高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)課件：第八篇立體幾何第6講空間向量及其運(yùn)算(編輯修改稿)
2025-02-04 13:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 C1D1中 G 為 △ A1BD的重心，設(shè) AB→＝ a ， AD→＝ b ， AA1→＝ c ，試用 a ， b ， c 表示 AC1→，AG→. [ 審題視點(diǎn) ] 正確運(yùn)用空間向量的加法運(yùn)算用已知向量表示出未知向量． 解 AC1→＝ AB→＋ BC→＋ CC1→ ＝ AB→＋ AD→＋ AA1→ ＝ a ＋ b ＋ c . AG→ ＝ AA1→＋ A1G→ ＝ AA1→＋13( A1D→＋ A1B→) ＝ AA1→＋13( AD→－ AA1→) ＋13( AB→－ AA1→) ＝13AA1→＋13AD→＋13AB→ ＝13a ＋13b ＋13c . ( 1) 通過(guò)以上表示可以看出 AC1→＝ 3 AG→即證明： A 、 G 、 C1三點(diǎn)共線． G 為 AC1的三分之一分點(diǎn)． ( 2) 解決幾何問(wèn)題的難點(diǎn)是作輔助線，而利用向量解決幾何問(wèn)題恰好回避了這一難點(diǎn)問(wèn)題，把證明轉(zhuǎn)化為運(yùn)算． 【訓(xùn)練 1 】 如右圖，已知 M 、 N 分別為四 面體 AB CD 的面 BCD 與面 ACD 的重心， 且 G 為 AM 上一點(diǎn)，且 GM ∶ GA ＝ 1 ∶ 3. 設(shè) AB→＝ a ， AC→＝ b ， AD→＝ c ，試用 a ， b ， c 表示 BG→， BN→. 解 BG→＝ BA→＋ AG→＝ BA→＋34AM→ ＝－ a ＋14( a ＋ b ＋ c ) ＝－34a ＋14b ＋14c ， BN→＝ BA→＋ AN→＝ BA→＋13( AC→＋ AD→) ＝－ a ＋13b ＋13c . 考向二 共線共面定理的應(yīng)用 【例 2 】 ? 如右圖，已知平行六面體 ABCD A ′ B ′ C ′ D ′ ，E 、 F 、 G 、 H 分別是棱 A ′ D ′ 、 D ′ C ′ 、 C ′ C 和 AB 的中點(diǎn)，求證 E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面． [ 審題視點(diǎn) ] 四點(diǎn)共點(diǎn)，考慮構(gòu)造有關(guān)向量，然后利用共面向量定理證明． 證明 取 ED ′→＝ a 、 EF→＝ b 、 EH→＝ c ，則 HG→＝ HB→＋ BC→＋ CG→＝D ′ F→＋ 2 ED ′→＋12AA ′→ ＝ b － a ＋ 2 a ＋12( AH→＋ HE→＋ EA ′→) ＝ b ＋ a ＋12( b － a － c － a ) ＝32b－12c ， ∴ H G→與 b 、 c 共面．即 E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面． 證明 E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共線，只須證明 HG→＝ λ EF→＋ μ EH→即可，即證 HG→、 EF→、 EH→三個(gè)向量共面．此種方法也是證明直線與平面平行的方法． 【訓(xùn)練 2 】 如圖在三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中， D 為 BC 邊上的中點(diǎn)， 試證 A 1 B ∥ 平面 AC 1 D . 證明 設(shè) BA→＝ a ， BB1→＝ c ， BC→＝ b ， 則 BA1→＝ BA→＋ AA1→ ＝ BA→＋ BB1→＝ a ＋ c ，
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