一輪復習配套講義：第2篇-第4講-冪函數(shù)與二次函數(shù)(編輯修改稿)
2025-04-03 01:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (c＞0且為常數(shù))的導函數(shù)的圖象如圖所示．(1)求函數(shù)f(x)的解析式(用含c的式子表示)；(2)令g(x)＝，求y＝g(x)在[1,2]上的最大值．解 (1)∵f′(x)＝2ax＋b，由圖可知，f′(x)＝2x＋1，∴得故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝x2＋x＋c.(2)g(x)＝＝＝x＋＋1，則g′(x)＝1－＝＝.①若＜1，即0＜c＜1時，g′(x)＞0，∴g(x)在[1,2]上是增函數(shù)，故g(x)max＝g(2)＝＋3.②若1≤ ≤2，即1≤c≤4，當1≤x＜時，g′(x)＜0，當＜x≤2時，g′(x)＞0，∵g(1)＝c＋2，g(2)＝＋3，∴當1≤c≤2時，g(1)≤g(2)，g(x)max＝g(2)＝＋3；當2＜c≤4時，g(1)＞g(2)，g(x)max＝g(1)＝c＋2.③若＞2，即c＞4時，g′(x)＜0，∴g(x)在[1,2]上是減函數(shù)，故g(x)max＝g(1)＝c＋2.綜上所述，當0＜c≤2時，g(x)max＝＋3；當c＞2時，g(x)max＝c＋2.1．對于冪函數(shù)的圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x分區(qū)域．根據(jù)α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定． 2．二次函數(shù)的綜合應用多涉及單調(diào)性與最值或二次方程根的分布問題，解決的主要思路是等價轉(zhuǎn)化，多用到數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．3．對于與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立或存在問題注意等價轉(zhuǎn)化思想的運用．答題模板2——二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題【典例】 (12分)(經(jīng)典題)求函數(shù)f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[規(guī)范解答] 函數(shù)f(x)＝－2＋的圖象的對稱軸為x＝，應分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三種情形討論． (2分)(1)當a＜－2時，由圖(1)可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝－1－a； (5分)(2)當－2≤a≤2時，由圖(2)可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f＝； (8分)(3)當a＞2時，由圖(3)可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(1)＝a－1. (11分)綜上可知，f(x)max＝ (12分)[反思感悟] (1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，解題的關(guān)鍵是對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論．(2)部分學生易出現(xiàn)兩點錯誤：①找不到分類的標準，無從入手；②書寫格式不規(guī)范，漏掉結(jié)論f(x)max＝答題模板 第一步：配方，求對稱軸．第二步：分類，將對稱軸是否在給定區(qū)間上分類討論．第三步：求最值．第四步：下結(jié)論．【自主體驗】已知函數(shù)f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在區(qū)間[0,1]內(nèi)有一個最大值－5，求a的值．解 f(x)＝－42－4a，對稱軸為x＝，頂點為.①當≥1，即a≥2時，f(x)在區(qū)間[0,1]上遞增．∴ymax＝f(1)＝－4－－4－a2＝－5，∴a＝177。1＜2(舍去)．②當0＜＜1，即0＜a＜2時，ymax＝f＝－4a，
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