高中人教a版數(shù)學(xué)必修3學(xué)案：331-幾何概型-332-均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生-【含答案】(編輯修改稿)
2025-04-05 05:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 交于點M，求AM小于AC的概率．[解] 由題意，應(yīng)看成射線CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的，在AB上截取AC′＝AC(如圖)，則∠ACC′＝176。，故滿足條件的概率為＝.2．(變結(jié)論)本例條件不變．(1)若求AM不大于AC的概率，結(jié)果有無變化？(2)求AM大于AC的概率．[解] (1)結(jié)果不變．幾何概型中，一點在線段上的長度視為0，包含與不包含一點，不改變概率的結(jié)果．(2)如圖，點M隨機地落在線段AB上，故線段AB的長度為試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度，在AB上截取AC′＝AC，當(dāng)點M位于線段C′B上時，AMAC，故線段C′B即為構(gòu)成事件的區(qū)域長度．∴P(AMAC)＝P(AMAC′)＝＝1－.求解與長度有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點在求解與長度有關(guān)的幾何概型時，首先找到試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關(guān)鍵，但邊界點是否取到不會影響事件A的概率.與面積、體積有關(guān)的幾何概型【例2】 (1)如圖所示，來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則( )A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3(2)在一個球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一動點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為( )A. C. D.思路點撥：(1)根據(jù)幾何圖形特征．分別計算區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積應(yīng)用面積型幾何概型定義判斷．(2)所求概率涉及到體積問題應(yīng)用與體積有關(guān)的幾何概型公式求解．(1)A (2)D [(1)法一：設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π＋π－＝π(c2＋b2－a2)＋bc＝bc，所以S1＝S2，由幾何概型的知識知p1＝p2，故選A.法二：不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝2，則BC＝2，所以區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積，為S1＝22＝2，區(qū)域Ⅲ的面積S3＝－2＝π－2，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝π12－(π－2)＝，得p1＝p2＝，p3＝，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故選A.(2)由題意可知這是一個幾何概型問題，棱長為1的正方體的體積V1＝1，球的直徑是正方體的
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