北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)87空間向量及其運(yùn)算-在線瀏覽
2025-01-21 18:06本頁面
【正文】 答案 ] ( － 23 ，－ 13 ， 23 ) 或 ( 23 ， 13 ，－ 23 ) [ 解析 ] AB→＝ ( － 4 ，－ 2,4) ， | AB→|＝ 6. ∴ 與 AB→共線且同向時，單位向量 e ＝AB→| AB→|＝ ( －23，－13，23) ，與 AB→共線且反向時，單位向量 e ＝－AB→| AB→|＝ (23，13，－23) ． 課堂典例講練 已知空間四邊形 OA BC ，其對角線為 OB 、 AC ，M 、 N 分別是邊 OA ， CB 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 在線段 MN 上，且使MG ＝ 2 GN ，則用向量 OA→， OB→， OC→表示向量 OG→正確的是 ( ) 空間向量的線性運(yùn)算 A. OG→＝ OA→＋23OB→＋23OC→ B. OG→＝12OA→＋23OB→＋23OC→ C. OG→＝16OA→＋13OB→＋13OC→ D. OG→＝16OA→＋13OB→＋23OC→ [ 思路分析 ] 應(yīng)用空間向量的線性運(yùn)算把未知向量用已知向量表示． [ 規(guī)范解答 ] OG→＝ OM→＋ MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23( ON→－ OM→) ＝12OA→＋23(OB→＋ OC→2－OA→2) ＝16OA→＋13OB→＋13OC→. [ 答案 ] C [ 方法總結(jié) ] 空間向量的概念及運(yùn)算是由平面向量延伸而來的，要用類比的思想去掌握．在空間向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算中，要選擇適當(dāng)?shù)南蛄繛榛祝没蛄勘硎境鱿嚓P(guān)向量后再進(jìn)行向量的運(yùn)算，同時還要以相應(yīng)的圖形為指導(dǎo)． 已知 O 是空間中任意一點(diǎn) ， A ， B ， C ， D 四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且 OA→＝ 2 x BO→＋ 3 y CO→＋ 4 z DO→，則2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ ________ . [ 答案 ] － 1 [ 解析 ] ∵ A ， B ， C ， D 四點(diǎn)共面， ∴ OA→＝ m OB→＋ n OC→＋ p OD→， 且 m ＋ n ＋ p ＝ 1. 由條件知 OA→＝ ( － 2 x ) OB→＋ ( － 3 y ) OC→＋ ( － 4 z ) OD→， ∴ ( － 2 x ) ＋ ( － 3 y ) ＋ ( － 4 z ) ＝ 1. ∴ 2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝－ 1. 共線、共面向量定理的應(yīng)用 已知 E 、 F 、 G 、 H 分別是空間四邊形 ABCD 的邊 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中點(diǎn)． ( 1) 求證： E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面； ( 2) 求證： BD ∥ 平面 EF GH ； ( 3) 設(shè) M 是 EG 和 FH 的交點(diǎn)， 求證：對空間任一點(diǎn) O ，有 OM→＝14( OA→＋ OB→＋ OC→＋ OD→) ． [ 思路分析 ] 對于 ( 1) 只要證明向量 EG→可由向量 EF→和 EH→表示即可，對于 ( 2) 只要證明 BD 平行于平面內(nèi)的一條直線即可，對于 ( 3) 由于四邊形 EF GH 為平行四邊形，所以 M 為 EG與 FH 的中點(diǎn)，于是向量 OM→可由向量 OG→和 OE→表示，再將 OG→與 OE→用 OC→， OD→和 OA→， OB→表示． [ 規(guī)范解答 ] (1) 連接 BG ，則 EG→＝ EB→＋ BG→＝ EB→＋12( BC→＋BD→) ＝ EB→＋ BF→＋ EH→＝ EF→＋ EH→， 由共面向量定理的推論知： E 、 F 、 G 、 H 四點(diǎn)共面． (2) 因?yàn)?EH→＝ AH→－ AE→＝12AD→－12AB→＝12( AD→－ AB→) ＝12BD→， 所以 EH ∥ BD ， 又 EH 平面 E FGH ， BD 平面 EFG H . 所以 BD ∥ 平面 EFG H . (3) 連接 OM ， OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OG . 由 (2) 知 EH→＝12BD→， 同理 FG→＝12BD→， 所以 EH→＝ FG→， EH
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