20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第五章第三講-等比數(shù)列及其前n項和-(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 02:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0＝＝2k＋11－2k＋1＝215－25，∴k＝．(4)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則＝＝q＝＝2，∴＝＝2－21－．名師點撥等比數(shù)列基本量的求法等比數(shù)列的計算涉及五個量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根據(jù)條件列出關(guān)于a1，q的方程組求解，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．特別提醒：在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，q的值除非題目中給出，否則要根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．考點二 等比數(shù)列的判定與證明——師生共研例2 (2019全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}和{bn}的通項公式．[解析] (1)證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列．由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.名師點撥等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝kqn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．提醒：前兩種方法常用于解答題中，而后兩種方法常用于選擇、填空題中．〔變式訓(xùn)練1〕已知數(shù)列{an}的首項a10，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.(1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和Tn.[解析] (1)記bn＝－1，則＝＝＝＝＝，又b1＝－1＝－1＝，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以－1＝n－1，即an＝.所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝.(2)由(1)知，－1＝n－1，即＝n－1＋1.所以數(shù)列的前n項和Tn＝＋n＝＋n.考點三 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用——多維探究角度1 等比數(shù)列項的性質(zhì)的應(yīng)用例3 (1)(2021洛陽市第一次聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為( B )A．－ B．－C． D．－或(2)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝__5__.[解析] (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a30，a150，則a9＝－，所以＝＝a9＝－.故選B．(2)由題意知a1a5＝a＝4，因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以a3＝＝(a1a5)(a2a4)a3＝(a)2a3＝a＝＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.名師點撥(
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