一輪復(fù)習(xí)配套講義：第2篇-第4講-冪函數(shù)與二次函數(shù)(編輯修改稿)
2025-04-03 01:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (c＞0且為常數(shù))的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式(用含c的式子表示)；(2)令g(x)＝，求y＝g(x)在[1,2]上的最大值．解 (1)∵f′(x)＝2ax＋b，由圖可知，f′(x)＝2x＋1，∴得故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2＋x＋c.(2)g(x)＝＝＝x＋＋1，則g′(x)＝1－＝＝.①若＜1，即0＜c＜1時(shí)，g′(x)＞0，∴g(x)在[1,2]上是增函數(shù)，故g(x)max＝g(2)＝＋3.②若1≤ ≤2，即1≤c≤4，當(dāng)1≤x＜時(shí)，g′(x)＜0，當(dāng)＜x≤2時(shí)，g′(x)＞0，∵g(1)＝c＋2，g(2)＝＋3，∴當(dāng)1≤c≤2時(shí)，g(1)≤g(2)，g(x)max＝g(2)＝＋3；當(dāng)2＜c≤4時(shí)，g(1)＞g(2)，g(x)max＝g(1)＝c＋2.③若＞2，即c＞4時(shí)，g′(x)＜0，∴g(x)在[1,2]上是減函數(shù)，故g(x)max＝g(1)＝c＋2.綜上所述，當(dāng)0＜c≤2時(shí)，g(x)max＝＋3；當(dāng)c＞2時(shí)，g(x)max＝c＋2.1．對(duì)于冪函數(shù)的圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．根據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定． 2．二次函數(shù)的綜合應(yīng)用多涉及單調(diào)性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價(jià)轉(zhuǎn)化，多用到數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．3．對(duì)于與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立或存在問題注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．答題模板2——二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題【典例】 (12分)(經(jīng)典題)求函數(shù)f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[規(guī)范解答] 函數(shù)f(x)＝－2＋的圖象的對(duì)稱軸為x＝，應(yīng)分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三種情形討論． (2分)(1)當(dāng)a＜－2時(shí)，由圖(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝－1－a； (5分)(2)當(dāng)－2≤a≤2時(shí)，由圖(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f＝； (8分)(3)當(dāng)a＞2時(shí)，由圖(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(1)＝a－1. (11分)綜上可知，f(x)max＝ (12分)[反思感悟] (1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵是對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論．(2)部分學(xué)生易出現(xiàn)兩點(diǎn)錯(cuò)誤：①找不到分類的標(biāo)準(zhǔn)，無從入手；②書寫格式不規(guī)范，漏掉結(jié)論f(x)max＝答題模板 第一步：配方，求對(duì)稱軸．第二步：分類，將對(duì)稱軸是否在給定區(qū)間上分類討論．第三步：求最值．第四步：下結(jié)論．【自主體驗(yàn)】已知函數(shù)f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個(gè)最大值－5，求a的值．解 f(x)＝－42－4a，對(duì)稱軸為x＝，頂點(diǎn)為.①當(dāng)≥1，即a≥2時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,1]上遞增．∴ymax＝f(1)＝－4－－4－a2＝－5，∴a＝177。1＜2(舍去)．②當(dāng)0＜＜1，即0＜a＜2時(shí)，ymax＝f＝－4a，
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