20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第十章第三講-幾何概型(文)-第六講-幾何概型(理)-(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ]得x∈，∴所求概率P＝＝，故選D．考點(diǎn)二 與面積有關(guān)的幾何概型——師生共研角度1 與平面圖形有關(guān)的問(wèn)題例2 (1)(2021河南商丘、周口、駐馬店聯(lián)考)如圖，AC，BD上分別是大圓O的兩條相互垂直的直徑，4個(gè)小圓的直徑分別為OA，OB，OC，OD，若向大圓內(nèi)部隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為( D )A． B．C． D．(2)設(shè)復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為( C )A．＋ B．＋C．－ D．－[解析] (1)不妨設(shè)大圓的半徑為2，則大圓的面積為4π，小圓的半徑為1，如圖，設(shè)圖中陰影部分面積為S，由圖形的對(duì)稱性知，S陰影＝8S．又S＝π12－2＝1，則所求概率為＝，故選D．(2)∵|z|＝≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，其幾何意義表示為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓面，如圖所示，而y≥x所表示的區(qū)域如圖中陰影部分，故P＝＝－．[引申]本例(1)中圖形改成下圖，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率為_(kāi)___． [解析] 不妨設(shè)大圓的半徑為2，則小圓的半徑為1，∴所求概率P＝＝．角度2 與線性規(guī)劃交匯的問(wèn)題例3 在滿足不等式組的平面點(diǎn)集中隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)事件A為“y0＜2x0”，那么事件A發(fā)生的概率是( B )A． B．C． D．[解析] 如圖所示，不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椤鰽BC且A(1,2)，B(－1,0)，C(3,0)，顯然直線l：y＝2x過(guò)A且與x軸交于O，∴所求概率P＝＝＝．選B．名師點(diǎn)撥解決與面積有關(guān)的幾何概型的方法求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的幾何元素，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．〔變式訓(xùn)練2〕 (1)(2021唐山模擬)右圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲400個(gè)點(diǎn)，其中落入黑色部分的有225個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為( B )A．8 B．9C．10 D．12(2)(2021四川模擬)以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形，它是具有類似于圓的“等寬性”曲線，由德國(guó)機(jī)械工程專家、數(shù)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)．如圖，D，E，F(xiàn)為正三角形ABC各邊中點(diǎn)，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(陰影部分)，若在△ABC中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于該勒洛三角形部分的概率為( C )A． B．C． D．[解析] (1)根據(jù)面積之比與點(diǎn)數(shù)之比相等的關(guān)系，得黑色部分的面積S＝44＝9，故選B．(2)設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2，則正△DEF邊長(zhǎng)為1，以D為圓心的扇形面積是＝，△DEF的面積是11＝，∴勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3＋＝，
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