。它可用來(lái)設(shè)計(jì)任何最優(yōu)（最大誤差最小化）線性相位 FIR 濾波器 。此外，目前還有線性規(guī)劃技術(shù)設(shè)計(jì)方法，下面對(duì)雷米茲算法及線性規(guī)劃技術(shù)設(shè)計(jì)法分別加以介紹。 雷米茲交換法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器 雷米茲交換算法是為了在 N 固定時(shí)，能控制 c? 和 s? 的需要而產(chǎn)生的。前面已將最優(yōu)線性相位 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題描述為切比雪夫逼近問(wèn)題，逼近函數(shù)是 r 個(gè)獨(dú)立的余弦函數(shù)之和。交替定理給出了加權(quán)逼近誤差函數(shù)的一組必要充分條件，使逼近成為所需頻率響應(yīng) ()dH? 的唯一最好逼近。 基于交替定理的最優(yōu) FIR 濾波器的設(shè)計(jì)程序的主要步驟： （ 1） 輸入部分：規(guī)定所需要的頻率響應(yīng)為 ()dH? ，加權(quán)函數(shù) ()W? 和濾波器的長(zhǎng)度 N。 （ 2） 用公式表示逼近問(wèn)題，即形成 ( ) ( )dH W P????和 。 ( ) ( )dd? ? ? ????16 （ 3） 用雷米茲多次交換算法，求逼近問(wèn)題的解。 （ 4） 計(jì)算濾波器的單位取樣響應(yīng)。 第一步設(shè)計(jì)濾波器算法，表達(dá)所要求設(shè)計(jì)的濾波器的類型和必須滿足的 性能要求。第二步在前面切比雪夫加權(quán)逼近已提及。第三步用雷米茲算法求逼近問(wèn)題的解。需要指出的是，在整個(gè)程序中，雷米茲算法是作為一個(gè)子程序出現(xiàn)的，在調(diào)用該子程序以前，主程序已完成了以下幾點(diǎn)。 ① 讀輸入數(shù)據(jù)（濾波器的技術(shù)規(guī)格） ② 根據(jù)濾波器的類型和長(zhǎng)度確定了逼近函數(shù) cos 的個(gè)數(shù) r ③ 用密集的格點(diǎn)代替了頻率區(qū)間 ?（ 0～ ） 。確定了兩格點(diǎn)間的距離為 因而總格點(diǎn)數(shù)等于（ N+1）格點(diǎn)密度 /2，并給所有下標(biāo)格點(diǎn)賦上了標(biāo)稱頻率值。 ④調(diào)用了子程序 EFF 和 WATE 計(jì)算 各格點(diǎn)頻率上所要求的函數(shù)值 d()H? 和加權(quán)函數(shù)值 ()W? . ⑤根據(jù)四種情況統(tǒng)一的公式將 d()H? 、 ()W? ，變成了 ( ) ( )dHW????和 。 ⑥根據(jù)交替定理，建立了一組等間隔的極值頻率初始值。 等波紋的誤差曲線是在多次迭代中形成的。雷米茲迭代計(jì)算是從（ r+1）個(gè)極值頻率 ? ?k ( 0,1, )kr? ? ???的初始假設(shè)值開(kāi)始的。第一次迭代的（ r+1）個(gè)極值頻率是按等間隔假設(shè)的，這些頻率位于區(qū)間 0 cs? ? ? ? ?? ? ? ?和 內(nèi)，并且由于 c? 和 s? 是固定的，所以 c? 中的某一頻率，即 1( 0 ) ,c l s llr? ? ? ? ?? ? ? ?。假定這些頻率點(diǎn)上的誤差函數(shù)的數(shù)值為 ? ，其符號(hào)為正負(fù)交替。這就是說(shuō)根據(jù)問(wèn)題的原始要求，對(duì)于給定的一組極值頻率 ? ?k ( 0,1, )kr? ? ???，需要求以下方程 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) kk k kW H P? ? ? ?????? ? ????? 0,1,kr? ??? 10( ) ( ) c o s ( )rkknP a n n????? ? 式中 01rk i kiikxx???? ?? ???? ????（ 濾 波 器 長(zhǎng) 度 N+1 ）格 點(diǎn) 密 度 逼 近 函 數(shù) cos 的 個(gè) 數(shù) r 對(duì) 情 況 1 為217 cosiix ?? （ 310） ? 計(jì)算出以后，確定出 r 個(gè)極值頻率 0 1 1, r? ? ????? 上的 ()P? 值 kC ( ) ( 1 ) ()kk d k kCH W?? ?? ? ? 0,1, 1kr?? （ 311） 利用拉格