【文章內(nèi)容簡介】 假設(shè)存在滿足條件的點M，因為直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點A，B，則圓心O到l的距離d＝1. (8分)因為點M(m，n)在橢圓C上，所以＋n2＝1m2＋n2，于是0m2≤3.因為|AB|＝2＝2 ， (10分)所以S△OAB＝|AB|d＝＝≤ ＝，當且僅當1＝m2時等號成立，所以m2＝∈(0,3]．因此當m＝177。，n＝177。時等號成立． (12分)所以滿足要求的點M的坐標為，或，此時對應(yīng)的三角形的面積均達到最大值. (14分)[反思感悟] (1)本題是圓錐曲線中的探索性問題，也是最值問題，求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個重點，通常是先建立一個目標函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值．(2)本題的第一個易錯點是表達不出橢圓C上的點到Q(0,2)的距離的最大值；第二個易錯點是沒有掌握探索性問題的解題步驟；第三個易錯點是沒有正確使用基本不等式．答題模板　探索性問題答題模板：第一步：假設(shè)結(jié)論存在．第二步：結(jié)合已知條件進行推理求解．第三步：若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)．第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點及解題規(guī)范．如本題中易忽略直線l與圓O相交這一隱含條件．【自主體驗】(2013江西卷)如圖，橢圓C：＋＝1(ab0)經(jīng)過點P，離心率e＝，直線l的方程為x＝4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．解　(1)由P在橢圓上，得＋＝1①依題設(shè)知a＝2c，則b2＝3c2，②②代入①，解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.故橢圓C的方程為＋＝1.(2)法一　由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－1)，③代入橢圓方程3x2＋4y2＝12，并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1＋x2＝，x1x2＝，④在方程③中令x＝4，得M的坐標為(4,3k)．從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.注意到A，F(xiàn)，B共線，則有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k.所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－，⑤④代入⑤，得k1＋k2＝2k－＝2k－1，又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常數(shù)λ＝2符合題意．法二　設(shè)B(x0，y0)(x0≠1)，則直線FB的方程為y＝(x－1)，令x＝4，求得M，從而直線PM的斜率為k3＝，聯(lián)立得A，則直線PA的斜率為k1＝，直線PB的斜率為k2＝，所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，故存在常數(shù)λ＝2符合題意.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k的值為(　　)．A．1 B．1或3 C．0 D．1或0解析　由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，則y＝2，若k≠0，若Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，因此直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點，則k＝0或1.答案　D2．(2014濟南模擬)若雙曲線－＝1(a0，b0)與直線y＝x無交點，則離心率e的取值范圍是(　　)．A．(1,2) B．(1,2] C．(1，) D．(1，]解析　因為雙曲線的漸近線為y＝177。x，要使直線y＝x與雙曲線無交點，則直線y＝x應(yīng)在兩漸近線之間，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1e≤2.答案　B3．(2014煙臺期末考試)已知與向量v＝(1,0)平行的直線l與雙曲線－y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為(　　)．A．2 B. C．4 D．2解析　由題意可設(shè)直線l的方程為y＝m，代入－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝＝2，x2＝－2，所以|AB|＝|x1－x2|＝4，所以|AB|＝4≥4，即當m＝0時，|AB|有最小值4.答案　C4．(2014西安模擬)已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則的最小值為(　　)．A．－2 B．－ C．1 D．0解析　設(shè)點P(x，y)，其中x≥(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)，則有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，＝(－1－x，－y)(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥，當x＝1時，取得最小值－2，選A.答案　A5．(2014寧波十校聯(lián)考)設(shè)雙曲線－＝1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝(　　)．A．1＋2 B．4－2C．5－2 D．3＋2解析　如圖，設(shè)|AF1|＝m，則|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故應(yīng)選C.答案　C二、填空題6．(2014東北三省聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(ab0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，則橢圓C的方程為________．解析　由題意，得解得∴橢圓C的方程為＋＝1.答案　＋＝17．已知雙曲線方程是x2－＝1，過定點P(2,1)作直線交雙曲線于P1，P2兩點，并使P(2,1)為P1P2的中點，則此直線方程是________．解析　設(shè)點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，從而所求方程為4x－y－7＝－56x＋51＝0，Δ＞0，故此直線滿足條件．答案　4x－y－7＝08．(2014青島調(diào)研)過拋物線y2＝2px(p0)的焦點F且傾斜角為60176。的直線l與拋物線分別交于A，B兩點，則的值是________．解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，易知直線AB的方程為y＝x－p，代入拋物線方程y2＝2px，可得3x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.答案　3三、解答題9．橢圓＋＝1(a＞b＞0)與直線x＋y－1＝0相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ(O為原點)．(1)求證：＋等于定值；(2)若橢圓的離心率e∈，求橢圓長軸長的取值范圍．(1)證明　由消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，①∵直線與橢圓有兩個交點，∴Δ＞0，即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0?a2b2(a2＋b2－1)＞0，∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1 、x2是方程①的兩實根．∴x1＋x2＝，x1x2＝.②由