一輪復習配套講義：第4篇-第1講-平面向量的概念及其線性運算(編輯修改稿)
2025-04-03 03:33 本頁面
【文章內容簡介】 共線定理，得與共線?再看是否有公共點?得到證明的結論．(2)假設存在實數(shù)k?利用向量共線定理?列出方程?根據(jù)a，b是兩個不共線的向量?得出方程組?解得k值．(1)證明 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.∴，共線，又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)解 假設ka＋b與a＋kb共線，則存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝177。1.規(guī)律方法 (1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線．(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當且僅當λ1＝λ2＝0時成立，則向量a，b不共線.學生用書第70頁【訓練3】 (2014西安模擬)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d同向，則實數(shù)λ的值為_____．解析 由于c與d同向，所以c＝kd(k＞0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－.又因為k＞0，所以λ＞0，故λ＝1.答案 11．向量的加、減法運算，要在所表達的圖形上多思考，多聯(lián)系相關的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關的結論．2．對于向量共線定理及其等價定理，關鍵要理解為位置(共線或不共線)與向量等式之間所建立的對應關系．要證明三點共線或直線平行都是先探索有關的向量滿足向量等式b＝λa，再結合條件或圖形有無公共點證明幾何位置． 方法優(yōu)化3——準確把握平面向量的概念和運算【典例】 (2012浙江卷)設a，b是兩個非零向量．( )．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|[一般解法] (排除法)選項A，若b＝－a，則等式|a＋b|＝|a|－|b|成立，顯然a⊥b不成立；選項B，若a⊥b且|a|＝|b|，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立；選項D，若b＝a，則|a|－|b|＝0，顯然，|a＋b|＝2|a|≠0，故|a＋b|＝|a|－|b|不成立．綜上，A，B，D都不正確，故選C.[優(yōu)美解法] (數(shù)量積法)把等式|a＋b|＝|a|－|b|兩邊平方，得(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即2ab＝－2|a||b|，而ab＝|a||b|cosa，b，所以cosa，b＝－a，b∈[0，π]，所以a，b＝π，即a，b為方向相反的共線向量．故C
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