高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)課件：第八篇立體幾何第6講空間向量及其運(yùn)算-在線瀏覽
2025-02-25 13:47本頁面
【正文】 斷向量的關(guān)系與垂直． 3 ．考查空間向量基本定理及其意義． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 空間向量的運(yùn)算類似于平面向量的運(yùn)算，復(fù)習(xí)時(shí)又對比論證，重點(diǎn)掌握空間向量共 線與垂直的條件，及空間向量基本定理的應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1 ．空間向量的有關(guān)概念 ( 1) 空間向量：在空間中，具有 和 的量叫做空間向量． ( 2) 相等向量：方向 且模 的向量． ( 3) 共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互 相 的向量． ( 4) 共面向量：平行于 的向量． 大小 方向 相同 相等 平行或重合 同一個(gè)平面 2 ． 空間向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律 (1) 定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算，如下： OB→＝ OA→＋ AB→＝ a ＋ b ； BA→＝ OA→－ OB→＝ a－ b ； OP→＝ λ a ( λ ∈ R ) ． (2) 運(yùn)算律： (1) 加法交換律： a ＋ b ＝ . (3) 加法結(jié)合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ ． (4) 數(shù)乘分配律： λ ( a ＋ b ) ＝ . b＋ a a＋ (b＋ c) λa＋ λb 3 ． 空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 ( 1) 數(shù)量積及相關(guān)概念 ① 兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量 a ， b ，在空間任取一點(diǎn) O ，作 OA→＝ a ， OB→＝b ，則 ∠ AO B 叫做向量 a 與 b 的夾角，記作 ，其范圍是 0 ≤〈 a ， b 〉 ≤ π ，若〈 a ， b 〉＝π2，則稱 a 與 b ， 記作a ⊥ b. ② 兩向量的數(shù)量積 已知空間兩個(gè)非零向量 a ， b 則 叫做向量 a ， b的數(shù)量積，即 a b ＝ ． 〈 a， b〉 互相垂直 |a||b|cos〈 a， b〉 |a||b|cos〈 a， b〉 ( 2) 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 ① 結(jié)合律： ( λ a ) b ＝ ； ③ 分配律： ab) bb＋ a 福州質(zhì)檢 ) a ＝ λ b ( λ 是實(shí)數(shù) ) 是 a 與 b 共線的 ( ) ． A ．充分不必要條件 B ．必要不充分條件 C ．充要條件 D ．既不充分也不必要條件 解析 a ＝ λ b ? a ∥ b 但????? b ＝ 0 ，a ≠ 0 ，則 a ∥ b ， a ≠ λ b . 答案 A 4 ． ( 2022 ，且 | AB→|＝ 1 ， | AD→|＝ 2 ， | AA1→|＝3 ，則 |AC1→|等于 ( ) ． A ． 5 B ． 6 C ． 4 D ． 8 解析 設(shè) AB→＝ a ， AD→＝ b ， AA1→＝ c ，則 AC1→＝ a ＋ b ＋ c ， AC1→2 ＝ a2＋ b2＋ c2＋ 2 a c ＋ 2 c ( b － a ) ＝ 0 ， 則 SC ⊥ AB . 利用空間向量的基本定理適當(dāng)?shù)倪x取基底，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為已知????? a ? c － a ? ＝ 0 ，求證 c . ( 1) 求證： C 1 C ⊥ BD ； ( 2) 當(dāng)CDCC 1的值是多少時(shí)，能使 A 1 C ⊥ 平面 C 1 BD ？請給出證明． ( 1) 證明 取 CD→＝ a ， CB→＝ b ， CC 1→＝ c ， 由已知 | a |＝ | b |，且〈 a ， b 〉＝〈 b ， c 〉＝〈 c ， a 〉＝ 60176。BD→
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