20xx版高考人教版數(shù)學(xué)一輪學(xué)案：第五章第四講-數(shù)列求和-(含解析)(編輯修改稿)
2025-04-03 01:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 an}的前20項(xiàng)和為( C )A．1 121 B．1 122C．1 123 D．1 124[解析] (1)令數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－＝420－＝419＋.(2)由題意知，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項(xiàng)和為＋101＋2＝1 123.考點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法——多維探究角度1 形如bn＝({an}為等差數(shù)列)型例2 Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知an0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．[解析] (1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an0，可得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.角度2 形如an＝型例3 (2021西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)(4,2)，令an＝，n∈N＋.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 022等于( C )A．－1 B．－1C．－1 D．＋1[解析] 由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝，則f(x)＝x.∴an＝＝＝－，S2 022＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.角度3 形如bn＝({an}為等比數(shù)列)型例4 (2021遼寧凌源二中聯(lián)考)已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且an0,6Sn＝a＋3an，n∈N*，bn＝，若對(duì)任意的n∈N*，kTn恒成立，則k的最小值是( C )A． B．49C． D．[解析] 當(dāng)n＝1時(shí)，6a1＝a＋3a1，解得a1＝3或a1＝0(舍去)，又6Sn＝a＋3an，∴6Sn＋1＝a＋3an＋1，兩式作差可得6an＋1＝a－a＋3an＋1－3an，整理可得(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0，結(jié)合an0可得an＋1－an－3＝0，∴an＋1－an＝3，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，∴an＝3＋(n－1)3＝3n，則bn＝＝＝，∴Tn＝＝，∴k≥.故選C．名師點(diǎn)撥裂項(xiàng)相消法求和在歷年高考中曾多次出現(xiàn)，命題角度凸顯靈活多變．在解題中，要善于利用裂項(xiàng)相消的基本思想，變換數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，達(dá)到求解的目的．(1)直接考查裂項(xiàng)相消法求和．解決此類問題應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：①抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；②將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝.(2)與不等式相結(jié)合考查裂項(xiàng)相消法求和．解決此類問題應(yīng)分兩步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放縮法、單調(diào)性等證明不等式．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2021衡水中學(xué)調(diào)研卷)在數(shù)列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，則數(shù)列{
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